【正文】 heorem)。 ?? ?????? ? 2 2 |)(| )( dffXdttx 焦耳( j ou l e s ) )( 2? ???? dttxE?? ?????? ?? 2 2 |)(| )( dffXdttxE2|)(| fX教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 70 訊號的能量或 功率分析 ? 非週期訊號 的 能量密度頻譜 (energy density spectrum) ? 週期訊號 的 可定義為的 功率密度頻譜 (power density spectrum)，並表示成 ? 採用三角傅利葉級數(shù)表示週期訊號時，的功率密度頻譜也可表示成 )(tx 2|)(| fX????????nnP nffcfXf )(|||)(|)( 022 ??????????1022202 )()(21)(4|)(|)( n nnP nffbafafXf ???)(tx2|)(|)( fXfE ??教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 71 傅利葉轉(zhuǎn)換與訊號頻譜分析 ? 訊號 的傅利葉轉(zhuǎn)換 是複數(shù)型式，因此可表示成： ? 以 對應頻率圖以及 對應頻率圖表示訊號的 頻譜 (spectrum)，或稱為 傅利葉頻譜 (Fourier spectrum)。其中 對應頻率圖稱為 的強度頻譜 (magnitude spectrum)；而 對應頻率圖稱為 的 相位頻譜 (phase spectrum)。 ? 訊號是實數(shù)，那麼甫傅利葉轉(zhuǎn)換定義式可得 因此 實數(shù)訊號的強度頻譜是偶函數(shù)，相位頻譜是奇函數(shù)。 )(tx )(fX)(|)(|)( fjefXfX ??|)(| fX)(f?)(f?)(tx)(tx)()()( *2 fXdtetxfX ftj ??? ? ?? ?)()( |)(||)(| ff fXfX ?? ?????|)(| fX教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 72 傅利葉轉(zhuǎn)換與訊號頻譜 分析 (續(xù) ) ? 週期訊號展開成傅利葉級數(shù)後，再將其傅利葉級數(shù)做傅利葉轉(zhuǎn)換得到 ? 將係數(shù)表示成 ，頻譜表示法為： njnn ecc ?||????????nn nffcfX )(|||)(| 0????????nn nfff )()( 0??????????nn nffcfX )()( 0?教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 73 傅利葉轉(zhuǎn)換與訊號頻譜 分析之範例 22492|)(|ffX ??? 32tan)( 1 ff ?? ???)(|)(| fjefX ??)(2)( 3 tuetx t??訊號 ： 傅利葉轉(zhuǎn)換為 fjfX ?232)(??教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 74 大綱 訊號模型 (Signal Models) 訊號分類 (Signal Classifications) 廣義轉(zhuǎn)換 (Generalized Transformation) 傅利葉級數(shù) (Fourier Series) 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier Transform) 功率頻譜密度和相關函數(shù) (Power Spectral Density and Correlation Function) 線性系統(tǒng) (Linear Systems) 希伯特轉(zhuǎn)換 (Hilbert Transform) 帶通訊號與系統(tǒng)標準表示式 (Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 75 時間平均自相關函數(shù)與能量頻譜密度 ? 能量訊號 x(t)的時間平均自相關函數(shù) (the time average autocorrelation function)定義為 ? 能量訊號 x(t)的能量頻譜密度與其時間平均自相關函數(shù)是傅利葉轉(zhuǎn)換對： ? 訊號能量 ??????????????TTTEdxxdxxtxtxR?????????)()(l i m)()()(*)()()( )( fR EE ?? ?)()(*)()]([)]([)]()([)]([*11*11???EERxtxfXfXfXfXf?????????FFFF )0(ERE ?教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 76 時間平均自相關函數(shù)與功率頻譜密度 ? 功率訊號 x(t)的時間平均自相關函數(shù) (the time average autocorrelation function)定義為 若具週期特性 上式簡化為 ? 功率訊號 x(t)的功率頻譜密度與其時間平均自相關函數(shù)是傅利葉轉(zhuǎn)換對： ? 訊號平均功率 ???? ???? T TTP dttxtxTtxtxR )()(2 1l i m)()()( ???)( )( fR PP ?? ??? ?? 2/ 2/000)()(1)( TTPdttxtxTR ?? )0(ERP ?教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 77 時間平均自相關函數(shù)特性 ? 在 ? = 0更相對最大值，即 。 ? 為偶函數(shù) ，即 。 ? 訊號 x(t)為週期 T0的週期函數(shù) ， 為週期 T0的週期函數(shù) 。 ? 的傅利葉轉(zhuǎn)換為非負函數(shù)，因為正規(guī)化功率不為負值。 )()()0( 2 ?PP RtxR ??)(?PR)()()()( ??? PP RtxtxR ????)(?PR)(?PR)(?PR教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 78 大綱 訊號模型 (Signal Models) 訊號分類 (Signal Classifications) 廣義轉(zhuǎn)換 (Generalized Transformation) 傅利葉級數(shù) (Fourier Series) 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier Transform) 功率頻譜密度和相關函數(shù) (Power Spectral Density and Correlation Function) 線性系統(tǒng) (Linear Systems) 希伯特轉(zhuǎn)換 (Hilbert Transform) 帶通訊號與系統(tǒng)標準表示式 (Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 79 系統(tǒng)數(shù)學模型 ? 