[理學(xué)]第五章2拉普拉斯變換的性質(zhì)-資料下載頁
2025-01-19 15:10本頁面
【正文】 dFt tf ??? ? 0Re ??s? ? 0Re ??s證明： ? ? ? ?? ? ?? 0 dtetfsF st上式對 S求導(dǎo) ， 并交換微分 ， 積分順序得 : ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??00dtedsdtfdtetfdsdds sdF stst? ? ? ? ? ? ? ?? ?tftLdtetft st ???? ? ? ?0 仍為指數(shù)階的 ， 收斂域仍為 ? ?ttf ? ? ?0Re ??s? ? ? ? ? ?ds sdFtft ??? 得證。 ? ? ? ? ??? ? ddtetfdFsts ? ??? ? ????????? 0 ? ? dttetfst ???? ?? 0 ?? ? ? ? ???????? ? ? ?ttfLdttetf st0? ?? ?? ? ? ???????0 dtdetfst ??顯然，這里的 應(yīng)存在拉氏變換，在有 限區(qū)間可積 ， 且是指數(shù)階的 。 ? ?ttf例 ． 求 的象函數(shù) 。 ? ?tet t?? 2 ?解：法一：設(shè) ? ? ? ? ? ? ??? ???? ? ssFtetf t 1? ? ? ? ? ? ? ? 322 2???????ssFtet t? ?? ? ? ? 32 2 ?????? ?stetL t法二：令 ? ? ? ? ? ? 32 2ssFtttf ??? ?由移位特性 ? ? ? ? ? ? 32????????ssFtfe t例 ． 求 的象函數(shù) 。 ? ?tet t?? 2 ?例 2． 求 的象函數(shù) 。 ? ?ttt ?s in解： ? ? 11s i n 2 ?? stt?由 S域積分特性可得 s? ? ??? dtttLs??????????11s i n2? ?Ss s 1a r c t a na r c t a n2a r c t a n ???? ? ??? ? ???????sstsi1a r c t a n1九 ． 初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用來由 直接求 而不必求出 。 ? ?sF? ? ? ??? ff ,0 ??tf 初值定理 :設(shè)函數(shù) 不包含 及其各階導(dǎo)數(shù) ,且 ??tf ? ?t?? ? ? ?sFtf ? ? ?0Re ??s則有 ? ? ? ? ? ?ssFtffst ???????limlim00? ? ? ? ? ?? ????? ?? 0lim039。 fssFsfs? ? ? ? ? ? ? ?? ????????? 00lim0 39。239。39。 fsfsFssfs 若函數(shù) 包含 及其各階導(dǎo)數(shù) ,則 ??tf ? ?t?? ?tFsasaatf ppp ????? ?10)( ? ? ? ?ssFf ps ??? ? lim0證明： ? ? ? ? ? ???? 0 39。 fssFt f?? ? ? ? ? ???? ? ??? ???????039。0039。039。 dtetfdtetfdtetf ststst? ? ? ? ? ???? ??? ??00 0039。 ffdtetf st? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ??????? 0 39。0 39。 00 dtetfffdtetf stst? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??????????039。000 dtetffffssF st? ? ? ? ? ?? ? ?????039。0 dtetffssF st對上式取 的極限 ??s ? ? ? ?ssFfs ??? ?? l i m0 同理 ， 可推得 ? ? ? ? ? ?? ????? ?? 0l i m039。 fssFsfs? ? ? ? ? ? ? ?? ????????? 00lim0 39。239。39。 fsfsFssfs終值定理：若函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限存在， 即 存在且 ??tf ??t? ? ? ?tff t ???? lim? ? ? ?sFtf ? ? ? 0Re ??s 00 ??則 ? ? ? ?ssFf s 0lim???注意： 收斂域應(yīng)包括原點(diǎn) 點(diǎn) ， 否則不能應(yīng)用該終值定理 。 0?s? ?ssF而 的極點(diǎn)要限制在左半平面內(nèi)或是原點(diǎn)處的單極點(diǎn) 。 ? ?sF例 解 由于 cos tε(t)←→ ，根據(jù)復(fù)頻移性質(zhì)， 則有 12 ?ss1)1(1)]([)(2 ?????sstfLsF 1]R e [ ??s由初值定理得 11)1( )1(l i m)(l i m)0( 2 ??? ????????sssssFfss由終值定理得 01)1( )1(l i m)(l i m)( 200??? ?????? sssssFfss例 ．如果函數(shù) 的象函數(shù) 求原函數(shù)的初值和終值 。 ??tf? ? ??? ssF 1 ? ? ???sRe解： ? ? ? ? 1l i ml i m0 ????????? ?ssssFfss? ? ? ????????????????0 , 00 , 10 , 0limlim00????ssssFfss上式當(dāng)中， 時(shí)的結(jié)果是不正確的。 0??本節(jié)小結(jié) ?拉普拉斯變換的性質(zhì)及其應(yīng)用
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