【正文】 xpix????(20) (19) (18) ? ypiy????? zpiz????動量平均值的分量形式為： * ( , ) ( ) ( , )xp r t i r t d rx???????* ?( , ) ( , )xr t p r t d r??? ?* ?( , ) ( , )yyp r t p r t d r??? ?* ?( , ) ( , )zzp r t p r t d r??? ?(23) (22) (21) 利用數(shù)學(xué)歸納法不難證明，對于正整數(shù) n， 有 對于 ， 也有同樣的等式。39。事實上，我們有 39。 2( , )pt?p2 *( , ) ( , ) ( , )p p t p d p p t p p t d p? ? ?? ? ? ???( , )rt?給出。 2( , )r t d r?r r d r??p p d p?? 要計算 ，就應(yīng)該先找出在 t時刻在 中找到粒子的幾率 。 2( , )rt?()Fr?（ 2）現(xiàn)在討論動量算符的平均值。如果變量 是連續(xù)分布的，則上述統(tǒng)計平均值可以表示成 ?1 1 1l i m l i ms s siii i i inni i iNNA A A PNN?? ? ? ?? ? ????? ? ?iP iA?(9) ()A x d x??? ?(10) 式中 為量 處于單位間隔內(nèi)的幾率， 或稱幾率密度，或稱量 的統(tǒng)計分布函數(shù) ()x? ??（ 1）首先討論坐標表象的情況。但 波函數(shù)本身不是直接的可觀測量 ， 當微觀粒子處于某一狀態(tài)時，粒子的力學(xué)量一般不具有確定的值，而是具有一系列的可能值，每一可能值以一定的幾率出現(xiàn) 。 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)來描述。 原則上，一切力學(xué)量的平均值都能由 給出，而且這些平均值就是在 所描寫的狀態(tài)下相應(yīng)的力學(xué)量的觀測結(jié)果 。 E? t?力學(xué)量出現(xiàn)的各種可能值的相應(yīng)幾率就完全確定。 賦予粒子以精確位置和動量的想法值在作用量子可以忽略的程度內(nèi)，也就是在經(jīng)典理論成立的范圍內(nèi)，才是正確的。對這些量采用適當?shù)亩x以后，我們將得到一種精確的陳述。 2xa??的光延越小， p?兩邊圍繞著一些相繼減小的極小值 大值分開，極大值高度按 說波 峰值兩邊的 零點之間，亦即廣延于 越大： （在 4 / 2xp ?? ? ? ? ? 迄今為止， 測不準關(guān)系 是作為 數(shù)量級 的關(guān)系表示出來的。在這種情況下，有 00()2/( ) s in p p appp?? ???2| ( ) |x? 以及 2| ( ) |p? 的曲線。在同一時刻，粒子只可能有在一定限度以內(nèi)的比較確定的動量和比較確定的位置。 微觀粒子不可能靜止 ,靜止意味著粒子坐標和動量可以同時取確定值 ,違反了測不準關(guān)系 . 在經(jīng)典力學(xué)中，一個自由運動的質(zhì)點不僅有一定的動量，并且每個時刻都有確定的位置。 利用復(fù)變函數(shù)中的巴塞瓦等式，不難證明 22| ( , ) | | ( , ) | 1p t d p r t d r?? ????2( , ) | ( , ) |p t p t??? 我們稱在時刻 t，在 點附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率為 動量表象的幾率密度 ，并以 ( , )t??( , )rt? 是已經(jīng)歸一化的波函數(shù)，則 ( , )pt?這表明：如果 也是歸一化的波函數(shù)。 完全 是 量子態(tài) 以 為自變量，在 坐標空間 的 稱 ( , )rt? r表示 (波函數(shù) )， ( , )pt? 是 量子態(tài) 在以 p在 動量空間 的表示（動量幾率分布函數(shù)）。由以上討論可以看出： r當 ( , )rt? 給定后， ( , )pt? 就可由 (3)式完全確定， 反之，當 ( , )pt? 給定后， ( , )rt? 就可由 (4)式 確定。 下面來證明：任何一個波函數(shù) ( , )rt?( , ) ( , ) ( ) x y zpr t p t r d p d p d p? ? ?? ???(1) 式中 3 / 21( ) e xp [ ]( 2 )pir p r????