【正文】 ???????－ 1 ，－34∪????????14，＋ ∞ (2) [ 201 1 山東卷 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ l ogax ＋ x － b ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) ．當(dāng) 2 ＜ a ＜ 3 ＜b ＜ 4 時(shí)，函數(shù) f ( x ) 的零點(diǎn) x0∈ ( n ， n ＋ 1) ， n ∈ N*，則 n ＝ _____ __ _. 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1)B (2)2 【解析】 (1) f ( x ) ＝??? x2－ 2 ， x2－ 2 －????x － x2≤ 1 ，x － x2， x2－ 2 －????x － x21 ＝????? x2－ 2 ，－ 1 ≤ x ≤32，x － x2， x － 1 ，或 x 32， 則 f ( x ) 的圖象如圖． ∵ y ＝ f ( x ) － c 的圖象與 x 軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)， ∴ y ＝ f ( x ) 與 y ＝ c 的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)， 由圖象知 c ≤ － 2 ，或－ 1 c －34. 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (2) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單 調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)定理的應(yīng)用．因?yàn)?2 a 3 ，所以l og a 2 1 ＝ l og a a l og a 3 ，因?yàn)?3 b 4 ，所以 b － 2 1 l og a 2 ， b － 3 1 l o g a 3 ，所以 f (2) f (3)＝ (l og a 2 ＋ 2 － b )( l og a 3 ＋ 3 － b ) 0 ，所以函數(shù)的零點(diǎn)在 (2,3 ) 上，所以 n ＝ 2. 【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根，都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合法是解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根的分布、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程根的個(gè)數(shù)的一個(gè)有效方法．在解決函數(shù)零點(diǎn)問題時(shí)，既要注意利用函數(shù)的圖象，也要注意根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，把數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知函數(shù) f ( x ) ＝12 x2 － a ln x ( a ∈ R) ． (1 ) 若函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ 2 處的切線方程為 y ＝ x ＋ b ，求 a ， b 的值； (2 ) 討論方程 f ( x ) ＝ 0 解的個(gè)數(shù)，并說明理由． 【解答】 (1) 因?yàn)?f ′ ( x ) ＝ x －ax( x 0) ， 又 f ( x ) 在 x ＝ 2 處的切線方程為 y ＝ x ＋ b ， 所以????? 2 － a l n 2 ＝ 2 ＋ b ，2 －a2＝ 1 ，解得 a ＝ 2 ， b ＝－ 2l n 2. (2) 當(dāng) a ＝ 0 時(shí)， f ( x ) 在定義域 (0 ，＋ ∞ ) 上恒大于 0 ，此時(shí)方程無(wú)解． 當(dāng) a 0 時(shí)， f ′ ( x ) ＝ x －ax0 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 所以 f ( x ) 在定義域 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 因?yàn)?f (1) ＝120 ， f????????e1a＝12e2a－ 1 0 ，所以方程有唯一解． 當(dāng) a 0 時(shí)， f ′ ( x ) ＝ x －ax＝x2－ ax＝? x ＋ a ?? x － a ?x， 因?yàn)楫?dāng) x ∈ (0 ， a ) 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 在 (0 ， a ) 內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng) x ∈ ( a ，＋ ∞ ) 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 在 ( a ，＋ ∞ ) 內(nèi)為增函數(shù)． 所以當(dāng) x ＝ a 時(shí)，有極小值，即最小值 f ( a ) ＝12a － a ln a ＝12a (1 － ln a ) ， 當(dāng) a ∈ (0 ， e) 時(shí)， f ( a ) ＝12a (1 － ln a ) 0 ，此方程無(wú)解； 當(dāng) a ＝ e 時(shí)， f ( a ) ＝12a (1 － ln a ) ＝ 0. 此方程有唯一解 x ＝ a ， 當(dāng) a ∈ (e ，＋ ∞ ) 時(shí)， f ( a ) ＝12a (1 － ln a ) 0 ， 因?yàn)?f (1) ＝120 且 1 a ，所以方程 f ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 (0 ， a ) 上有唯一解， 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 因?yàn)楫?dāng) x 1 時(shí)， ( x － ln x ) ′ 0 ，所以 x － ln x 1 ， 所以 x l n x ， f ( x ) ＝12x2－ a ln x 12x2－ ax . 因?yàn)?2 a a 1 ，所以 f (2 a )12(2 a )2－ 2 a2＝ 0 ， 所以方程 f ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 ( a ，＋ ∞ ) 上有唯一解． 所以方程 f ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 (0 ，＋ ∞ ) 上有兩解． 綜上所述：當(dāng) a ∈ [0 ， e ) 時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng) a 0 或 a ＝ e 時(shí)，方程有唯一解；當(dāng) a e 時(shí)方程有兩解． 【點(diǎn)評(píng)】 含有參數(shù)的方程根的個(gè)數(shù)問題，需要重點(diǎn)研究三個(gè)方面的問題：一是函數(shù)的單調(diào)性；二是函數(shù)極值點(diǎn)的值的正負(fù)；三是區(qū)間端點(diǎn)的值的正負(fù)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 ln x ＝ 1x 在 [1 ,2 ] 上的近似解，取中點(diǎn) c ＝ 1 .5 ，則下一個(gè)有根區(qū)間是 ________ ． 【點(diǎn)評(píng)】 用二分法求方程近似解時(shí)，每一次取中點(diǎn)后，下一個(gè)有根區(qū)間的判斷原則是：若中點(diǎn)函數(shù)值為零，則這個(gè)中點(diǎn)就是方程的解，若中點(diǎn)函數(shù)值不等于零，則下一個(gè)有根區(qū)間是和這個(gè)中點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間．