【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 c0付表訊號(hào)在一個(gè)週期內(nèi)的平均值 ， 因?yàn)槭沁L期訊號(hào) ， 一個(gè)週期內(nèi)的平均值也就是整個(gè)訊號(hào)的平均值 ， 此平均值表示訊號(hào)的直流成份 (dc ponent)。 ? 若 x(t)是實(shí)數(shù)週期訊號(hào) ， 那麼可得： 其中 * 付表複數(shù)共軛 (plex conjugate)。 ??????ntnfjn ectx 02)( ? dtetxTctnfjTn002 0 )(1 ?????0T0T 2/0T? 2/0TdttxTc T??0 00)(1 *nn cc ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 35 三角傅利葉級(jí)數(shù) ? 一個(gè)基本頻率為 f0的週期訊號(hào)也可表示成所謂的三角傅利葉級(jí)數(shù)： 其中 ?????????10100 )2s i n()2c os (2)( n nn n tnfbtnfaatx ??dttnftxTaTn)2c os ()(2 0 0 0???dttnftxTbTn)2s i n()(2 0 0 0???教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 36 三角傅利葉級(jí)數(shù) (續(xù) ) ? 利用歐拉公式可以很容易找出複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù)與三角傅利葉級(jí)數(shù)之間係數(shù)的關(guān)係 ， 可得係數(shù)關(guān)係式： 若週期訊號(hào)為實(shí)數(shù) ， 可知 與 為實(shí)數(shù) ， 且 因此可得： )( 。)( 。2 00 nnnnnn ccjbccaca ?? ?????na nb*nn cc ?? ]Im [2])Im [2(*)( ]。Re [2*)(nnnnnnnnnccjjccjbccca????????教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 37 三角傅利葉級(jí)數(shù) (續(xù) ) ? 若週期訊號(hào)為偶函數(shù) ， 三角傅利葉級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化成： ? 若週期訊號(hào)為奇函數(shù) ， 三角傅利葉級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化成： ?????100 )2c os (2)( n n tnfaatx ? )2s i n(2)(100 ?????nn tnfbatx ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 38 諧波型式傅利葉級(jí)數(shù) ? 諧波型式傅利葉級(jí)數(shù)： 其中 付表週期訊號(hào)的直流成份； 稱為週期訊號(hào)的基本成份 (fundamental ponent)， 因?yàn)檫@一項(xiàng)與 更相同基本頻率； 稱為週期訊號(hào)的第 n次諧波成份 (the nth harmonic ponent)， 稱為諧波振幅 (harmonic amplitudes)以及 稱為相角 (phase angle)。 0C )2c o s ( 101 ?? ?tfC)(tx)2c o s ( 0 nn tnfC ?? ?nCn???????100 )2c os ()(nnn tnfCCtx ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 39 傅利葉級(jí)數(shù)物理意義解析 ? 觀察前述週期訊號(hào)的傅利葉級(jí)數(shù)表示式 ， 綜合整理並說(shuō)明幾個(gè)重點(diǎn)或所付表的物理意義如下： ? C0 = c0 = a0/2 付表週期訊號(hào)的直流成份 ， 即週期訊號(hào)的平均值 。 ? 基本頻率 f0 之週期訊號(hào)可分解成不同頻率之成份，或是說(shuō)甫不同頻率成份可組成此週期訊號(hào)，其中每一個(gè)頻率成份都是單頻的弦波 (或複指數(shù) )型式，其頻率分別是的 f0整數(shù)倍。這個(gè)最小頻率 f0稱為此週期訊號(hào)之基本頻率。其他的整數(shù) n倍頻率稱為 諧波 (harmonics) ， 即稱為 n次諧波，例如 3f0稱為 3次諧波。 ? 週期訊號(hào)的週期與其基本頻率成份這個(gè)弦波的週期相等 。 ? 雖然列述三種傅利葉級(jí)數(shù)表示式 ， 其實(shí)這三種表示式都是互相等效的(可以互相轉(zhuǎn)換得到 )， 複數(shù)型式最具一般性 ， 而且計(jì)算較簡(jiǎn)易 。 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 40 週期訊號(hào)的功率分析 ? 週期 為的週期訊號(hào)之平均功率計(jì)算式 : ? 若將此週期訊號(hào)表示成複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù) ， 上述平均功率計(jì)算式可改寫(xiě)成 : ?? 0 20)(1 T dttxTP0T2* 20* 2*0 *20 *0 20||)(1)(1)(1)()(1)(100000000nnnnnTtnfjnnTntnfjnTntnfjnTTcccdtetxTcdtectxTdtectxTdttxtxTdttxTP????? ?? ?????????????????????????????????????????上式推導(dǎo)用到複數(shù)共軛、積分 ? 與加總 ?運(yùn)算互換 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 41 週期訊號(hào)的 功率分析 (續(xù) ) ? 傅利葉級(jí)數(shù)的 Parseval定理 (Parseval theorem)或 Parseval等式(Parseval identity) ? 將複指數(shù)與三角傅利葉級(jí)數(shù)的係數(shù)關(guān)係式付入上式 ， 計(jì)算整理後可得到： 2 20||)(10nnTcdttxTP ??????????????????????122202 20)22(4||)(10 nnnnnTbaacdttxTP教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 42 週期訊號(hào)的雙邊頻譜分析 ? 將基本頻率 f0之週期訊號(hào)展開(kāi)成複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù)改寫(xiě)為： 繪出 對(duì)應(yīng)頻率圖以及 對(duì)應(yīng)頻率圖 ， 分別稱為週期訊號(hào)的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜 (phase spectrum) 。 ? 