(2) 這里我們已取平面波的歸一化常數(shù) A等于 3 / 2( 2 )? ?其理由將在后面詳細討論。 可以連續(xù)地變化，因此上式中對 求和 由于 應(yīng)以對 px, py, pz 積分來代替。以一個確定的動量運動的狀態(tài)用波函數(shù) ( , ) e x p [ ( ) ]ir t A t p r? ? ? ? ? ? ?( , ) ( ) ( , )r t p r t? ? ? ??? ?描寫。那么 ,測量粒子的其它物理量例如 動量 ,能量及角動量 等 ,情況將如何 ?先討論動量。書 P8 ? ?,r? ? ?? ?,r r d r?? ?,?? s ind d d? ? ???故 （ a）粒子在球殼 中被測到的幾率，應(yīng)該將 θ ， 兩個變量積分掉，即 ? ?,r r d r??? ?? ?? ?2 / 2 22002 / 2 22002 / 220 0 0, , si n, , si nsi n , ,d r d r drd r d r drd d r r dr??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ???????????????? ? ?（ b）同理在 方向上的立體角元 中找到粒子的幾率，應(yīng)該將 r積分掉。 此時 歸一化條件表為 2 3311| ( , , , ) | 1NNr r t d r d r???以后，為表達簡便，引進符號 *2( , ) | |dd??? ? ? ? ? ? ???這樣歸一化條件就簡單地寫為 ( , ) 1? ? ? 波函數(shù) 、 幾率密度的概念對于推動化學(xué)由純經(jīng)驗學(xué)科向理論學(xué)科發(fā)展起著極為重要的作用 . 現(xiàn)代化學(xué)中廣泛使用的原子軌道 、 分子軌道 , 就是描述原子 、 分子中電子運動的單電子波函數(shù) : 而 “ 電子云 ” 就是相應(yīng)的幾率密度 : 按照哥本哈根學(xué)派的觀點 , 幾率在量子力學(xué)中是原則性的 、 基本的概念 . 原因在于微觀世界中不確定原理起著明顯的作用 . 波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，則 表示 絕對幾率密度 ，否則為 相對幾率密度 ，以后無特殊說明，所求幾率密度和幾率都是絕對幾率密度和絕對幾率 量子力學(xué)基本假設(shè)之一： 在量子力學(xué)中，體系狀態(tài)用波函數(shù) （也稱為態(tài)函數(shù)）來描述，一般要求波函數(shù)是 單值的、連續(xù)的、平方可積的 ，波函數(shù)一般是復(fù)數(shù)，波函數(shù)模的平方 給出體系的狀態(tài)的幾率分布（波函數(shù)統(tǒng)計詮釋）。 0a 解：為使 歸一化，要求 2 2 202 2 2 3001 | | | | e xp( 2 )4 | | e xp( 2 ) | |rd r C r drdarC r dr C aa???? ? ? ?? ? ????于是得 301||Ca??上式指出，歸一化常數(shù)只能確定到其絕對值。 滿足，即 2|| dr???1A因此波函數(shù) 例：已知基態(tài)氫原子的電子由波函數(shù) 0( ) e x p ( )rrCa? ??描寫，試計算歸一化常數(shù) C。很顯然，對任何 一個波函數(shù) 2| ( , ) | 0r t d r A?????其中 A為常數(shù)，則有 2( , )1rtdrA????即 ( , )rtA? 是 歸一化的波函數(shù) ， 1A即 歸一化常數(shù) 。不難看出 ()r? 與 ()Cr? （ C為常數(shù)） 1r和 的相對幾率，波函數(shù) ()Cr?描述的粒子的 相對幾率 為 22112222| ( ) | | ( ) || ( ) | | ( ) |C r rC r r?????()r?()r?()Cr?2r按上述解釋，我們得出結(jié)論 ( , ) ( , )r t C r t??? 所描述的量子態(tài)與 ( , )rt?所描述的量子態(tài)是相同的，其中 21| ( , ) |Cr t d r????于是， 2| ( , ) | 1r t d r???我們將滿足上式的波函數(shù)稱為 歸一化波函數(shù) ，而該式稱為 歸一化條件 。 所描述的相對幾率分布是完全相同的。因此， 波函數(shù)有一個常數(shù)因子的不確定性。 