【正文】 ?例 8 設 (X, Y)的協(xié)方差矩陣為 求 ?XY 解 : 由協(xié)方差的定義可知 例 9 (X, Y)的分布由下表給出 X Y 1 2 0 11012 31 0065 00121013解 ： 由上表可求出 X, Y, XY的分布： X 1 0 2?5 1 512 6 12Y 10137 1 112 12 3XY 1 103??11712 3 12求協(xié)方差 Cov(X, Y)和相關系數(shù) ? EX DX= E(X2) ?[EX]2 E(X2) ? ? 5 5 5121 2 1 2 1 2? ? ? ? ? ? ? ?2 25 5 2 5121 2 1 2 1 2? ? ? ? ? ?275144?EY E(Y2) DY 1336?37108? 227536?Cov (X,Y) =E(XY)? EXEY 221432??0 .5 1 1 6??? ? ?? ? ? ?,Cov X YXY??????(X) ??Y ?例 10 設 (X, Y)的密度為 ： 221 ,1( , )0,xyf x y ?? ???? ??? 其 它( , )Cov X Y求( , ) ( )C o v X Y E X Y E X E Y??( , )EX x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??1 212 1 x x d x??? ? ??0EY ?0?2211111xx x d x d y??? ? ?? ??解 ： 同理 ( , ) ( )C o v X Y E X Y E X E Y??所以 ?0 ( ) ( , )E XY x y f x y dxdy? ? ? ?? ? ? ?? ??22 11xyx y d x d y? ??? ?? 0?所以 ?=0 2211111 xxx dx y dy??? ? ?? ??但是 ? ?22 1 1 10Xxxfx?? ? ? ? ??? ??? 其他 ? ?22 1 1 10Yyyfy?? ? ? ? ??? ??? 其他 顯然 ? ? ? ? ? ?, XYf x y f x f y? 即 X,Y不獨立 ( ?=0只說明 X,Y沒有線性關系 ,不能得出 X,Y獨立 ) 例 11 ? ?1 s i n 0 , 0( , )2 2 20x y x yf x y??? ? ? ? ? ?????? 其 它設 (X, Y)的密度為： ( , ) ,C o v X Y ?求 ( , )EX x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??解 : 22001 s i n( )2 x x y dxdy??????22001 s i n ( )2 xdx x y d y??????201 ( s i n c os )2 x x x dx????4??22( ) ( , )E X x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??222001 sin( )2 x x y dx dy??????2201 ( sin c os )2 x x x dx????2282??? ? ?? ? 22()D X E X E X?? 2 21 6 2??? ? ?EY ?同理 4? DY 2 21 6 2??? ? ?( ) ( , )E XY x y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??22001 s i n( )2 x dx y x y dy?????? 12???所以 ( , ) ( )C o v X Y E X Y E X E Y?? 212 16??? ? ?( , )( ) ( )C ov X YXY? ???228 1 68 3 2??????????相關系數(shù)的性質 因為相關系數(shù)只與兩個隨機變量有關 ， 下面假定這兩 個隨機變量是 X和 Y， 它們的相關系數(shù)記為 ? . 性質 1 | | 1? ?| | 1? ?{ } 1P Y a X b? ? ?即存在常數(shù) a和 b,且 a≠0，使得 設隨機變量 X, Y的相關系數(shù)為 ?， 則有 (1) ( 或 ?1? ? ?1 ) (2) 的充要條件是 X和 Y以概率 1線性相關 證： (1) X E XXDX? ?? Y E YYDY? ??令 ( , )C ov X YDX DY? ?則 ? ?E X Y???? ? 22 E X Y? ????? ?? ? ? ? ?22E X E Y??? 1?其中 ? ?2EX ? ? ? ?2E X E XDX??? ?? ?2X E XEDX???????1DXDX??同理 ? ?2 1EY ? ? 所以 ? 2?1 ? ? 10P Y a X b a? ? ? ?且|?|越接近 1, X與 Y之間的線性關系越密切 |?|=1時 , Y 與 X存在完全的線性關系 , 即 Y a X b??|?|=0時 , X與 Y之間無線性關系 （ 2） |?|=1的充分必要條件是存在常數(shù) a, b 使 （證明略 .） 相關系數(shù)是兩個隨機變量間線性關系密切程度的度量 . C o v ( , ) [ ( ) ( ) ]X Y E X E X Y E Y? ? ?定義 若相關系數(shù) ?XY=0， 則稱 X與 Y不相關 . 若隨機變量 X與 Y相互獨立 , 則 =0 性質 2 ?XY=0 證： 若 X與 Y獨立 , 則 X E X? Y EY?與 也獨立 所以 ( ) ( )E X E X E Y E Y? ? ??XY=0 即 此性質之逆不成立 注： 即 X與 Y不相關 , 不能得出 X與 Y一定獨立 （獨立是描述隨機變量 X與 Y一般關系的，而相關系數(shù)僅描述線性關系） 若 X與 Y獨立 ? X與 Y不相關 ?