【正文】 ， kjW, 系數(shù)的幅值減小。因此，通常的去噪辦法是尋找一個合適的數(shù) ? 作為閾值（門限），把低于λ的小波函數(shù) kjW, （主要由信號 ??kn 引起），設(shè)為零，而對于高于 ? 的小波函數(shù) kjW, （主要由信號 ??ks 引起），則予以保留或進行收縮，從而得到估計小波系數(shù) kjW,^ ，它可理解為基本由信號 ??ks 引起的，然后對 kjW,^ 進行重構(gòu)，就可以重構(gòu)原始信號。 估計小波系數(shù)的方法如下，取： ? ?Nlog2?? ? （ 41） 定義： ????? ??? ??kjkjkjkj WWWW,^ ,0 , （ 42） 稱之為硬閾值估計方法。一般軟閾值估計定義為 ? ?? ?????? ? ??? ? ??kjkjkjkj W WkWjWs ig nW,^ ,0 , （ 43） 基于 MATLAB 的小波去噪函數(shù)簡介 常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。這是一種實現(xiàn)簡單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真等現(xiàn)象：而軟閾值處理相對較光滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為 此人們提出了半軟閾值函數(shù)。 33 小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個關(guān)鍵因素是閾值的具體估計。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲：相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講 ,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 MATLAB中實現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實現(xiàn)兩個方面。 1 閾值獲取 MATLAB 中實現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有 ddencmp、 select、 wbmpen 和 wdcbm2。這里主要介紹函數(shù) ddencmp。 函數(shù) ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認值。該函數(shù)是降噪和 壓縮的導(dǎo)向函數(shù)，它給出一維或二維信號使用小波或小波包進行降噪和壓縮一般過程的所有默認值。 其語法格式為： [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（ IN1， IN2， X） [THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（ IN1，‘ wv’ ， X） [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（ IN1，‘ wp’ ， X） 2 閾值降噪 MATLAB 中實現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有 wden、 wdencmp、 wpdencmp、 wthresh、wpthcoef和 wthcoef2。這里主 要介紹函數(shù) wdencmp。 其語法格式為： [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。gbl39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH,KEEPAPP) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,C,L,39。wname39。,N,THR,SORH) 函數(shù) wdencmp的功能是使用小波進行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪 的導(dǎo)向函數(shù)。它使用小波對信號或圖像執(zhí)行降噪過程。 wname 是所用的小波函數(shù)。 gbl（ global）表示每層都采用同一個閾值進行處理。 lvd表示每層用不同的閾值進行處理。 N 表示小波分解的層數(shù)。 THR 為閾值向量，長度為 N。 SORH 表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為‘ s’和‘ h’）。參數(shù) KEEPAPP取值為 1是，則低頻系數(shù)不進行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進行閾值量化。 XC 是降噪后的信號，[CXC,LXC]是 XC 的小波分解結(jié)構(gòu)， PHRF0 和 PERFL2 是恢復(fù)和壓縮 L2的范數(shù)百分34 比。如果 [C， L]是 x 的小波分解結(jié)構(gòu) ，則 PERFL2=100?（ CXC向量的范數(shù) /C向量的范數(shù)） 2 ；如果 X 是一維信號，小波 wname 是一個正交小波，則PERFL2= 22 /XC100 X 。 小波去噪對比試驗 接下來按照上述小波閾值變換在信號去噪中的算法及小波閾值函數(shù)進行計算機仿真，仿真程序采用 MATLAB語言編寫。該節(jié)首先產(chǎn)生一個實驗信號，然后對小波去噪時各種參數(shù)設(shè)置進行了詳細的對比研究，最后用 MATLAB語言對小波去噪進行仿真。 實驗信號的產(chǎn)生 該節(jié)所 用到的實驗信號是由 wnoise（）函數(shù)產(chǎn)生的長度為 211點、含標準高斯白噪聲、信噪比為 3的‘ heavy sine’信號。 MATLAB 工具箱提供了函數(shù) wnoise 以實現(xiàn)為檢驗小波去噪性能產(chǎn)生測試噪聲。