【導讀】1）試驗可在相同的條件下重復進行；3）每次試驗前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).合，分為復合事件和簡單事件，還有必然事件（記為?包含關系與相等：“事件A發(fā)生必導致B發(fā)生”，記為BA?稱為B的對立事件；易知：BABA??事件的運算法則：1)交換律：ABBA???nAknkAAP)()(＝＝中樣本點總數(shù)中所含樣本點數(shù)??概率的公理化定義：設(F,?)為可測空間，在事件域F上定義一個實。域F上的概率測度，簡稱“概。是n個兩兩互不相容的事件，即jiAA＝。－)(ABP；此性質可推。廣到任意n個事件nAAA,,,21?中的兩個事件，即FBA?，稱為貝葉斯公式或逆概率公式.，則稱事件A與B相互獨立；等價于：。功—失敗”試驗,“成功”的概率常用)(APp?E．以上三種貝努里試驗統(tǒng)稱為貝努里概型．

　　

【正文】 0 3/10 3/10 1/10 （ 2）在有放回抽樣時，對表 31，按各列、各行相加，得關于 X 、 Y 的邊緣分布律為表 3表 ，對表 32，按各列、各行相加，得關于 X 、 Y 的邊緣分布律為表 3表 36. 表 33 表 34 X 0 1 Y 0 1 .ip 3/5 2/5 jp. 3/5 2/5 表 35 表 36 X 0 1 Y 0 1 .ip 3/5 2/5 jp. 3/5 2/5 （ 3）在有放回抽樣時，因為 )1,0(.. ?? jippp jiij 、 ，所以 X 與 Y 相互獨立；在不放回抽樣時，因為 1012545252111..1 ????? ppp，所以 X 與 Y 不相互獨立 . 【例 2】 設 ),( YX 的聯(lián)合密度函數(shù)為??? ????? 　　　　其它,0 10,10,),( yxC x yyxp 試求： （ 1）常數(shù) C ；（ 2） )(),( ypxp YX ；（ 3） X 與 Y 是否相互獨立 . 分析：由聯(lián)合密度函數(shù) ),( yxp 的性質 ? ????? ???? ? 1),( dxdyyxp確定常數(shù) C ，由邊緣密度函數(shù)的定義： ?? ???????? ?? dxyxpxpdyyxpxp YX ),()(,),()(，計算廣義積 37 分得 )(),( ypxp YX .關于 X 與 Y 是否相互獨立的問題，可用二維連續(xù)型隨機變量X 與 Y 相互獨立的充要條件來驗證 . 解 : （ 1）因為 ? ?? ? ??? ????????1010 4),(1 CC x y dx dydx d yyxp，因此 4?C ； （ 2）因為 ?????? dyyxpxp X ),()(， 當 10,10 ???? xy 時， xx ydyxpX 24)( 10 ?? ?，當 yx, 為其它情況時，0)( ?xpX ，所以 ??? ??? 　其它,0 10,2)( xxxp X ；同理 ??? ??? 　其它,0 10,2)( yyyp Y ； （ 3）??? ????? 　　　　　其它　　,0 10,10,4)()( yxxyypxp YX 則有 )()(),( ypxpyxp YX? ，因此， X 與 Y 相互獨立 . 【例 3】 設二維隨機變量 ),( YX 的密度函數(shù)為 ??? ?????? 　　　　　　　　其它,0 2/0,2/0,2/)][ s in (),( ?? yxyxyxp，求 ),( YX 的分布函數(shù)),( yxF . 分析：根據(jù)密度函數(shù)的定義可以看出分布函數(shù) ? ??? ??? x y d x d yyxpyxF ),(),(與),( yx 所在的區(qū)域有關，可分區(qū)域分別進行討論 . 解：當 0,0 ?? yx 時， 0),( ?yxp ，于是 0),( ?yxF ； 當 2/0,2/0 ?? ???? yx 時， 2/)][s in (),( yxyxp ?? ， ? ? ? ??? ?? ??? x y x y d x dyyxdxyxpyxF 0 0 )s in (21dy),(),( 38 2/)]s in (s in[ s in yxyx ???? ； 當 2/0,2/ ?? ??? yx 時， ? ? ????? 2/0 0 2/)c oss in1()s in (21),( ? yydx dyyxyxF y； 當 2/,2/0 ?? ??? yx 時， ? ? ????? x xxd x dyyxyxF 0 2/0 2/)c o ss in1()s in (21),( ?