【正文】 繪出 對(duì)應(yīng)頻率圖以及 對(duì)應(yīng)頻率圖 ， 分別稱為週期訊號(hào)的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜 (phase spectrum) 。 如果傅利葉級(jí)數(shù)展開式各成份之相位 只是 0、 或 時(shí) ， 為實(shí)數(shù) ， 因此各成份之相位以正負(fù)號(hào)方式呈現(xiàn)在 ， 此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖 ， 即繪出 對(duì)應(yīng)頻率圖 。 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 57 從傅利葉級(jí)數(shù)至傅利葉轉(zhuǎn)換 (續(xù) ) ? 延伸此一趨勢(shì)至極限 ，週期訊號(hào) 就變成非週期訊號(hào)，但是此時(shí)所更的傅利葉級(jí)數(shù)係數(shù) ，這表示無法使用傅利葉級(jí)數(shù)來表示非週期訊號(hào)。 )()( 2211 txatxa ? ? )()( 2211 fXafXa ?)( 0ttx ? )(02 fXe ftj ?? ? 02 ft??)(02 txe tfj ? )( 0ffX ?? tfje 02?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 65 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 時(shí)間比例調(diào)整 (time scaling) ： ? 訊號(hào)在時(shí)域的時(shí)間參數(shù) t做等比例放大或縮小 a倍，此程序在頻域的頻率參數(shù) f 縮小或放大 倍，同時(shí)振幅大小也縮小或放大 倍。因?yàn)樵陬l域計(jì)算訊號(hào)的能量 是將對(duì)所更頻率積分得到，因此稱為訊號(hào)的 能量密度頻譜 (energy density spectrum)，同時(shí)上式也稱為 能量定理 (energy theorem)。 )()()0( 2 ?PP RtxR ??)(?PR)()()()( ??? PP RtxtxR ????)(?PR)(?PR)(?PR教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 78 大綱 訊號(hào)模型 (Signal Models) 訊號(hào)分類 (Signal Classifications) 廣義轉(zhuǎn)換 (Generalized Transformation) 傅利葉級(jí)數(shù) (Fourier Series) 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier Transform) 功率頻譜密度和相關(guān)函數(shù) (Power Spectral Density and Correlation Function) 線性系統(tǒng) (Linear Systems) 希伯特轉(zhuǎn)換 (Hilbert Transform) 帶通訊號(hào)與系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)表示式 (Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 79 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 ? 為達(dá)成某些特定功能或目的，甫某些物件單元組成的物體稱為 系統(tǒng)(system)，可看成一種描述輸入訊號(hào)與輸出訊號(hào)之關(guān)係或過程的一種數(shù)學(xué)模型。 ? 假定輸入訊號(hào)大小為更限值， ， 輸出訊號(hào)值也更限 其條件為 ??? ktx )(???? ? ??? ??? dtxhty )()(|)(| ??? ??? dtth |)(| 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 84 連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ? 利用傅利葉轉(zhuǎn)換的旋積特性 (時(shí)域旋積定理 )，可將時(shí)域系統(tǒng)輸出響應(yīng)轉(zhuǎn)換成頻域的表示式 ： 改寫成 其中函數(shù) H(f )稱為此系統(tǒng)的 頻率響應(yīng) (frequency response) 。 ) ? 一連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)若具因果特性時(shí)，系統(tǒng)的輸出入關(guān)係可表示成。 ? 訊號(hào) x(t)為週期 T0的週期函數(shù) ， 為週期 T0的週期函數(shù) 。 ? 時(shí)域積分 (integration in the time domain) ： ? )()(21 txtx )()( 21 fXfX ?? ?? dxt? ? )( )(21)()0(21 fXfjfX ?? ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 68 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 實(shí)數(shù)訊號(hào) ：一實(shí)數(shù)訊號(hào)可表示成 其中 和 分別是 的偶訊號(hào)部份與奇訊號(hào)部份，仙 的傅利葉轉(zhuǎn)換可表示成 )()()( txtxtx oe ??)(txe )(txo )(tx)()()( fjBfAfX ??那麼可知 )()( * fXfX ??)()](R e [ fAfX ?)()](I m [ fjBfXj ?? )(txe? )(txo)(tx教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 69 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? Parseval定理： ? 訊號(hào)的正規(guī)化總能量為 : ? 上式稱為傅利葉轉(zhuǎn)換的 Parseval定理 或 Parseval等式 。 ??? ??? dttx |)(| )(tx)(tx)(t? )(f?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 60 傅利葉轉(zhuǎn)換範(fàn)例 1 ? 方形脈波訊號(hào) (rectangular pulse signal) ： ? 