波函數(shù)的性質(zhì) ?歸一化條件，歸一化常數(shù) 按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，很自然地要求粒子（在非相對論情況下，沒有粒子產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象發(fā)生）必定要在空間中出現(xiàn)的，所以，在整個空間中粒子出現(xiàn)的幾率總和應(yīng)等于 1，所以有 2( , ) 1r t d r????這稱之為 波函數(shù)的歸一化條件 。這三個條件稱為波函數(shù)的標準條件 。 按統(tǒng)計解釋，粒子出現(xiàn)在任何地點的幾率必須有確定的，唯一的而且是有限的數(shù)值。 這就是波函數(shù)的 幾率詮釋 ,也就是物質(zhì)波的幾率詮釋，是 M. Born研究散射問題時提出的。 因此，波函數(shù)又叫 態(tài)函數(shù) 。 描述物質(zhì)波的量不應(yīng)是一個可測的量。 四、 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋 物質(zhì)波的描述量 ——波函數(shù) 物質(zhì)波不是某種真實可測物理量的振動在空間中的傳播！ 來描寫 , 稱之為 波函數(shù) 。這樣 ,粒子的波動性只是反映了微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性。 不難理解，對于其他實物粒子的物質(zhì)波，可以有與電子 同樣的理解。 后障上某點 x鄰域內(nèi) 的 干涉花樣強度 正比于 該點 x鄰域內(nèi)的 電子 數(shù)密度大小 , 正比于 出現(xiàn)在該點 x鄰域內(nèi)的 電子 數(shù)目 ， 正比于 電子 出現(xiàn)在該點 x鄰域內(nèi)的 幾率 。近年來的研究進展表明，哪條路檢測器的退相干作用，主要來自它與被探測客體量子態(tài)的交纏。 電子是以它自己的獨特方式穿過雙縫的。這是微觀世界里的客觀規(guī)律，并非我們現(xiàn)在的實驗手段不夠高明。探測有無散射光子原則上就可判定是從哪條縫穿過的。 “which way”實驗 在一條縫后放置一個足夠強的照明光源。 上世紀九十年代中后期的 “ 哪條路檢測器 ” 實驗結(jié)果是，每個電子都只穿過一條縫 ,從未觀察到某個電子同時穿過兩縫的情況。那么，干涉效應(yīng)是怎樣產(chǎn)生的呢 ?也許電子在通過雙縫時分成了兩半，每縫通過一半。當實驗 不確定使電子從哪一條狹縫通過 時 ,電子表現(xiàn)得象波。 這里得到的曲線 ?1(x)和 ?2(x) ,沒有干涉。 直到 1970年代才有人發(fā)表干涉實驗的結(jié) 果。 最后打開兩縫做實驗，起初后障上各處咔噠聲此起彼落，貌似無規(guī)。記錄后障上各處檢測到電子的數(shù)目。這就是說，猶如上述子彈實驗，電子是以“粒子”的形式被檢測到的。這時如果我們在后障上各處布滿檢測器，則會發(fā)現(xiàn)，每次只有一個檢測器發(fā)出咔噠聲。我們甚至可以設(shè)想，電子流強如此之弱，當前一個電子從電子槍出發(fā)通過雙縫屏到達后障之前，后一個電子不出發(fā)。 在實驗中我們會發(fā)現(xiàn)，咔噠聲出現(xiàn)的節(jié)奏是不規(guī)則的，但在每處較長時間內(nèi)的平均次數(shù)是近似不變的，它與電子槍發(fā)出的電子流強成正比。 ??二、電子雙縫實驗 用一電子槍 (由一加熱的鎢絲和一加速電極構(gòu)成 )向開有雙縫的屏發(fā)射電子，再后面是接受電子的后障，先在其上安裝一個可移動的檢測器，它可以是蓋革計數(shù)器，或者更好一點，與擴音器相連的電子倍 增器，每當電子到來的時候，檢測器發(fā)出咔噠的聲響。 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 （ de Broglie假設(shè)） de Broglie關(guān)系 具有確定動量的 自由粒子 被一 平面波 所描 述 pk? hP? ?2k ??? ?? ?波 數(shù) ， ( ) ( )i k r t i p r E tA e A e?? ? ?? ? ? 將粒子所具有的微粒性和波動性統(tǒng)一起來 ， 這在經(jīng)典物理學(xué)中看來是不可能的 ， 因 經(jīng)典粒子 經(jīng)典波 √ 原子性 （ 整體性 ） 實在物理量的空間分布 軌道