【正文】 ? 若系統(tǒng)脈衝響應(yīng)為實(shí)數(shù)，則 )(|)(|)( fj HefHfH ??|)(||)(| fHfH ??)()( ff HH ??? ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 86 輸入週期訊號(hào) ? 當(dāng)系統(tǒng)的輸入是週期訊號(hào)時(shí)，將週期訊號(hào)表示成傅利葉級(jí)數(shù) ： ? 利用 LTI系統(tǒng)之線性特性，可得到一個(gè)也表示成傅利葉級(jí)數(shù)的輸出訊號(hào) ： ??。 ? 假定輸入訊號(hào)大小為更限值， ， 輸出訊號(hào)值也更限 其條件為 ??? ktx )(???? ? ??? ??? dtxhty )()(|)(| ??? ??? dtth |)(| 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 84 連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ? 利用傅利葉轉(zhuǎn)換的旋積特性 (時(shí)域旋積定理 )，可將時(shí)域系統(tǒng)輸出響應(yīng)轉(zhuǎn)換成頻域的表示式 ： 改寫成 其中函數(shù) H(f )稱為此系統(tǒng)的 頻率響應(yīng) (frequency response) 。 ) ? 一連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)若具因果特性時(shí)，系統(tǒng)的輸出入關(guān)係可表示成。 22112211 ][ yyxxT ???? ???教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 81 連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng) 響應(yīng) ? 一連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)的輸入為單位脈衝訊號(hào)時(shí)之輸出訊號(hào)稱為脈衝響應(yīng)： ? 任意輸入訊號(hào)的輸出響應(yīng) (輸入訊號(hào)與脈衝響應(yīng)之旋積運(yùn)算 )： )]([)()( tTthty ???)(*)()()()]([)( thtxdthxtxTty???? ???????教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 82 連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)之因果特性 ? 若一系統(tǒng)的輸出訊號(hào)只與目前或之前的輸入訊號(hào)更關(guān)，此系統(tǒng)稱為 因果系統(tǒng) (causal system)；反之，若輸出訊號(hào)與未來時(shí)間的輸入訊號(hào)更關(guān)，此系統(tǒng)即稱為 非因果系統(tǒng) (noncausal system)。 ? 一致性或等比例 (homogeneity or scaling) ：若 T [x] = y則 T [?x] = ?y ， 左式對(duì)於任何 x及純量常數(shù) ?皆成立。 )()()0( 2 ?PP RtxR ??)(?PR)()()()( ??? PP RtxtxR ????)(?PR)(?PR)(?PR教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 78 大綱 訊號(hào)模型 (Signal Models) 訊號(hào)分類 (Signal Classifications) 廣義轉(zhuǎn)換 (Generalized Transformation) 傅利葉級(jí)數(shù) (Fourier Series) 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier Transform) 功率頻譜密度和相關(guān)函數(shù) (Power Spectral Density and Correlation Function) 線性系統(tǒng) (Linear Systems) 希伯特轉(zhuǎn)換 (Hilbert Transform) 帶通訊號(hào)與系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)表示式 (Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 79 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 ? 為達(dá)成某些特定功能或目的，甫某些物件單元組成的物體稱為 系統(tǒng)(system)，可看成一種描述輸入訊號(hào)與輸出訊號(hào)之關(guān)係或過程的一種數(shù)學(xué)模型。 ? 訊號(hào) x(t)為週期 T0的週期函數(shù) ， 為週期 T0的週期函數(shù) 。 )(tx )(fX)(|)(|)( fjefXfX ??|)(| fX)(f?)(f?)(tx)(tx)()()( *2 fXdtetxfX ftj ??? ? ?? ?)()( |)(||)(| ff fXfX ?? ?????|)(| fX教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 72 傅利葉轉(zhuǎn)換與訊號(hào)頻譜 分析 (續(xù) ) ? 週期訊號(hào)展開成傅利葉級(jí)數(shù)後，再將其傅利葉級(jí)數(shù)做傅利葉轉(zhuǎn)換得到 ? 將係數(shù)表示成 ，頻譜表示法為： njnn ecc ?||????????nn nffcfX )(|||)(| 0????????nn nfff )()( 0??????????nn nffcfX )()( 0?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 73 傅利葉轉(zhuǎn)換與訊號(hào)頻譜 分析之範(fàn)例 22492|)(|ffX ??? 32tan)( 1 ff ?? ???)(|)(| fjefX ??)(2)( 3 tuetx t??訊號(hào) ： 傅利葉轉(zhuǎn)換為 fjfX ?232)(??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 74 大綱 訊號(hào)模型 (Signal Models) 訊號(hào)分類 (Signal Classifications) 廣義轉(zhuǎn)換 (Generalized Transformation) 傅利葉級(jí)數(shù) (Fourier Series) 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier Transform) 功率頻譜密度和相關(guān)函數(shù) (Power Spectral Density and Correlation Function) 線性系統(tǒng) (Linear Systems) 希伯特轉(zhuǎn)換 (Hilbert Transform) 帶通訊號(hào)與系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)表示式 (Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 75 時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)與能量頻譜密度 ? 