計(jì)算傅利葉轉(zhuǎn)換 ???????atatattx||,0||,1)2(re c t)()2(s i nc22 )()()( 22 22 afafjeedtedtetxfX fajfajaaftjftj ?????????? ?? ?????教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 61 傅利葉轉(zhuǎn)換範(fàn)例 2 ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 : ? 利用 ， 並將此式看成 的逆傅利葉轉(zhuǎn)換式 ， 那麼這表示 ， 其相對(duì)應(yīng)的訊號(hào) ， 所以其傅利葉轉(zhuǎn)換表示成 ? 直接利用上述結(jié)果可得到 之傅利葉轉(zhuǎn)換 1)()( 2 ?? ???? dtetfX ftj ??1)( 2 ?? ?? dfef ftj ?? )(f?)()( ffX ?? 1)( ?tx)( 1)( 2 fdtefX ftj ?? ?? ?????? ?? ????? ???? 0)(22 2 )( 1)( 00 ffdtedteefX tffjftjtfj ????)()( ttx ??tfje 02?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 62 傅利葉轉(zhuǎn)換範(fàn)例 2(續(xù) ) ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 ?? ?? ????? ? ???? 0)(22 2 )( 1)( 00 ffdtedteefX tffjftjtfj ????)(21)(21 ][21)2s i n ()(00 2222 000ffjffjdteeejdtetffX ftjtfjtfjftj??????? ???????????? ????)(21)(21 ][21)2c os ()(00 2222 000ffffdteeedtetffX ftjtfjtfjftj??????? ???????????? ????tfje 02??)2co s( 0tf?)2sin( 0tf?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 63 傅利葉轉(zhuǎn)換範(fàn)例 2(續(xù) ) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 64 傅利葉轉(zhuǎn)換的特性 ? 線性 (linearity) ： ? 時(shí)移 (time shifting) ： ? 訊號(hào)在時(shí)間軸上平移 (訊號(hào)超前或延遲 )在頻域的效果相當(dāng)於在原訊號(hào)的相位頻譜加上一個(gè)線性變化量 ，此變化量稱為傅利葉轉(zhuǎn)換的 線性相位平移 (linear phase shift)。 同時(shí)仙 訊號(hào)是將訊號(hào)重覆延伸產(chǎn)生的一個(gè)週期為 T0的週期訊號(hào) xE(t)， 若將訊號(hào) 之週期變成無窮大 ， 那麼此訊號(hào)就變成非週期訊號(hào) ， 其關(guān)係可描述成 ] ,[ aa?)()(lim0txtx ET ???教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 54 從傅利葉級(jí)數(shù)至傅利葉轉(zhuǎn)換 (續(xù) ) ? 週期訊號(hào) xE(t)之傅利葉級(jí)數(shù)的係數(shù)如下： )2(s i nc2 00anfT ac n ? 其中 xxx ?? /)s i n ()(s i n c ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 55 從傅利葉級(jí)數(shù)至傅利葉轉(zhuǎn)換 (續(xù) ) ? 週期增加係數(shù)大小減?。活l譜分佈漸密 。0 ,0。 ? 週期訊號(hào)的週期與其基本頻率成份這個(gè)弦波的週期相等 。 ??????ntnfjn ectx 02)( ? dtetxTctnfjTn002 0 )(1 ?????0T0T 2/0T? 2/0TdttxTc T??0 00)(1 *nn cc ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 35 三角傅利葉級(jí)數(shù) ? 一個(gè)基本頻率為 f0的週期訊號(hào)也可表示成所謂的三角傅利葉級(jí)數(shù)： 其中 ?????????10100 )2s i n()2c os (2)( n nn n tnfbtnfaatx ??dttnftxTaTn)2c os ()(2 0 0 0???dttnftxTbTn)2s i n()(2 0 0 0???教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 36 三角傅利葉級(jí)數(shù) (續(xù) ) ? 利用歐拉公式可以很容易找出複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù)與三角傅利葉級(jí)數(shù)之間係數(shù)的關(guān)係 ， 可得係數(shù)關(guān)係式： 若週期訊號(hào)為實(shí)數(shù) ， 可知 與 為實(shí)數(shù) ， 且 因此可得： )( 。 ? 複指數(shù) 在任意週期區(qū)間 正交。 ? 如果訊號(hào) x(t)的平均功率 P更定義而且為更限值，亦即 此訊號(hào)則稱為功率訊號(hào)。 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 21 週期訊號(hào)及非週期訊號(hào) ? 週期訊號(hào) (periodic signal) ： 連續(xù)時(shí)間訊號(hào) x(t)滿足條件 ? 非週期訊號(hào) (nonperiodic or aperiodic signal) ： 任何不滿足上述週期特性的連續(xù)時(shí)間訊號(hào) x(t) 。 複指數(shù)訊號(hào) 之旋轉(zhuǎn)向量表示法 )( 0 ??twjAe?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 15 複指數(shù)訊號(hào) 之旋轉(zhuǎn)向量表示法 (範(fàn)例 ) ? 以旋轉(zhuǎn)相量表示法描述 3個(gè)不同的複指數(shù)訊號(hào)。這兩個(gè)頻率之間存在一個(gè)常數(shù)倍 2? ，即 。 1)( ??? dtt???)(l i m)( 0 tt ?? ?? ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 6 單位脈衝訊號(hào) (續(xù) ) )0(1)2/(l i m1)2/(l i m)()( 00 fffdtttf ???? ??? ??? ??????? ??)()()( 00 tfdt