【正文】 斜線(xiàn)長(zhǎng)相等.（）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段）⑦是夾在兩平行平面間的線(xiàn)段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2. 異面直線(xiàn)判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)）3. 平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）. （二面角的取值范圍） （直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角） （斜線(xiàn)與平面成角） （直線(xiàn)與平面所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成銳角（或直角）相等.5. 兩異面直線(xiàn)的距離：公垂線(xiàn)的長(zhǎng)度.空間兩條直線(xiàn)垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線(xiàn)，則過(guò)外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）三、 直線(xiàn)與平面平行、直線(xiàn)與平面垂直.1. 空間直線(xiàn)與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2. 直線(xiàn)與平面平行判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.（“線(xiàn)線(xiàn)平行，線(xiàn)面平行”）[注]：①直線(xiàn)與平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，則∥. （）（平面外一條直線(xiàn)）②直線(xiàn)與平面內(nèi)一條直線(xiàn)相交，則與平面相交. （）（平面外一條直線(xiàn)）③若直線(xiàn)與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行. （√）（不是任意一條直線(xiàn)，可利用平行的傳遞性證之）④兩條平行線(xiàn)中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. （）（可能在此平面內(nèi)）⑤平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.（）（兩個(gè)平面可能相交）⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線(xiàn)平行.（）（兩直線(xiàn)可能相交或者異面）⑦直線(xiàn)與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）3. 直線(xiàn)和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行.（“線(xiàn)面平行，線(xiàn)線(xiàn)平行”）4. 直線(xiàn)與平面垂直是指直線(xiàn)與平面任何一條直線(xiàn)垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直. l 若⊥，⊥，得⊥（三垂線(xiàn)定理），得不出⊥. 因?yàn)椤?，但不垂直O(jiān)A.l 三垂線(xiàn)定理的逆定理亦成立.直線(xiàn)與平面垂直的判定定理一：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這兩條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面.（“線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面垂直”）直線(xiàn)與平面垂直的判定定理二：如果平行線(xiàn)中一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行）②垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.（√）（一條直線(xiàn)垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面）③垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行.（√）5. ⑴垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中，①射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等，射影較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段較長(zhǎng)；②相等的斜線(xiàn)段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段射影較長(zhǎng)；③垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段短.[注]：垂線(xiàn)在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). [一條直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影是一條直線(xiàn).（）]⑵射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)上四、 平面平行與平面垂直.1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線(xiàn)面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]：一平面間的任一直線(xiàn)平行于另一平面.3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線(xiàn)平行.（“面面平行，線(xiàn)線(xiàn)平行”）4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線(xiàn)垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面垂直于這個(gè)平面.（“線(xiàn)面垂直，面面垂直”）注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.5. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線(xiàn)垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)閯t. 6. 兩異面直線(xiàn)任意兩點(diǎn)間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）7. ⑴最小角定理：（為最小角，如圖）⑵最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）簡(jiǎn)記為：成角比交線(xiàn)夾角一半大，且又比交線(xiàn)夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.成角比交線(xiàn)夾角一半大，又比交線(xiàn)夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線(xiàn)夾角一半大，又與交線(xiàn)夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線(xiàn)夾角一半小，又與交線(xiàn)夾角一半小，一定有1條或者沒(méi)有. 五、 棱錐、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長(zhǎng)，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形得出的.⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.⑶棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱. （）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.⑷平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.[注]：四棱柱的對(duì)角線(xiàn)不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線(xiàn)與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線(xiàn)與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形）②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.（）（只能推出對(duì)角線(xiàn)相等，推不出底面為矩形）④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）2. 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以.⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.[注]：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)為，斜高為）③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附： 以知⊥，為二面角. 則①，②，③ ①②③得.注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）.⑵棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.[注]：i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，則第三對(duì)角線(xiàn)必然垂直. 簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令得，已知?jiǎng)t.iii. 空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv. 若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90176。，則為正方形.3. 球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.①球的表面積公式：.②球的體積公式：.⑵緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過(guò)點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)與地軸所確定的二個(gè)半平