； 當 2/,2/ ?? ?? yx 時， ? ? ??? 2/0 2/0 1)s in (21),( ? ? d x d yyxyxF ；所以 ???????????????????????????????.2/,2/,1,2/,2/0,2/)c o ss i n1(,2/0,2/,2/)c o ss i n1(,2/0,2/0,2/)]s i n (s i n[ s i n,0,0,0),(????????yxyxxxyxyyyxyxyxyxyxF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例 4】 隨機變量 ),( YX 的密度函數(shù) 為??? ????? 　　　　其它,0 0,0,)1/(2),( 3 yxyxyxp ，求 1?X 條件下 Y 的條件分布密度 . 分析：通過 ),( YX 的聯(lián)合密度和邊緣密度函數(shù)，來求在 1?X 條件下 Y 條件分布密度 . 解：當 0?x 時，有 20 3 )1/(1)1/(2)( xdyyxxp X ????? ??； 故??? ?????? .0,0 0,)2/(8)1(/),1()1|( 3| yyypypxyp XXY 　　　　 39 【例 5】 隨機變量 ),( YX 的密度函數(shù)為??? ??? ?　　　　其它,0 ,0,),( xyxeyxp y，求}4|2{ ?? YXP . 分析：先求得邊緣密度函數(shù)，再根據(jù)條件概率的定義進行求解 . 解：因為 ???????????? ??.0,0 。0,)( xxedyexpxxyX 　　　　　 ????????????.0,0 。0,)( 0 yyyedxeypyy yY 　　　　　　故 424242 2 3)2(),(}4,2{ ???? ???????? ?? ??? eedyeydxed x d yyxpYXP yy yG 又4404 51)()4(??? ????? ?? edyyedyypYPyy Y 所以 )51/()3(}4|2{ 442 ??? ????? eeeYXP . 【 例 6】 設 隨機變量 X 和 Y 相互獨立，有??? ??? .,0 。10,1)( 　其它　 xxp X ??? ??? .,0 。10,2)( 　其它　 yyyp Y求隨機變量 YXZ ?? 的概率密度函數(shù) )(zpZ . 分析：可按分布函數(shù)的定義先求得 }{)( zZPzFZ ?? ，再進一步求得概率密度函數(shù) )(zpZ ；在計算累次積分時要分各種情 況進行討論 . 解： ???????? zyxZ d x dyyxpzYXPzF ),(}{)(，積分僅當 0),( ?yxp 時才不為 0，考慮 0),( ?yxp 的區(qū)域與 zyx ?? 的取值，分四種情況計算（如圖 31） . 當 0?z 時， 0)( ?zFZ ； 40 當 10 ??z 時，3/2)( 30 0 zdyyzF z xzZ ?? ? ? ? ； 當 21 ??z 時， ? ?? ? ? ?? ?? 1 1 010 10 22)( z xzzZ y d ydyyzF 3/13/32 ??? zz ； 圖 31 當 2?z 時， 1)( ?zFZ ；所以 ????????????????.2,1,21,3/13/,10,3/,0,0)( 323zzzzzzzzF Z　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　????? ??? ????.,0,21,2,10,)()( 22　　其它　　　　zzzzzzFzp ZZ 1 1 0 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 41 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 內 容 提 要 隨機變量的數(shù)學期望 設離散型隨機變量 X 的分布律為 ?,2,1,}{ ??? kpxXP kk ，如果級數(shù)???1k kkpx 絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量 X 的數(shù)學期望 . 設連續(xù)型隨機變量 X 的密度函數(shù)為 )(xp ，如果廣義積分 ????? dxxxp )(絕對收斂，則稱此積分值 ?????? dxxxpXE )()(為隨機變量 X 的數(shù)學期望 . 數(shù)學期望有如下性質： （ 1）設 C 是常數(shù)，則 CCE ?)