為達成某些特定功能或目的，甫某些物件單元組成的物體稱為 系統(tǒng)(system)，可看成一種描述輸入訊號與輸出訊號之關係或過程的一種數(shù)學模型。 x表示系統(tǒng)的輸入訊號， y表示系統(tǒng)的輸出訊號，那麼系統(tǒng)可看成某種 轉(zhuǎn)換 (transformation)或 映射 (mapping)將輸入訊號 x轉(zhuǎn)換成輸出訊號 y，以數(shù)學模型描述此轉(zhuǎn)換為 y = T [x] 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 80 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) ? 線性系統(tǒng)運算元 T[?] 符合以下特性： ? 加成性 (additivity) ： 若 T[x1]=y1 且 T[x2]=y2 則 T[x1+x2]= y1+y2，任何 x1及 x2皆成立。 ? 一致性或等比例 (homogeneity or scaling) ：若 T [x] = y則 T [?x] = ?y ， 左式對於任何 x及純量常數(shù) ?皆成立。 ? 整合成 疊加特性 (superposition property): ? 若系統(tǒng)符合以上特性者稱為 線性系統(tǒng) (nonlinear system) ? 若系統(tǒng)不符合以上特性者稱為 非線性系統(tǒng) (nonlinear system) 。 22112211 ][ yyxxT ???? ???教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 81 連續(xù)時間 LTI系統(tǒng) 響應 ? 一連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)的輸入為單位脈衝訊號時之輸出訊號稱為脈衝響應： ? 任意輸入訊號的輸出響應 (輸入訊號與脈衝響應之旋積運算 )： )]([)()( tTthty ???)(*)()()()]([)( thtxdthxtxTty???? ???????教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 82 連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)之因果特性 ? 若一系統(tǒng)的輸出訊號只與目前或之前的輸入訊號更關，此系統(tǒng)稱為 因果系統(tǒng) (causal system)；反之，若輸出訊號與未來時間的輸入訊號更關，此系統(tǒng)即稱為 非因果系統(tǒng) (noncausal system)。 ? 一連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)的脈衝響應表示系統(tǒng)的輸入訊號為 ?(t) ，若此連續(xù)時間LTI系統(tǒng)具因果特性，那麼一定要符合以下條件： (因為輸入訊號 ?(t)表示只在 t = 0時才更訊號輸入，因此在 t = 0之前不能更輸出訊號。 ) ? 一連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)若具因果特性時，系統(tǒng)的輸出入關係可表示成。 0 ,0)( ?? tth0 ,0)( ,)()()()()()()()()( 0 ????????????????????????hdtxhdtxhtxththtxty因為教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 83 連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)之穩(wěn)定特性 ? 若一系統(tǒng)之輸入訊號的數(shù)值更限，其對應的輸出訊號值也更限，此種系統(tǒng)稱 BIBO穩(wěn)定系統(tǒng) ，反之，輸入更限數(shù)值的訊號而輸出無限值之系統(tǒng)為 不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 ? 假定輸入訊號大小為更限值， ， 輸出訊號值也更限 其條件為 ??? ktx )(???? ? ??? ??? dtxhty )()(|)(| ??? ??? dtth |)(| 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 84 連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)的頻率響應 ? 利用傅利葉轉(zhuǎn)換的旋積特性 (時域旋積定理 )，可將時域系統(tǒng)輸出響應轉(zhuǎn)換成頻域的表示式 ： 改寫成 其中函數(shù) H(f )稱為此系統(tǒng)的 頻率響應 (frequency response) 。 )()()(fXfYfH ?)()()( fHfXfY ?教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 85 連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)的頻率響應 (續(xù) ) ? 系統(tǒng)輸出頻率響應表示成 其中 |H(f )|稱為 振幅響應函數(shù) (amplitude response function) 或 強度響應(magnitude response) ； ?H(f)稱為 相移函數(shù) (phaseshift function)或 相位響應(phase response) 。 ? 若系統(tǒng)脈衝響應為實數(shù)，則 )(|)(|)( fj HefHfH ??|)(||)(| fHfH ??)()( ff HH ??? ??教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 86 輸入週期訊號 ? 當系統(tǒng)的輸入是週期訊號時，將週期訊號表示成傅利葉級數(shù) ： ? 利用 LTI系統(tǒng)之線性特性，可得到一個也表示成傅利葉級數(shù)的輸出訊號 ： ??