【正文】 c c c ccc?????????? ? ? ?????????????X = , , , Q Q Q12 n 設(shè) 的 列 向 量 是 ，Q Q , Q , , Q? ? T2 1 2 n rc c c?Y , , ,例 0 r a nk ( ) r a nk ( )nn??若 ， 矩 陣 為 列 ， 證 明A B =AB證 ? ? ? ?r a n k , r a n k . rs??? B 的 每 一 列 都 是 方 程 A X = 0 的 解 .ABA X = 0 的 基 礎(chǔ) 解 系 包 含 nr 個(gè) 解? B 中 至 多 有 nr 個(gè) 線 性 無 關(guān) 向 量? s ≤ nr ， 即 r + s ≤ n.設(shè) 有 非 齊 次 線 性 方 程 組1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?1 2 1 2, , , , , , , ,TTi j m mmnA a b b b b X x x x?? ? ?非齊次線性方程組 A X b?（ ） 定 理 ? ? ? ?1 2 1 21 若 X , X 是 的 兩 個(gè) 解 ， 則 ζ = X X 是對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 組 A X = 0 的 解 ；? ? ? ?? ?**2 若 X 是 的 一 個(gè) 特 解 ， δ 是 對 應(yīng) 齊 次 方 程組 的 通 解 ， 那 么 的 通 解 為 X= δ +X證 ? ? 121 A X b A X b??由 和 得? ?1 2 1 2 0,A A X X A X A X? ? ? ? ? ?0AX? ?所 以 是 的 解 .? ? ? ? ? ?? ?*11*00X X XAXXAX?? ? ?????????112 若 是 的 任 意 一 個(gè) 解 ， 由 1 知是 的 解 ， 所 以 含 于 通 解 中 （ 即 可 由 中 所含 的 任 意 常 數(shù) 取 特 定 值 而 得 到 ） 的 任 意 解 可 寫 成 的 形 式 ，這 里 是 的 通 解 .0AX? ?若 是 的 通 解 ， 則? ?**A X A A X b??? ? ? ?*X AX b? ??所 以 是 的 解 ， 綜 合 上 述 知*XX??? ? ?是 的 通 解 .反之 子 空 間 的 概 念VV n設(shè) 是 的 非 空 子 集 ， 若 對 向 量 加 法 與 數(shù) 乘封 閉 ， 即 滿 足R? ? ,VV? ? ? ?? ? ? ?1, 有 ；? ?? ? ? ?? ? ? ?n， ， 有RV n稱 是 的 線 性 子 空 間R? ?| 0 ,W X A X X? ? ? nRn是 的 子 空 間 .R證 1 2 1 2,X X W ???? n設(shè) ， , 由 定 理 知R1 1 2 2 .X X W?? ??0 WW?? n又 ， 是 的 子 空 間R4 . 2 0例 0A m n AX??設(shè) 是 矩 陣 ， 則 方 程 的 解 集 。12 r? ? ?設(shè) 有 向 量 組 ， ， ， ， 則 所 有 可 由 這 個(gè)向 量 組 線 性 表 示 的 向 量 組 成 集 合? ?1 1 2 2 | 1 , 2 , , .r r iV i r? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，RV n仿 照 例 可 以 證 明 ， 是 的 子 空 間 ，R12 r? ? ?， ， ，由 向 量 組 生 成 的 子 空 間定 理 ? ? ? ?1 2 1 2, , ,rsLL? ? ? ? ? ??， ， ，? ? AB2 向 量 組 與 向 量 組 等 價(jià)? ? ? ?1 2 1 2, , ,rsLL? ? ? ? ? ??， ， ，? ? 1 2 1 2 : , , ,rsAB? ? ? ? ? ?1 ： ， ， ， 可 用 線 性 表 示12: rAVVA? ? ?設(shè) 向 量 組 ， ， ， 是 子 空 間 中 的 線 性無 關(guān) 組 ， 且 中 任 意 向 量 是 向 量 組 的 線 性 組 合 ，稱 .