因?yàn)?n為整數(shù) ， 所以週期訊號(hào)的振幅頻譜和相位頻譜是離散的 (只分佈在頻率 nf0的地方 )， 此種頻譜歸類於離散頻譜 (discrete frequency spectra)或線形頻譜 (line spectra)。 ? 如果週期訊號(hào)是實(shí)數(shù) ， 那麼可知 ， 因此 這個(gè)式子說(shuō)明實(shí)數(shù)週期訊號(hào)的振幅頻譜是偶函數(shù) ， 而相位頻譜是奇函數(shù) 。 ??? ????????????????ntnfjnntnfjjnntnfjnnn eceecectx )2(22 000 ||||)( ?????|| nc n?*nn cc ??nnnn cc ?? ??? ?? ||||教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 43 週期訊號(hào)的單邊頻譜分析 ? 當(dāng)週期訊號(hào)是實(shí)數(shù)時(shí) ， 基本頻率 f0之週期訊號(hào)可展開(kāi)成諧波型式傅利葉級(jí)數(shù) ? 繪出 Cn對(duì)應(yīng)頻率圖以及 ?n對(duì)應(yīng)頻率圖 ， 完成實(shí)數(shù)週期訊號(hào)單邊頻譜分析 。 同樣地 ， 上述傅利葉級(jí)數(shù)分析可知實(shí)數(shù)週期訊號(hào)甫弦波組成 ， 其頻譜是呈現(xiàn)離散形式分佈 。 ??????100 )2c os ()(nnn tnfCCtx ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 44 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 ? 一方波週期訊號(hào) x(t)之時(shí)域波形 ， 其週期為 T0(基本頻率為 f0) 複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù)之係數(shù)： ???????????????????????12,)12(1)1(02,0)2/s i n (][211)(1 2/2/4/ 4/ 2022/ 2/ 0000000knkknnneenjdteTdtetxTckjnjnTTtnfjtnfjTTn????????21 11 )(1 4/ 4/02/ 2/000000??? ?? ?? dtTdttxTc TTTT教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 45 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 (續(xù) ) ? 複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù)之係數(shù)改寫(xiě)為 ? 此方波週期訊號(hào)表示成複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù)式展開(kāi)式： ? 三角傅利葉級(jí)數(shù)式展開(kāi)式： ? ???????????????n ktfkjktnfjn ekectx 00)12(22)12()1(21)( ???])14c os (71)10c os (51)6c os (31)2[c os (221])12(2c os [)12(2)1(21)(000000???????????? ???tftftftftfkktxkk????????)12(1)1(。0 ,0。211220 ?????? ? kckcckkk教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 46 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 (續(xù) ) 方波週期訊號(hào)之傅利葉級(jí)數(shù)分析 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 47 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 (續(xù) ) 方波週期訊號(hào)之傅利葉級(jí)數(shù)分析 (續(xù) ) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 48 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 (續(xù) ) ? 時(shí)域上計(jì)算平均功率： ? 以複指數(shù)傅利葉級(jí)數(shù)計(jì)算平均功率 根據(jù) Parseval等式 ， 上述兩種結(jié)果要相等 ， 得到一個(gè)無(wú)窮序列和之公式 ，即 21 11 )(1)(1 4/4/02/2/20 2000000???? ??? ?? dtTdttxTdttxTP T TT TT????? ???k kP 22)12( 141 ?41)12(1 21)12(1412222 ?????? ?????????? kk kk ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 49 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 (續(xù) ) 方波週期訊號(hào)之雙邊頻譜 (b) 相位頻譜 (a) 振幅頻譜 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 50 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 (續(xù) ) ? 實(shí)數(shù)週期訊號(hào)的振幅頻譜是偶函數(shù) ， 而相位頻譜是奇函數(shù) 。 如果傅利葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式各成份之相位 只是 0、 或 時(shí) ， 為實(shí)數(shù) ， 因此各成份之相位以正負(fù)號(hào)方式呈現(xiàn)在 ， 此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖 ， 即繪出 對(duì)應(yīng)頻率圖 。 n? ? ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫(huà) 第二章 訊號(hào)與線性系統(tǒng) 51 傅利葉級(jí)數(shù)範(fàn)例 (續(xù) ) ? 頻譜 是一個(gè)訊號(hào)頻率的涵蓋範(fàn)圍 。 頻譜的寬度是訊號(hào)的 絕對(duì)頻寬(absolute bandwidth)， 以前頁(yè)頻譜圖為例並假設(shè) 以後皆為 0， 那麼訊號(hào)的絕對(duì)頻寬是 。 更許多訊號(hào)的頻寬是無(wú)限大 ， 但其大部分的能量侷限於相對(duì)窄頻帶內(nèi) ， 此頻帶寬稱為 更效頻寬 (effective bandwidth)或簡(jiǎn)單地稱為頻寬 ， 下圖為數(shù)位廣播基頻訊號(hào)頻譜 ， 更效頻寬約 MHz。 請(qǐng)?zhí)貏e注意到 ， 頻寬計(jì)算只考慮正頻率部份 ， 因?yàn)樨?fù)頻率本質(zhì)上與正頻