性質 3 對隨機變量 X和 Y，下面事實是等價的 Cov(X,Y)=0 (1) X和 Y 不相關 (3) E(XY)= EXEY (4) D(X+Y)= DX+DY 證： (1)和 (2)顯然等價 (2) 因為 Cov(X,Y)= E(XY)?EXEY (1)和 (3)等價 所以 又因為 D(X+Y)= DX+DY +2Cov(X,Y) 所以 (1)和 (4)等價 性質 4 設隨機變量 X1和 X2 的方差存在 , 令 X=a1X1+b1 ， Y=a2X2+b2 則 X和 Y的相關系數(shù) ?XY = 其中 ?12 是 X1和 X2 的相關系數(shù) 證： DX= D(a1X1+b1)= a12DX1 DY= a22DX2 Cov(X, Y)= Cov(a1X1+b1, a2X2+b2)=a1a2Cov (X1, X2) 121212aaaa ??XY = ( , )C o v X YD X D Y1 2 1 21 2 1 2( , )a a C o v X Xa a D X D X? 12 1212aaaa ??特別地 , 當 111X E XXDX?? 222X E XYDX?? 時 E(X)=0 E(Y)=0 D (X)=1 D(Y)=1 此時 , Cov(X, Y)= ?XY = ?12 性質 4說明 , 相關系數(shù)不依賴于原點和單位的選取 , 正是這個緣故 ,我們用相關系數(shù)而不用協(xié)方差來作 為刻劃隨機變量間相互關系 (指線性關系 )密切程 度的一個數(shù)字特征 。 例 12 設 X服從區(qū)間 11,22???????上的均勻分布 , 因此 , 求 Cov(X , Y), ? 解 : X的密度函數(shù)為 111() 220xfx ? ? ? ?????? 其他 EX=0 Cov(X , Y)=E(XY)? EX EY =E(XY)= E(XcosX) 1212c o sx x d x?? ? 0??=0 ( ?=0說明 X,Y不相關 ,但它們有嚴格的函數(shù)關系 且 Y= cosX Y= cosX ) 性質 5 對于二維正態(tài)分布 ,不相關和獨立是等價的 (前面曾經(jīng)證明 ,對于二維正態(tài)分布 ,不相關和 獨立的充要條件是 ?=0 ) 小結 : (1)相關系數(shù)只能刻畫 X,Y之間線性關系 的程度 , 而不能刻畫 X,Y之間一般的函數(shù)相依關 系的程度 . (2)在應用上 ,最重要的分布是二維正態(tài)分布 , 此時不相關和獨立是等價的 . 解： 設 X， Y是隨機變量，且 Y=5X+6, DX=3 求 Cov(X,Y), ? 例 13 Cov(X, Y+b)= Cov(X, Y) = 5Cov(X, X) = 5DX = 15 DY=D(5X+6)=25DX=75 ( , )xyC o v X YD X D Y? ? 157 5 3? 1?此題用到 : Cov(X, Y)= Cov(X, 5X+6) Cov(X, b)= 0 例 14 設 X， Y獨立，且 DX=DY=?2 aX+bY與 cX+dY的協(xié)方差和相關系數(shù) 求 解： Cov(aX+bY, cX+dY) =Cov(aX+bY,cX) =Cov(aX,cX) +Cov(aX+bY,dY) +bcCov(Y, X) +Cov(aX,dY) +Cov(bY,dY) =acCov(X, X) +Cov(bY,cX) +adCov(X, Y) +bdCov(Y, Y) ? ? 0 0 =acDX +bdDY =(ac+bd)?2 ( , )( ) ( )C o v a X b Y c X d YD a X b Y D c X d Y? ?????? ? 22 2 2 2a b c da D X b D Y c D X d D Y?????? ? 22 2 2 2 2 2 2 2a b c da b c d?? ? ? ?????? ?2 2 2 2a b c da b c d????例 15 設隨機變量 ?在 [0, 2?]上服從均勻分布 , 且 X=cos ?, Y=cos(?+a) a是常數(shù) 求 ?XY 解： 1 02() 20xfx??? ??????? 其 它 設隨機變量 ?的密度為 EX= E(cos?) EY= ? ?co s x f x d x??????? 201 c o s2 x d x??? ? =0 ? ?201 c o s2 x a d x?? ?? =0 E(X2)= 22011c o s22x d x?? ??E(Y2)= ? ?2 2011c o s22 x a d x?? ???DX= DY= E(XY)= 1212? ?2022c o s c o s c o s22 x x a d x a?? ???因此 ， Cov(X, Y)=E(XY)?EXEY= 1 cos2 a?=cosa X= ?Y X=Y 當 a=0時 ， ? = 1， 當 a=?時 ， ?= ?1， 當 a= 或 2? 時 ， 32? ? = 0， （ 此時存在線性關系 ） 此時 X, Y不相關 但此時 X2 ＋ Y2＝ 1， 因此 ， X, Y不獨立 4 , 1 , 0 . 6D X D Y ?? ? ?( ) , ( 3 2 )D X Y D X Y??. ( ) 2 ( , )D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ?( 3 2 ) ( 3 ) ( 2 ) 2 ( 3 , 2 )D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ?例 16 已知 求 解 : 2D X D Y D X D Y?? ? ? ?4 1 2 0 . 6 2 17 . 4? ? ? ? ? ??9 4 1 2D X D Y D X D Y?? ? ? ?3 6 4 1 2 0 . 6 2 1 4 0 1 4 . 4? ? ? ? ? ? ? ??