[理學(xué)]第六章保形映射正式版-資料下載頁
2025-01-19 15:12本頁面
【正文】 角形區(qū)如圖所示 x 1 ?i i ?1 C1 C2 y (z) O C239。 C139。 O u v (w) 68 00Re 00 a r gI m zzRzz ??? ?? ??? ?????例 7 求 映 為 的 分 式 線 性 映 射 。0 。 .zRz R w z R w w k zR ?? ? ? ? ? ? ? ? ?[ 解 ] 令? ?0 1 1 1 1z w w k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?再 取? ?w1??zR? R0.zRw zR??? ?69 例 8 求把下圖中由圓弧 C2與 C3所圍成的交角為 a的月牙域映射成角形域 ?0arg w?0+a的一個映射 . ?0 (w) O 1 C1 C2 a (z) O ?i i 70 a O (?) ?0 (w) O 1 C1 C2 a (z) O ?i i ?????????izizi? ?? 0e iw ??????? ??? ? iz izew i )2( 0??1 71 [解 ] 令 C1,C2的交點 z=i與 z=?i分別映射成 ?平面中的 ?=0與?=?, 將所給月牙域映射成 ?平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù) : ?????????izizk? 其中 k為待定的復(fù)常數(shù) . 111 1 11,.iz k ik k iiziiCzi???????? ? ? ? ? ? ? ? ?????????? ?????令 。這 樣 就 把 映 射 成 平 面 上 的 正 實 軸00()2, 0 a r g ..ii z i z iw ie ez i z i????a?????? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?根 據(jù) 保 角 性 所 給 的 月 牙 域 映 射 成 角 形 域由 此 得 所 求 的 映 射 為72 167。 4 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射 1. 冪函數(shù) w=zn(n?2為自然數(shù) )在 z平面內(nèi)處處可導(dǎo) , 它的導(dǎo)數(shù)是 1d ,d nw nzz ?? d wz ?因而當(dāng) z?0時 , 所以 , 在 z平面內(nèi)除去原點外 , 由 w=zn所構(gòu)成的映射處處保形 . ,nnwzii rz re w en?? ????? ? ?? ? ???? ???圓 周 圓 周 ；射 線 射 線 。映射的特點是 : 把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域 , 但張角變成了原來的 n倍 . 73 O (z) ?0 O (w) n?0 w=zn (z) (w) O O n?2 上岸 下岸 w=zn 002)n? ? ? ???? ? ? ??000角 形 域 : 角 形 域 :n( 由 單 值 性 可 知00 ?? ? ?? ? ? ?2特 別 ， 沿 實 軸 剪 開 的 w 平 面 : 2 .n74 0 0 02: 0 0 ( )nn?? ? ? ? ?? ? ? ? ?nn n根 式 函 數(shù) z= w于 是 w=z 和 z= w 的 映 射 特 點 是 擴 大 與 縮 小 角 形 域 。例 1 求把角形域 0arg z?/4映射成單位圓 |w|1 的 一個映射 . [解 ] ?=z4將所給角形域 0arg z?/4映射成上半平面 Im(?)0. 又從上節(jié)的例 2知 , 映射 44| | 1..iwwiziwzi?????????將 上 半 平 面 映 射 成 單 位 圓 因 此所 求 映 射 為75 (z) O 4?O (? ) 1 (w) ? ? z4 iiw?????izizw???4440 a r g 0 1.4iz z I m w wi??????? ? ? ? ? ??76 01210 a r g2zwz?? ?????????例 求 映 為 單 位 園 的 一 個 映 射 .2222222201010 a r g0 a r g2I m 01I m 0R e 01111.11zzztt s t stzizsiw w wsiziz???????? ??? ????????????????? ? ? ??????? ????????? ? ? ???? ???????解 ：77 2. 指數(shù)函數(shù) w = e z由于在 z平面內(nèi) w‘= e z ?0。所以 , 由 w = e z所構(gòu)成的映射是 0y2?上的保形映射 . 設(shè) z =x+iy, w =? e i?, 則 w = e z =e x+iy =? e i? 推出 ?= e x ： z平面上垂直線 x映射成 w平面上圓周 ?； （ x?0?單位 圓周 ,x0 ?單位 圓內(nèi) ,x0 ?單位 圓外） ? = y： z平面上水平直線 y映射成 w平面上射線 ? 。 帶形域 0Im(z)a映射成角形域 0arg wa. 特別是帶形域 0Im(z)2? 映射成沿正實軸剪開的 w平面 :0arg w2?.它們間的點是一一對應(yīng)的 . 78 ai O x y (z) arg w=a u O v (w) 2?i O x y (z) O u v (w) w=ez z=lnw 79 由指數(shù)函數(shù) w = e z 所構(gòu)成的映射的特點是 : 把水平的帶形域 0Im(z)a(a??)映射成角形域 0arg wa. 例 4 求把帶形域 0Im(z)?映射成單位圓 |w|1的 一個映射 . ? ?? ? ?w?=e z iwi?????eezziwi???? ?zi?80 例 4 求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。 i???zi??? ??z? ??1 1 i???t1 1 i? ?wte?? wt??zwe ???81 例 6 求把具有割痕 Re(z)=a, 0?Im(z)?h的上半 平面映射成上半平面的一個映射 . x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a?h a a+h B C D 82 x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a?h a a+h B C D O (z1) C B D ih ?h2 C O B D (z2) C O Bh2 D (z3) O (z4) C B D ?h +h z1=z?a z2=z12 z3=z2+h2 34 zz ?w=z4+a ahazw ???? 22)(83 [解 ] 不難看出 , 解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于 x軸的割痕的兩側(cè)和 x軸之間的夾角展平 . 由于映射 w=z2能將頂點在原點處的角度增大到兩倍 , 所以利用這個映射可以達(dá)到將割痕展平的目的 . 首先 , 把上半 z平面向左平移一個距離 a:z1=z?a. 第二 , 由映射 z2=z12, 得到具有割痕 h2?Re(z2)+?, Im(z2)=0的 z2平面 . 第三 , 把 z2平面向右作一距離為 h2的平移 : z3=z2+h2, 便得到去掉了正實軸的 z3平面 . 4 3 4, , .z z z?第 四 通 過 映 射 便 得 到 上 半 平 面84 22:()w z a h a? ? ? ?把 所 有 的 映 射 復(fù) 合 起 來 就 得 到 所 求 出 映 射44,:,.zaw z a w??最 后 把 平 面 向 右 作 一 距 離 為 的 平 移便 得 到 平 面 中 的 上 半 平 面
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