在用二分法求方程的近似解時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)精確度確定近似解，如下面的變式． 【分析】 只要計(jì)算三個(gè)點(diǎn) x ＝ 1,1 .5,2 的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理進(jìn)行判斷即可． [,2] 【解析】 令 f ( x ) ＝ ln x －1x， f (1) ＝－ 1 0 ， f (2) ＝ l n 2 －12＝ ln2e l n 1 ＝ 0 ， f () ＝ l n －23＝13(l n 3－ 2) ； 因?yàn)?3＝ ， e2 4 3，故 f () ＝13(l n 3－ 2)13(l n e2－ 2) ＝ 0 ， f () f (2) 0 ，所以下一個(gè)有根區(qū)間是 [,2] ． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 若函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋ x2－ 2 x － 2 的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下： f (1 ) ＝－ 2 f (1 .5 ) ＝ 0. 625 f (1 .2 5) ＝－ 4 f (1 .3 75 ) ＝－ 0. 26 0 f (1 .4 375) ＝ 2 f (1 .4 0625 ) ＝－ 0. 05 4 那么方程 x3＋ x2－ 2 x － 2 ＝ 0 的一個(gè)近似根 ( 精確到 0. 1) 為 ( ) A ． 1. 2 B ． 1. 3 C ． 1. 4 D ． 1. 5 C 【解析】 由于 f ( 625) ＝－ 40 ， f ( 5 )＝ 20 ，精確到 0 .1 ，所以函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)為 x ＝ 625 ≈ ，故選 C. 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 函數(shù)模型及其應(yīng)用（含導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題） 例 3 [ 20 1 1 湖南卷 ] 如圖 3 － 1 ，長(zhǎng)方體物體 E 在雨中沿面 P ( 面積為 S ) 的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為 v ( v 0) ，雨速沿 E 移動(dòng)方向的分速度為 c ( c ∈ R) ． E 移動(dòng)時(shí) 單位時(shí)間． ． ． ．內(nèi)的淋雨量包括兩部分： (1) P 或 P 的平行面 ( 只有一個(gè)面淋雨 ) 的淋雨量，假設(shè)其值與 | v － c | S 成正比，比例系數(shù)為110； (2) 其他面的淋雨量之和，其值為12. 記 y 為 E 移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離 d ＝ 100 ，面積 S ＝32時(shí)， (1) 寫出 y 的表達(dá)式； (2) 設(shè) 0 v ≤ 10, 0 c ≤ 5 ，試根據(jù) c 的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度 v ，使總淋雨量 y 最少． 圖 3 － 1 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 由題意知， E 移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為320| v － c |＋12，故 y ＝100v????????320| v － c |＋12＝5v(3| v － c |＋ 10) ． (2) 由 (1) 知， 當(dāng) 0 v ≤ c 時(shí)， y ＝5v(3 c － 3 v ＋ 10) ＝5 ? 3 c ＋ 10 ?v－ 15 ； 當(dāng) c v ≤ 10 時(shí)， y ＝5v(3 v － 3 c ＋ 1 0) ＝3 ? 10 － 3 c ?v＋ 15. 故 y ＝????? 5 ? 3 c ＋ 10 ?v－ 15 ， 0 v ≤ c ，5 ? 10 － 3 c ?v＋ 15 ， c v ≤ 10. ① 當(dāng) 0 c ≤103時(shí)， y 是關(guān)于 v 的減函數(shù)．故當(dāng) v ＝ 10 時(shí)， ym i n＝ 20 －3 c2. ② 當(dāng)103 c ≤ 5 時(shí)，在 (0 ， c ] 上， y 是關(guān)于 v 的減函數(shù)；在 ( c, 10] 上， y 是關(guān)于 v 的增函數(shù)．故當(dāng) v ＝ c 時(shí)， ym i n＝50c. 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)建模、分段函數(shù)模擬的應(yīng)用．解決函數(shù)建模問題，首要的問題是弄清楚實(shí)際問題的意義，其中變量是什么，求解目標(biāo)是什么，為了表達(dá)求解目標(biāo)需要解決什么問題，這些問題清楚了就可以把求解目標(biāo)使用一個(gè)變量表達(dá)出來(lái)．在函數(shù)模型中，含有絕對(duì)值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，解決分段函數(shù)問題時(shí)，要先解決函數(shù)在各個(gè)段上的性質(zhì)，然后把各段上的性質(zhì)整合為函數(shù)在其整個(gè)定義域上的性質(zhì)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 [ 20 1 1 山東卷 ] 某企業(yè)擬建造如圖 3 － 2 所示的容器 ( 不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米 ) ，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為80π3立方米，且 l ≥ 2 r . 假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為 3 千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為 c ( c ＞ 3) 千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為 y 千元． (1) 寫出 y 關(guān)于 r 的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； (2) 求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的 r . 圖 3 － 2 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 設(shè)容器的容積為 V ， 由題意知 V ＝ π r2l ＋43π r3，又 V ＝80π3， 故 l ＝V －43π r3π r2 ＝803 r2 －43r ＝43????????20r2 － r . 由于 l ≥ 2 r ， 因此 0 r ≤ 2. 所以建造費(fèi)用 y ＝ 2π rl 3 ＋ 4π r2c ＝ 2π r 43????????20r2 － r 3 ＋ 4π r2c ， 因此 y ＝ 4π ( c － 2) r2＋160πr， 0 r ≤ 2. 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (2) 由 (1) 得 y ′ ＝ 8π( c － 2) r －160πr2 ＝8π ? c － 2 ?r2????????r3－20c － 2， 0 r ≤ 2. 由于 c 3 ，所以 c － 2 0 ，當(dāng) r3－20c － 2＝ 0 時(shí)， r ＝320c － 2. 令320c － 2＝ m ，則 m 0 ，所以 y ′ ＝8π ? c － 2 ?r2 ( r － m )( r2