【正文】 n ()1(222 nnRnnnsnRRSSn ???????表32ln ,6 9 3 1 4 7 1 ?的準確值為 從表 31可以看出， ,)1(44 ?R ,)1(8 ?S67 但它們的計算量是相當?shù)?，這說明用有理逼近比多項式逼近好得多 . 由此看出 的精度比 高出近 10萬倍， )1(44R )1(8S 例 9 ,40915721 1 5 1 11 3 5 3381452)( 23 23443 ??? ????? xxx xxxxxR用輾轉(zhuǎn)相除法將它化為連分式并寫成緊湊形式 . 解 給出有理函數(shù) 用輾轉(zhuǎn)相除可逐步得到 68 4091572128464432)(23243 ??? ????? xxx xxxxR 本例中用連分式計算 的值只需 3次除法， 1次乘 法和 7次加法 . )(43 xR7116)9(654322 ????????xxxxx98765432????????xxxx.98765432 ???????? xxxx69 若直接用多項式計算的秦九韶算法則需 6次乘法和 1次 除法及 7次加法 . 可見將 化成連分式可節(jié)省計算乘除法次數(shù) . )(xRnm 對一般的有理函數(shù) ,（ ）可轉(zhuǎn)化為一個連分式 .)()(121llnm dxcdxcxPxR?????? ?它的乘除法運算只需 次 . ),max( nm而直接用有理函數(shù)（ ）計算乘除法次數(shù)為 次 . mn?70 帕德逼近 利用函數(shù) 的泰勒展開可以得到它的有理逼近 . )(xf 設(shè) 在 的泰勒展開為 )(xf 0?x.)!1( )()0(!1)( 1)1(0)( ??? ??? ? NNNkkk xNfxfkxf?（ ） 它的部分和記作 ??? Nkkk xfkxP0)( )0(!1)(（ ） .0??? Nkkk xc71 定義 11 設(shè) ,),()( 1 mnNaaCxf N ???? ?mmnnnm xbxbxaxaaxR?????????1101)(其中 無公因式，且滿足條件 )(),( xQxPmn),1,0()0()0( )()( NkfR kknm ???（ ） 則稱 為函數(shù) 在 處的 階 帕德逼近 ， )(xRnm )(xf 0?x ),( mn記作 ,簡稱 的帕德逼近 . ),( mnR ),( mnR如果有理函數(shù) （ ） ,)()(xQxPmn?72 根據(jù)定義，若令 ),()()()( xPxQxPxh nm ??則滿足條件（ ）等價于 .,1,0,0)0()( Nkh k ???即 .,1,0,0))()()(()0( 0)()( NkxPxQxPh xknmk ????? ?由于 應用萊布尼茨求導公式得 ,!)0()(kkn akP ?kkjjkjxknm akbckxPxQxP !!))()()((00)( ??? ????,1,0 Nk ??,0?),1,0()0()0( )()( NkfR kknm ???（ ） 73 這里 是由（ ）得到的， )0(!1 )( jj fjc ?上式兩端除 ， !k并由 可得 ),(0,10 時當 mjbb j ???nkcbca kkjjkjk ,1,0,10???? ????（ ） 及 mnnkcbc kkjjkj ????? ???? ,1,10?（ ） 注意當 時 mj ?,0?jb 故（ ）可寫成 ??? Nkkk xfkxP0)( )0(!1)(（ ） .0??? Nkkk xc74 ???????????????????????????????????,11222112211211mnmnmnmnnnnmmnnnnmmncbcbcbccbcbcbccbcbcbc???????????????（ ） 其中 時 ， 0?j ,0?jc若記 ,121211????????????????????????????????mnmnnnnmnnnmnccccccccc???????H （ ） ,),( T11 bbb mm ???b .),( T21 mnnn ccc ???? ?c75 則方程組（ ）的矩陣形式為 .cbH ? 定理 10 （ ）的有理函數(shù) 是 的 階帕德逼近的 )(xRnm )(xf ),( mn充分必要條件是多項式 的系數(shù) )(),( xQxP mn naaa , 10 ?及 滿足方程組（ ）及（ ） . mbbb , 10 ?,),()( 1 mnNaaCxf N ???? ?設(shè) 則形如 76 ?????????????)4,4()3,4()2,4()1,4()0,4(4)4,3()3,3()2,3()1,3()0,3(3)4,2()3,2()2,2()1,2()0,2(2)4,1()3,1()2,1()1,1()0,1(1)4,0()3,0()2,0()1,0()0,0(04321033nm表 根據(jù)定理 10, 求 的帕德逼近時， )(xf首先要由（ ）解出 的系數(shù) ， )(xQm mbbb , 10 ?再由（ ）直接算出 的系數(shù) . )(xPn naaa , 10 ? 的各階帕德逼近可列成一張表，稱為帕德表（見表33） . )(xf???????????????????????????????????,11222112211211mnmnmnmnnnnmmnnnnmmncbcbcbccbcbcbccbcbcbc???????????????（ ） ),1,0(10nkcbca kkjjkjk ???? ????（ ） 77 例 10 求 的帕德逼近 及 . )1ln ()( xxf ?? )2,2(R )3,3(R 解 由 的泰勒展開 )1ln( x???????? 432 413121)1l n ( xxxxx得 .,41,31,21,1,0 43210 ???????? ccccc 當 時，由（ ）得 2?? mn???????????.413121,31211212bbbb求得 ,61,1 21 ?? bb 再由（ ）得 78 ,21,1,0 210 ??? aaa于是得 222261121)(xxxxxR????當 時，由（ ）得 3?? mn??????????????????????,61514131,51413121,413121123123123bbbbbbbbb.66 36 22xx xx ?? ??79 代入（ ）得 .6011,1,1,0 3210 ???? aaaa解得 .201,53,23 321 ??? bbb于是得 323233201532316011)(xxxxxxxR?????? .33690601160603232xxxxxx??????80 為了求帕德逼近 的誤差估計，由 ()及 () 求得的 系數(shù) 及 ，直 接代入則得 )(xRnm)(),( xQxP mn naaa , 10 ? mbbb , 10 ?,)()()()(0 011 llmkklmnkmnnm xcbxxPxQxf ? ??? ?????????將 除上式兩端，即得 )(xQm可以看到這里得到的 及 與 的前面 )(22 xR )(33 xR )1ln( x?連分式展開得到的有理逼近（ ）結(jié)果一樣 . 81 ,)()()( 01xQxrxxRxfmlllmnnm??????? （ ） 其中 .01???????mkklmnkl cbr 當 時可得誤差近似表達式 1?x.,)()(01010 ??????? ??? mkkmnkmnnm cbrxrxRxf