【正文】 小結一下： 從數(shù)學上講，對于任何 E值，不含時的薛定諤方程（ 20） 都有解，但并非對于一切 E值所得出的解 ()r?都滿足 物理上的要求 。此時，不含時薛定諤方程表為 （ 25） 對于一個粒子在勢場 方程 （ 24） 和 （ 25） 就化為方程 （ 8） 和 （ 20） 。這兩個算符都稱為 能量算符 。 ?哈密頓算符、能量本征值方程 以 ()r??乘以 （ 18） 兩邊， e x p [ / ]it?? 乘以 （ 20） 兩邊， ( , )rt?滿足下列方程： didt? ? ? ? （ 21） 22[ ( ) ]2 Vrm? ? ? ? ? ? ?可以看出波函數(shù) [由 （ 19） 式所定義的 ] （ 22） 這兩個方程類型相同，它們都是以一個算符，作用在波函數(shù) Ψ上得出一個數(shù) E乘以 Ψ。 ()r??22 ( ) ( ) ( )2V r r rm??????? ? ? ? ?????（ 20） 的解。因此特解可表為 ? ?( , ) ( ) e x p /r t r i t? ?? ? ? ?（ 19） 其中常數(shù) C已歸并到 ()r??這個波函數(shù)與時間的關系是正弦式的，其角頻率是 /? ??按照德布羅意關系， E就是該體系處于這個波函數(shù)所描寫狀態(tài)時的能量。以下，我們考慮一個很重要的特殊情形 ——假設勢場 V不顯含時間 t（在經典力學中，在這種勢場中運動的粒子，其機械能守恒），此時薛定諤方程 （ 8） 可以用分離變量數(shù)法求其特解。)rt例題 ，證明在足夠長時間后， 式中 是的 Fourier變換。)rt ( , )rtr( , )rt? r?r( 39。)G r t r t ( 39。 39。, 39。)r t G r t r t??r0( , 。 39。) ( ) 39。, ( 39。式 （ 14） 則表示： 在 t時刻于空間點 找到粒子的幾率波幅 是時刻 t’(≤t )粒子在空間中各 點的幾率波幅傳播到點 后的相干疊加 。所以 即 t 時刻在 點找到粒子的幾率波幅 。, 39。)ttG r t r t r r????（ 16） ( , 。, 39。l im ( , 。, 39。, 39。)G r t r t ( , 。 39。借助于 體系在時刻 t 的狀態(tài) 可由時刻 t’(t’≤t )的狀態(tài) 給出（見 14式）。t 39。) 2 ( 39。) ]( 2 ) 2i i pG r t r t d r r t tm?? ? ? ? ? ? ?? 3 / 2 2( 39。) e x p [ ( 39。 39。, 39。, 39。 ( , 。, 39。) ( 39。 （ 13） 更一般地，取初始時刻為 ，則 3139。, 0)( 2 )iir t d r d r r t r?? ? ? ? ? ? ? ? ???式中 22m??? （自由粒子）。 e xp [ ( 39。 ( ,0)r?( , )rt?前已證明，如下 形式的解 3 / 21( , ) ( ) e xp[ ( ) ]( 2 )ir t r t d??? ? ? ? ? ? ? ??（式中 22m??? ）滿足自由粒子的薛定諤方程。換言之， 薛定諤方程給出波函數(shù)（量子態(tài)）隨時間的因果關系 。 qJ??例題 1:求球面波波函數(shù) ? ? ? ?1, , A e x p /r i p r E tr? ? ? ?? ????的幾率密度和幾率流密度 解 :幾率密度 ? ? ? ?? ? ? ?222* , , , ,11e x p / A e x p /**ArAAArri p r E t i p r E trrr? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ????幾率流密度 已知在球坐標系中 ? ?? ?? ? ? ?211,sin1A e x p /AAe x p / e x p /rrrre e e rr r re i p r E trripi p r E t e i p r E t err??? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ???? ???? ??????? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11s i nrre e er r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?**2 ij m ? ? ? ?? ? ? ? ?先計算 ? ?? ? ? ?*2**32*1e xp /AAe xp / e xp /AArrri pr Etripi pr Et e i pr Et errA A i perrA????? ? ???????????? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ??????這樣 再計算 ? ?** * * ** * * * *3 2 3 2 2A A A A A2r r rA A ip A A ip A ipe e er r r r r? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?則幾率流密度 ? ?***2222A22Avrrrijmi A ipemrpeerm? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ???結果說明由中心向外傳播的球面波 ,幾率密度隨 r增大而減小 ,粒子沿徑向傳播 . 例題 2:在 t=0時，自由粒子波函數(shù)為 ? ?,022 sin20xb b x xbxb????????? ?? ???