【導讀】集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.①任何一個集合是它本身的子集，記為AA?②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(例：S=N；A=?②{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R?②點集與數集的交集是?②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題?解：逆否：x+y=3x=1或y=2.yx且的既不是充分，又不是必要條件.小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.定義：有限集A的元素的個數叫做集合A的基數，記為card規(guī)定card(φ)=0.②求根，并在數軸上表示出來；根的―零分布‖：根據判別式和韋達定理分析列式解之.由簡單命題和邏輯聯(lián)結詞―或‖、―且‖、―非‖構成的命題是復合命題。

　　

【正文】 數 y＝ ctgx，［ x∈ (0， π)］的反函數叫做 反余切函數 ，記作 y＝ arcctgx，它的定義域是 (－ ∞，＋ ∞)，值域是 (0， π)． II. 競賽知識要點 一、反三角函數 . 1. 反三角函數： ? 反正弦函數 xy arcsin? 是奇函數，故 xx a rc sin)a rc sin( ??? ， ? ?1,1??x (一定要注明定義域，若 ? ?????? ,x ，沒有 x 與 y 一一對應，故 xy sin? 無反函數 ) 注： xx ?)sin(arcsin ， ? ?1,1??x ， ???????? 2,2arcsin ??x. ? 反余弦函 數 xy arccos? 非奇非偶，但有 ?? kxx 2)a r c c o s ()a r c c o s ( ???? ， ? ?1,1??x . 注： ① xx ?)cos(arccos ， ? ?1,1??x ， ? ??,0arccos ?x . ② xy cos? 是偶函數， xy arccos? 非奇非偶，而 xy sin? 和 xy arcsin? 為奇函數 . ? 反正切函數： xy arctan? ，定義域 ),( ???? ，值域 ( 2,2??? )， xy arctan? 是奇函數， xx arctan)arctan( ??? ， ?x ),( ???? . 注： xx ?)tan(arctan ， ?x ),( ???? . ? 反余切函數： xarcy cot? ，定義域 ),( ???? ，值域 ( 2,2??? )， xarcy cot? 是非奇非偶 . ?? kxa r cxa r c 2)c o t()c o t( ???? ， ?x ),( ???? . 注： ① xxarc ?)cotcot( ， ?x ),( ???? . ② xy arcsin? 與 )1arcsin( xy ?? 互為奇函數， xy arctan? 同理為奇而 xy arccos? 與 xarcy cot?非奇非偶但滿足 ]1,1[,2)c ot (c ot]1,1[,2a r c c os)a r c c os ( ???????????? xkxar cxar cxkxx ????. ? 正弦、余弦、正切、余切函數的解集： a 的取值范圍 解集 a 的取值范圍 解集 ① ax?sin 的解集 ② ax?cos 的解集 a ＞ 1 ? a ＞ 1 ? a =1 ? ?Zkakxx ??? ,a rc s in2| ? a =1 ? ?Zkakxx ??? ,a rc c os2| ? a ＜ 1 ? ?? ?Zkakxx k ???? ,a rc s in1| ? a ＜ 1 ? ?Zkakxx ??? ,a rc c o s| ? ③ ax?tan 的解集： ? ?Zkakxx ??? ,a rc t a n| ? ③ ax?cot 的解集： ? ?Zkakxx ??? ,c ota rc| ? 二、三角恒等式 . 組一 組二 ?? ??nknnnk12s i n2s i n2c o s8c o s4c o s2c o s2c o s ??????? ? ?? ??????????nk d ndxdnndxdxxkdx0 s i n )co s ())1s i n ( ()co s ()co s (co s)co s ( ? ?? ??????????nk d ndxdnndxdxxkdx0 s i n )s i n ())1s i n ( ()s i n ()s i n (s i n)s i n ( ? ?????? ????????? t a nt a nt a nt a nt a nt a n1 t a nt a nt a nt a nt a nt a n)t a n ( ??? ?????? 組三 三角函數不等式 xsin ＜ x ＜ )2,0(,tan ??xx xxxf sin)( ? 在 ),0( ? 上是減函數 若 ???? CBA ，則 CxyBxzAyzzyx c o s2c o s2c o s2222 ????? 高中數學第五章 平面向量 考試內容： 向量．向量的加法與減法．實數與向量的積．平面向量的坐標表示．線段的定比分點．平面向量的數量積．平面兩點間的距離、平移． ??? ??? co s3co s43co s s in4s in33s in 33?? ?? ? ? ? ??? ?????? 2222c o sc o s s ins ins ins in ?? ?????????? s in2 2s in2c o s...4c o s2c o sc o s 1 1? ?? n nn考試要求： (1)理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念． (2)掌握向量的加法和減法． (3)掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件． (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算． (5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件． (6)掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公式． 167。05. 