能量訊號(hào) x(t)的時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù) (the time average autocorrelation function)定義為 ? 能量訊號(hào) x(t)的能量頻譜密度與其時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)是傅利葉轉(zhuǎn)換對(duì)： ? 訊號(hào)能量 ??????????????TTTEdxxdxxtxtxR?????????)()(l i m)()()(*)()()( )( fR EE ?? ?)()(*)()]([)]([)]()([)]([*11*11???EERxtxfXfXfXfXf?????????FFFF )0(ERE ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 76 時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)與功率頻譜密度 ? 功率訊號(hào) x(t)的時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù) (the time average autocorrelation function)定義為 若具週期特性 上式簡化為 ? 功率訊號(hào) x(t)的功率頻譜密度與其時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)是傅利葉轉(zhuǎn)換對(duì)： ? 訊號(hào)平均功率 ???? ???? T TTP dttxtxTtxtxR )()(2 1l i m)()()( ???)( )( fR PP ?? ??? ?? 2/ 2/000)()(1)( TTPdttxtxTR ?? )0(ERP ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 77 時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)特性 ? 在 ? = 0更相對(duì)最大值，即 。其中 對(duì)應(yīng)頻率圖稱為 的強(qiáng)度頻譜 (magnitude spectrum)；而 對(duì)應(yīng)頻率圖稱為 的 相位頻譜 (phase spectrum)。因?yàn)樵陬l域計(jì)算訊號(hào)的能量 是將對(duì)所更頻率積分得到，因此稱為訊號(hào)的 能量密度頻譜 (energy density spectrum)，同時(shí)上式也稱為 能量定理 (energy theorem)。 ? 時(shí)域積分 (integration in the time domain) ： ? )()(21 txtx )()( 21 fXfX ?? ?? dxt? ? )( )(21)()0(21 fXfjfX ?? ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 68 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 實(shí)數(shù)訊號(hào) ：一實(shí)數(shù)訊號(hào)可表示成 其中 和 分別是 的偶訊號(hào)部份與奇訊號(hào)部份，仙 的傅利葉轉(zhuǎn)換可表示成 )()()( txtxtx oe ??)(txe )(txo )(tx)()()( fjBfAfX ??那麼可知 )()( * fXfX ??)()](R e [ fAfX ?)()](I m [ fjBfXj ?? )(txe? )(txo)(tx教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 69 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? Parseval定理： ? 訊號(hào)的正規(guī)化總能量為 : ? 上式稱為傅利葉轉(zhuǎn)換的 Parseval定理 或 Parseval等式 。 ? dttdx )( )(2 ffXj ?? )(2 ttxj ??dffdX )(? )()(21 txtx ? )()( 21 fXfX教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 67 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 乘積 (multiplication) ： ? 頻域旋積定理 (frequency convolution theorem)，與時(shí)域旋積定理互為對(duì)偶。 ? 時(shí)間反轉(zhuǎn) (time reversal) ： ? 對(duì)偶 (Duality) ： ? )(atx )(|| 1 afXaa/1 ||/1 a1|| ?a 1|| ?a? )(tX )( fx ?? )( tx ? )( fX ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 66 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 時(shí)域微分 (differentiation in the time domain) ： ? 頻域微分 (differentiation in the frequency domain) ： ? 旋積 (convolution) ： ? 前述特性為時(shí)域旋積定理 (time convolution theorem)，此定理說明在時(shí)域兩個(gè)訊號(hào)做旋積運(yùn)算的效果相當(dāng)於在頻域做相乘運(yùn)算。 )()( 2211 txatxa ? ? )()( 2211 fXafXa ?)( 0ttx ? )(02 fXe ftj ?? ? 02 ft??)(02 txe tfj ? )( 0ffX ?? tfje 02?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 65 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 時(shí)間比例調(diào)整 (time scaling) ： ? 訊號(hào)在時(shí)域的時(shí)間參數(shù) t做等比例放大或縮小 a倍，此程序在頻域的頻率參數(shù) f 縮小或放大 倍，同時(shí)振幅大小也縮小或放大 倍。 ??? ??? dttx |)(| )(tx)(tx)(t? )(f?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 60 傅利葉轉(zhuǎn)換範(fàn)例 1 ? 方形脈波訊號(hào) (rectangular pulse signal) ： ? 計(jì)算傅利葉轉(zhuǎn)換 ???????atatattx||,0||,1)2(re c t)()2(s i nc22 )()()( 22 22 afafjeedtedtetxfX fajfajaaftjf