(1) 給出在該態(tài)中粒子動量的可能測得值及相應的幾率幅； (2)求出動量幾率密度最大的動量值； (3)求出發(fā)現(xiàn)粒子 在區(qū)間中的幾率； (4) （積分形式即可）。當大量光子處于同一狀態(tài)時，其波函數(shù)就是矢勢 , 故可通過宏觀尺度上的測量直接認識到光子波函數(shù) 的性質。 eJ eJ?同理可得出量子力學中 （統(tǒng)計意義上） 的質量 守恒定律： 00mmmmSJtd r J d St????? ? ? ???? ? ? ?? ??（ 微分形式 ） （ 積分形式 ） 補記： 只有大量相同粒子處在相同狀態(tài)，用同樣波函數(shù) 描述 ， 才 可以把 |Ψ|2 解釋成 粒子密度 ，如每個粒子帶電荷 q，于是 q|Ψ|2 代表 電荷密度 ， 代表電流密度 ，故如有大量的粒子處于完全相同狀態(tài)，則波函數(shù)將具有實在的物理意義而伸展到宏觀領域。 JJ[注意：如 ( ) ( ) 0 , 0Vt t t d r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??( ) 0SSJ d S J d S? ? ? ??? 因而 J假如我們討論的是帶電粒子，它帶有電荷 e，在歸一化和統(tǒng)計意義上，帶電粒子在點 處貢獻的等效電荷密度為 ρ e≡eρ ，于是以 e乘以幾率守恒的微分表達式（ 10），就得到量子力學的 電荷守恒定律 （微分形式）： r0e eJt?? ? ? ? ??式中 是帶電粒子運動所造成的有效電流密度。為說明這個方程和矢量 的物理意義，我們回到幾率守恒的積分表達式 （ 9） 。事實上： *** 2 2 *****()()2()2[]2VVVSdrttidrmidrmidSm? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????? 2| ( , ) |Vr t d rt? ?? ?定義： **()2iJm? ? ? ? ? ? ? ? ?利用上式，我們得到 2| ( , ) |Sr t d r J d St? ? ? ? ?? ??對于 平方可積的波函數(shù) ， Ψ在無窮遠處應為零（數(shù)學上可證明，這種 波函數(shù) 在 r→ ∞ 時，漸 近 行為是 ， 故令 r→ ∞ 時，曲面 S所有面元都被移到無窮遠處，因而上式右邊面積分為零，即 2*| ( , ) | ( , ) ( , ) 0r t d r r t r t d rtt??? ? ? ? ??? 即 波函數(shù)的歸一化不隨時間改變 。在非相對論（低能）情形下，實物粒子（ m≠0）沒有產生或湮滅的現(xiàn)象，所以在隨時間變化的過程中，粒子數(shù)目將保持不變。這牽涉到能否保持總的幾率永遠是 1，因而波函數(shù)統(tǒng)計解釋能否成立的問題。 22? [ ( ) ]2H V rm? ? ? ? 在時變勢場中的運動與外界 有 能量交換，粒子的能量一般不守恒，相應的問題為 非定態(tài)問題 （在后面的章節(jié)里我們會 專門 討論 這類問題 ） 。 此時粒子的非相對論能量動量關系為 2()2Vrm?? ? ?由對應規(guī)則 （ 6） 式，再作用于波函數(shù) ( , )rt?上，得 22 ?( , ) [ ( ) ] ( , ) ( , )2i r t V r r t H r ttm? ? ? ? ? ? ? ? ??（ 7） （ 8） 稱為系統(tǒng)的 Hamilton量算符 ，簡稱為系統(tǒng)的哈密頓量。 關于 算符 的概念，將在后面章節(jié)中作系統(tǒng)介紹。的確， 在一定意義上，方程 （ 5）是經典方程 （ 4） 過渡到量子力學的形式；在量子語言中，能量和動量是按 對應規(guī)則 , iit?? ? ? ? ? ??（ 6） 由作用在波函數(shù)上的微分算符表示的。 （ 4） （ 5） 描述自由粒子的一般狀態(tài)的波函數(shù)是許多頻率為 /?，波矢為 /? 的單色平面波的疊加： 3 / 21( , ) ( ) e x p ( )( 2 )ir t r t d????? ? ? ? ? ? ? ??????式中 22m??? 。對時間求微商： it?? ? ? ? ??因它的系數(shù)中含有能量 E，故不是所要求的方程。為了做到這一點，我們必須知道決定 隨 t變化規(guī)律的方程式。換言之，我們就體系在給定時刻t 的性質所能做出的所有預言，全都可以由該時刻的 Ψ推得。一旦初始條件給定，方程將唯一地決定以后任何時刻的運動狀態(tài)。牛頓方程是關于變量的二階全微分方程。dinger）方程 ?Schr246。 * ?( , ) ( , )pA p t A p t d p??? ??A ?pA(39) 167。如果該力學量 在經典力學中有相對應的力學量，則表示該力學量的算符 由經典表達式 中將 換成算符 而得出，即 ?o?o( , )O r p ?poo(31) (32) 正如前面已闡述過的，同一量子態(tài)可用坐標表象中波函數(shù) 表示，也能用動量表象中的波函數(shù) 來表示。 角動量的平均值是： * [ ( ) ]L L r p r i d r??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ?(29) 綜上所述，我們可以得出，在求平均值的意義下，力學量可以用 算符 來代替。按照德布羅意關系，波長越短，動量越大。記動量算符為： ( , )rt?i??* ( , )rt??pi? ? ?( , )rt?(17) 則（ 15）式可表為： * ?( , ) ( , )p p r t p r t d r??? ? ? ? ?(18) 稱為 動量算符 動量算符的分量形式為： ?