( ； （ 2）設 C 是常數(shù)，則 )()( XCECXE ? ； （ 3）若 21 XX、 是隨機變量，則 )()()( 2121 XEXEXXE ??? ； 對任意 n 個隨機變量 nXXX , 21 ? ，有 )()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE ??????? ?? ； （ 4）若 21 XX、 相互獨立，則 )()()( 2121 XEXEXXE ? ； 對任意 n 個相互獨立的隨機變量 nXXX , 21 ? ，有 )()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE ?? ?. 42 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 設離散型隨機變量 X 的分布律為 ?,2,1,}{ ??? kpxXP kk ，則 X 的函數(shù))(XgY? 的數(shù)學期望為 ?2,1,)()]([1 ?? ??? kpxgxgE k kk，式中級數(shù)絕對收斂 . 設連續(xù)型隨機變量 X 的密度函數(shù)為 )(xp ，則 X 的函數(shù) )(XgY? 的數(shù)學期望為 ?????? dxxpxgxgE )()()]([，式中積分絕對收斂 . 隨機變量的方差 設 X 是一個隨機變量，則 })]({[)()( 2XEXEXV a rXD ??? 稱為 X 的方差 . )()( XXD ?? 稱為 X 的標準差或均方差 . 計算方差也常用公式 22 )]([)()( XEXEXD ?? . 方差具有如下性質： （ 1）設 C 是常數(shù)，則 0)( ?CD ； （ 2）設 C 是常數(shù)，則 )()( 2 XDCCXD ? ； （ 3）若 21 XX、 相互獨立，則 )()()( 2121 XDXDXXD ??? ； 對任意 n 個相互獨立的隨機變量 nXXX , 21 ? ，有 )()()()( 2121 nn XDXDXDXXXD ??????? ?? ； （ 4） 0)( ?XD 的充要條件是：存在常數(shù) C ，使 ))((1}{ XECCXP ??? . 幾種常見分布的數(shù)學期望與方差 （ 1） )1()(,)().10(~ ppXDpXEX ???? ； （ 2） )1()(,)().,(~ pnpXDnpXEpnBX ???； 43 （ 3）)1( ))(()(,)().,(~ 2 ? ???? NN nNMNnMXDNnMXENMnHX； （ 4） ???? ?? )(,)().(~ XDXEX ； （ 5） 2/)1()(,/1)().(~ ppXDpXEpGX ???； （ 6） 12/)()(,2/)()().,(~ 2abXDbaXEbaUX ????； （ 7） 2/1)(,/1)().(~ ??? ?? XDXEeX ； （ 8） 22 )(,)().,(~ ???? ?? XDXENX . 矩 設 X 是隨機變量，則 ?,2,1),( ?? kXE kk? 稱為 X 的 k 階原點矩 . 如果 )(XE 存在，則 ?,2,1},)]({[ ??? kXEXE kk? 稱為 的 k 階中心矩 . 設 ),( YX 是二維隨機變量，則 ?,2,1,),( ?? lkYXE lkkl? 稱為 ),( YX 的lk? 階混合原點矩； ?,2,1,},)]([)]({[ ????? lkYEYXEXE lkkl? 稱為),( YX 的 lk? 階混合中心矩 . 二維隨機變量的數(shù)字特征 (1) ),( YX 的數(shù)學期望 )](),([),( YEXEYXE ? ； 若 ),( YX 是離散型隨機變量， 則 ??????? 1 1)( i j iji pxXE， ??????? 1 1)( i j iji pyYE. 若 ),( YX 是連續(xù)型隨機變量，則 ? ????? ????? dx dyyxxpXE ),()( ， ? ????? ????? dx dyyxypYE ),()( .這里，級數(shù)與積分都是絕對收斂的 . 44 （ 2） ),( YX 的方差 )](),([),( YDXDYXD ? 若 ),( YX 是離散型隨機變量，則 ? ????? ?? 1 12)]([)(i j iji pXExXD，? ??? ?? ?? 1 1 2)]([)( i j iji pYEyYD . 若 ),( YX 是連續(xù)型隨機變量，則 ? ????? ???? ?? d x d yyxpXExX