平平 面面 向向 量量 知知 識識 要要 點點 (1)向量的基本要素：大小和方向 . (2)向量的表示： 幾何表示法 AB ；字母表示： a； 坐標表示法 a＝ ｘ ｉ ＋ ｙ j＝ (ｘ ， ｙ ). (3)向量的長度：即向量的大小，記作｜ a｜ . (4)特殊的向量：零向量 a＝ O? ｜ a｜＝ O. 單位向量 aO 為單位向量 ? ｜ aO｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ 1， ｙ 1)＝ (ｘ 2， ｙ 2)??? ???2121 yy xx (6) 相反向量： a=b? b=a? a+b=0 (7)平行向量 (共線向量 )：方向相同或相反的向量，稱為平行向量 .記作 a∥ 共線向量 . 運算類型 幾何方法 坐標方法 運算性質 向量的 加法 1 2 1 2( , )a b x x y y? ? ? ? a b b a? ? ? ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? ACBCAB ?? 向量的 減法 三角形法則 1 2 1 2( , )a b x x y y? ? ? ? ()a b a b? ? ? ? AB BA?? , ABOAOB ?? 數 乘 向 量 1. a? 是一個向量 , 滿足 :| | | || |aa??? 2.? 0 時 , aa?與 同向 。 ? 0 時 , aa?與 異向 。 ? =0 時 , 0a?? . ( , )a x y? ? ?? ( ) ( )aa? ? ??? ()a a a? ? ? ?? ? ? ()a b a b? ? ?? ? ? //a b a b??? 向 量 的 數 量 積 ab? 是一個數 1. 00ab??或 時， 0ab?? . 2. 00| || | cos( , )aba b a b a b???且 時 ， 1 2 1 2a b x x y y? ? ? a b b a? ? ? ( ) ( ) ( )a b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ()a b c a c b c? ? ? ? ? ? 2 2 2 2| | | |=a a a x y??即 | | | || |a b a b?? 、公式 (1)平面向量基本定理 e1， e2 是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數 λ1， λ2，使 a＝ λ1e1＋ λ2e2. (2)兩個向 量平行的充要條件 a∥ b? a＝ λb(b≠0)? x1y2－ x2y1＝ O. (3)兩個向量垂直的充要條件 a⊥ b? ab＝ O? x1x2＋ y1y2＝ O. (4)線段的定比分點公式 設點 P 分有向線段 21PP 所成的比為 λ，即 PP1 ＝ λ 2PP ，則 OP ＝ ??11 1OP ＋ ??11 2OP (線段的定比分點的向量公式 ) ?????????????.1,12121????yyyxxx (線段定比分點的坐標公式 ) 當 λ＝ 1 時，得中點公式： OP ＝ 21 ( 1OP ＋ 2OP )或???????????.2,22121yyyxxx (5)平移公式 設點 P(x， y)按向量 a＝ (ｈ ， ｋ )平移后得到點 P′(x′， y′)， 則 PO? ＝ OP +a 或??? ??? ??? .,kyy hxx 曲線 y＝ f(x)按向量 a＝ (ｈ ， ｋ )平 移后所得的曲線的函數解析式為： y－ ｋ ＝ f(x－ ｈ ) (6)正、余弦定理 正弦定理： .2s ins ins in RCcBbAa ??? 余弦定理： a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA， b2＝ c2＋ a2－ 2cacosB， c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC. (7)三角形面積計算公式： 設 △ ABC 的三邊為 a， b， c， 其高分別為 ha， hb， hc， 半周長為 P，外接圓、內切圓的半徑為 R， r. ① S△ =1/2aha=1/2bhb=1/2chc ② S△ =Pr ③ S△ =abc/4R ④ S△ =1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA ⑤ S△ = ? ?? ?? ?cPbPaPP ??? [海倫公式 ] ⑥ S△ =1/2(b+ca)ra[如下圖 ]=1/2(b+ac)rc=1/2(a+cb)rb [注 ]：到三角形三邊的距離相等的點有 4 個，一個是內心，其余 3 個是旁心 . 如圖： 圖1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 1 中的 I 為 S△ ABC的內心， S△ =Pr 圖 2 中的 I 為 S△ ABC的一個旁心， S△ =1/2(b+ca)ra 附：三角形的五個 ―心 ‖； 重心：三角形三條中線交點 . 外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點 . 內心：三角形三內角的平分線相交于一點 . 垂心：三角形三邊上的高相交于一點 . ABCOabcIAB CDEFIAB CDEFr ar ar abcaabcACB NE F旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點 . ? 已知 ⊙ O 是 △ ABC 的內切圓，若 BC=a， AC=b， AB=c [注： s 為 △ABC 的半周長 ,即 2 cba ?? ] 則： ① AE= as? =1/2(b+ca) ② BN= bs? =1/2(a+cb) ③ FC= cs? =1/2(a+bc) 綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊 (如圖 4). 特例：已知在 Rt△ ABC， c 為斜邊，則內切圓半徑 r=cba abcba ????? 2(如圖 3). ? 在 △ ABC 中，有下列等式成立 CBACBA t a nt a nt a nt a nt a nt a n ??? . 證明：因為 ,CBA ??? ? 所以 ? ? ? ?CBA ??? ?tantan ，所以 CBA BA ta nta nta n1 ta nta n ??? ?， ?結論！ ? 在 △ ABC 中， D 是 BC 上任意一點，則 DCBDBC BCABBDACAD ???? 222. 證明：在 △ ABCD 中，由余弦定理，有 ?BBDABBDABAD c o s2222 ????? ① 在 △ ABC 中，由余弦定理有