向 量 組 A 為 子 空 間 V 的 一 組 基? ?V A r Vr r Vn若 的 子 空 間 的 一 組 基 包 含 個(gè) 向 量 ， 稱 是維 子 空 間 ， 稱 為 的.R維 數(shù)子 空 間 0 的 維 數(shù) 定 義 為 0子 空 間 的 基 、 維 和 向 量 坐 標(biāo)基 維 例 ? ?? ?12 , , , 0 | 0 , nrA X W X A Xra n k A r nnrWWW n rXW? ? ??? ? ? ????????nn方 程 的 基 礎(chǔ) 解 系 包 含 個(gè) 線 性 無 關(guān) 解 記 為中 任 意 向 量 是解 集 是 的 子 空 間它 們 的 線 性 組 合基 礎(chǔ) 解 系 構(gòu) 成 的 一 組 基中 任 意 個(gè) 線 性 無 關(guān) 解 都 是 一 組 基也 是 方 程 的 一 組 基 礎(chǔ) 解 系 .RR例 ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 2 3 3 1 2 3233| , ,1 , 2 , 0 , 2 , 3 , 1 , 1 , 1 , 1T T TV x x x x x xV? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1設(shè) ， 其 中 ，證 明 是 的 子 空 間 ， 且 求 它 的 一 組 基 .nRR? ?1 2 31 2 31 2 3, , ,nVLV? ? ?? ? ?? ? ????它 是 的 子 空 間 。為 求 的 一 組 基 ，只 要 求 出 與 等 價(jià) 的 一 個(gè) 線 性 無 關(guān) 組求 出 的 一 個(gè) 最 大 線 性 無 關(guān) 組nR證 由? ?1 2 31 2 1 1 2 1, , 2 3 1 0 1 1 ,0 1 1 0 0 0? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1 2 1 2 3, , ,V? ? ? ? ?? 是 的 一 個(gè) 最 大 線 性 無 關(guān) 組 ，也 就 是 的 一 組 基 .? ?1 2 1 21212,nV V V VVVVV???若 都 是 的 子 空 間 ，則 的 維 數(shù) 的 維 數(shù) ，等 號(hào) 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 成 立 .nR定 理 證 1 2 1 21 2 1 2212, : , , ,: , , ,..rsV V r s AB V V AV A BA r s V V r s? ? ?? ? ?? ? ?設(shè) 的 維 數(shù) 分 別 為 和 ， 且 向 量 組和 分 別 是 和 的 一 組 基 . 因 向 量 組的 每 個(gè) 向 量 屬 于 ， 所 以 向 量 組 可 用 向 量 組 線 性表 示 . 又 因 線 性 無 關(guān) ， 因 而 若 , 顯 然? ? ? ?1 1 2 1 2 2, , ,rsV L L V? ? ? ? ? ?? ? ? ?， ， ，12 r VV? ? ?設(shè) ， ， ， 是 子 空 間 的 一 組 基 ， 則 中 任 意向 量 可 以 唯 一 地 表 示 為 基 向 量 的 線 性 組 合 ， 這 就引 出 向 量 坐 標(biāo) 的 概 念 .22r s A V sV?反 之 ， 若 ， 則 向 量 組 是 中 包 含 個(gè) 向 量 的 線 性無 關(guān) 組 ， 因 而 也 是 的 一 組 基 ..由 此 可 知 ， A 與 B 等 價(jià)定 義 12nr VV? ? ??設(shè) ， ， ， 是 子 空 間 的 一 組 基 ， 則中 任 意 向 量 可 唯 一 地 表 示 為R1 1 2 2 nnx a x a x a? ? ? ? ?12, , , )Tnx x x?有 序 數(shù) 組 ( 稱 為 向 量 在 這 組 基 下 的 坐 標(biāo) 一 個(gè) 向 量 在 兩 組 基 下 坐 標(biāo) 之 間 的 關(guān) 系1 2 1 211 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 2: , , , : , , ,nnnnnnnn n nn nRABp p pp p pp p p? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??12n設(shè) 有 的 兩 組 基 ：AB基 到 基 的 過 渡 矩 陣1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn P? ? ? ? ?