[理學(xué)]第四章n維向量空間-文庫(kù)吧資料
2025-01-25 15:14本頁(yè)面
【正文】 1 2 2 3 3 11 2 2 3 3 12 , 3 , 3 , , , , , , 2 , 3 , 32 , 3 , 333ran kran k? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ???? ???矩 陣 進(jìn) 行 初 等 變 換 ， 秩 不 變 。所 以 ， 由 定 理 知 ， 可 由 , 惟 一地 線,性 表 示 。111ββ? ? ? ?22, , , , ,mmra nk ra mnk? ? ? ? ? ???11 β2, m? ? ?可 由 惟 一 線 性 表 示1β定理 定理 22( , , ) , , , , , 1 , , , ,mmr a n k mmm? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????則 線 性 無(wú) 關(guān) ，r a n k ( ) = 則 線 性 相 關(guān)11β β? ? ? ? ? ?nn1 1 1 , 0 1 1 , , ,10T T T?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???1 2 n1 2 n1 2 n例 惟 一 地 線 性 證 明 任 意 維 向 量 均 可 由 維 向 量 組 ， ， ， ， ， ， 0,0 ， 0,1。： 將 ， ， 各 自 第 個(gè) 分 量 去 掉 ， 得 到 ：， ， ，1 1 1由 于 det( ， ， )= a b ca所 以 ， ， ， 是 線 性 無(wú) 關(guān) ， 則例，證23?， 也 線 性 無(wú) 關(guān) 。? ? ? ? ? ?1 2 32 2 21 2 31 2 31 2 3221 2 31 1 , , , , 1 , , , , 1 , , , .,4 ( ) ()) (0T T Ta a b b b c c c aabcb a c a c bbc? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?1 2 12證 明 下 列 向 量 組 ， ， 線 性 無(wú) 關(guān) 。 這 與條 件 線 性 無(wú) 關(guān) 矛 盾 。 , , ,mmmm? ? ???? ? ?? ? ??證 ： 反 證 法 。 39。 , , 39。 ,m? ? ?把 每 個(gè) 向 量 任 意 添 加 個(gè) 分 量 后所 得 向 量 組 線 性 無(wú) 關(guān)s 12121212 s, , , , , , 39。 , 39。 , , , 39。? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?推論 ? ? ? ?? ?1 2 1 2121 , , , d e t , , , 0d e t , , , 0nnn? ? ? ? ? ?? ? ?????線 性 無(wú)線 性相 關(guān)關(guān)? ? 12 2 , , , mm n n ? ? ??當(dāng) 時(shí) , 維 向 量 組 必 定 線 性 相 關(guān)證明 (2) ? ?? ?121212, , , , , , , ,mmmnrank n m??矩 陣 只 有 行 它 的 秩 所 以 向 量 組 線 性 相 關(guān)? ? ?? ? ?? ? ?1212121212121 1 2 2 , , , , , , , , , , , , , , ,0mmmmmmmmnpnc c cc c c?? ? ? ?設(shè) 維 向 量 組 線 性 相 關(guān) ，是 矩 陣 ， 則 向 量 組 也 線 性 相 關(guān) ；反 之 ， 若 向 量 組 線 性 無(wú) 關(guān) ， 則 向 量 組 線 性 無(wú) 關(guān)：若 線 性 相 關(guān) 則 存 在 不 全 為 零 的數(shù) 使 定 理證? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? A A A AA A A1 1 2 2 0mmc c c? ? ?? ? ? ?兩 邊 左 乘 矩 陣 A1 1 2 2 0 mmc c c? ? ?? ? ? ?A A A12, , , m 線 性 相 關(guān)? ? ?A A A121212( , , , , ), , , , ,mmmA A A?若 線 性 相 關(guān) 線 性 相 關(guān) 引 起 矛 盾反 之 ， 若 線 性 無(wú) 關(guān) ，原 向 量 組 也 必 線 性 無(wú) 關(guān)? ? ?? ? ?? ? ??A A A? ?? ?? ?? ?1 1 , 1 12 1 , 2 2111,21 112 22 212 , , , , , , , , , , , , , , , 1 TrnTrnTmrrm m rm r m nma a aa a aa a aaaan????????????則 這，推 論 （些 向 量 的 個(gè)，成若的）組 向 量維 向 量 組線 性 相 關(guān)前 r分 量 r n? ?? ?? ?1 11 12 12 12 22 212 39。向 量 空 間記 為維 復(fù)? ?? ?1 2 n 1 2 n , , , z , , , zTnC z z z z? 為 復(fù) 數(shù)向量的線性表示 1212 ,4 , , ,.2 mmnk k k設(shè) 都 是 維 向 量 ， 定 若 存 在 數(shù) 使 得義 ? ? ? ,β,1 1 2 2 mmk k k? ? ?? ? ? ?β1212, , , , ,mm稱 可 由或線 性 表 示線 性的 合稱 組是? ? ?? ? ?ββ第二節(jié) 向量的線性表示與線性相關(guān) ? ?1234121 2 3344 = 3 ,2 ,0 ,5 ,( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 ) ,( 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ., , ,2 0 5TTTTTeeeee e ee e eee??? ???????例 向 量可 由 線 性 表 示 ：=3? ?1 1 2 21212( 1 , 0 , , 0), ( 0 , 1 , , 0), , ( 0 , 0 , , , , , 1) nnnnex e x e xeenxexx??????????一 般 地 ，對(duì) 任 意 維 向 量向 量 線 性 表 示 與 線 性 方 程 組 的 關(guān) 系11 1 1211 1221 222 1 121 1 22 2 2 21211n nm2 , mmmmn n n m m nmna x x x bx x x bx x x b? ? ? ???? ? ? ????????????????????????給 定 具 有 個(gè) 變 量 的 個(gè) 線 性 方 程 組 成 的 方 程 組記??? ? ?????????? α α12122n22m11n, , , bmmmmbx x x??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ? ?1b方 程 組 寫 成 ： ? ? ?????α βm( ) ( , )( ) ( ( 1) ,)rank rankrank rank m???1 2 m 1 2 m1 2 m 1 2 m1 2 m1 2 m1 (1) 向 量 可 由 向 量 線 性 表 示
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