其語法格式為： X = wnoise(FUN,N) [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR) [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR,INIT) （ 1） X = wnoise(FUN,N)產(chǎn)生幅值在 [0， 1]之間長度為 2N 的信號，信號的類型由 FUN指定： FUN=1 BLOCKS 產(chǎn)生不規(guī)則的方波信號 FUN=2 BUMPS 產(chǎn)生低頻噪聲 FUN=3 HEAVY SIN 產(chǎn)生隨機間斷的正弦信號 FUN=4 DROPLER 產(chǎn)生 chirp信號 FUN=5 QUADCHIRP 產(chǎn)生 4次調(diào)頻信號 FUN=6 MISHMASH 產(chǎn)生混雜信號 （ 2） [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR)產(chǎn)生含有白噪聲的信號 XN， SQRT_SNR是信號的噪聲比。 （ 3） [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR,INIT)使用初始值 INIT產(chǎn)生含噪信號。 35 下面的 MATLAB 語句產(chǎn)生信號： %產(chǎn)生一個 Heavy sine 初始信號 x 和長度為 211點、含標準高斯白噪聲的信號 xref snr = 3。 init = 2055615866。 [xref,x] = wnoise(3,11,snr,init)。 subplot(221), plot(xref), axis([1 2048 10 10])。 title(39。Original signal39。)。 subplot(223), plot(x), axis([1 2048 10 10])。 title([39。Noisy signal Signal to noise ratio = 39。,... num2str(fix(snr))])。 圖 41所示就是以上語句為產(chǎn)生的測試信號圖形 。 圖 41 原始信號和含噪信號 各參數(shù)下的去噪效果對比 MATLAB工具箱提供了函數(shù) wden以實現(xiàn)自動利用小波進行一維信號的去噪。其語法格式為： [XD,CXD,LXD] = wden(X,TPTR,SORH,SCAL,N,39。wname39。) [XD,CXD,LXD] = wden(C,L,TPTR,SORH,SCAL,N,39。wname39。) （ 1） [XD,CXD,LXD] = wden(X,TPTR,SORH,SCAL,N,39。wname39。)對輸入信號 X進行去36 噪處理，返回經(jīng)過處理的信號 XD，以及 XD 的小波分解結(jié)構(gòu) [CXD,LXD]。 （ 2） [XD,CXD,LXD] = wden(C,L,TPTR,SORH,SCAL,N,39。wname39。)根據(jù)信號小波分解結(jié)構(gòu) [C,L]對信號進行去噪處理。 各參數(shù)的選擇對比如下： 1．四種閾值選取方式的對比（ TPTR的設(shè)置） 根據(jù)基本的噪聲 模型，程序中使用四種規(guī)則來選取閾值，每一種規(guī)則的選取有參數(shù) TPTR決定。 TPTR的選擇有以下四種閾值規(guī)則： （ 1） TPTR=‘ rigrsure’是一種基于史坦的無偏似然估計（二次方程）原理的自適應(yīng)閾值選擇。對一個給定的閾值 t，得到他的似然估計，再將非似然 t最小化，就得到了所選的閾值，它是一種軟件閾值估計器。 （ 2） TPTR=‘ sqtwolog’采用的是固定的閾值形式，產(chǎn)生的閾值大小事 sqrt（ 2*log（ length（ x）））。 （ 3） TPTR=‘ heursure’事前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇 。如果噪聲比很小（估計有很大的噪聲），在這種情況下，采用此種啟發(fā)式的閾值。 （ 4） TPTR=‘ minimaxi’采用的是一種極大極小原理，它產(chǎn)生一個最小均方誤差值，而不是無誤差。在統(tǒng)計學(xué)上，這種極值原理在于設(shè)計估計器。因為被消噪的信號可以看作與未知回歸函數(shù)的估計式相似，這種極值估計器可以在一個給定的函數(shù)集中實現(xiàn)最大均方誤差最小化。 在 MATLAB中運行以下語句： %不同閾值選取方式下濾波效果的比較 snr = 3。 init = 2055615866。 [xref,x] = wnoise(3,11,snr,init)。 lev = 5。 xd = wden(x,39。rigrsure39。,39。s39。,39。sln39。,lev,39。sym839。)。 subplot(221), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。 title(39。 rigrsure 39。)。 xd = wden(x,39。heursure39。,39。s39。,39。one39。,lev,39。sym839。)。 subplot(222), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。 title(39。 heursure 39。)。 37 xd = wden(x,39。sqtwolog39。,39。s39。,39。sln39。,lev,39。sym839。)。 subplot(223), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。 title(39。 sqtwolog 39。)。 xd = wden(x,39。minimaxi39。,39。s39。,39。sln39。,lev,39。sym839。)。 subplot(224), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。 title(39。 minimaxi 39。)。 [c,l] = wavedec(x,lev,39。sym839。)。 xd = wden(c,l,39。minimaxi39。,39。s39。,39。sln39。,lev,39。sym839。)。 得到 4個去噪效果圖如圖 42所示。 圖 42 MATLAB中的 4種閾值選取方式對比 可以看出，固定閾值形式（ sqtwolog）和啟發(fā)式閾值（ heuesure）的去噪更徹底，而由于 rigrsure 和 minimaxi 閾值選取規(guī)則較為保守（閾值較?。瑢?dǎo)致只有部分系數(shù)置零噪聲去除不徹底。 2 軟門限閾值和硬門限閾值處理比較（ SORH 的設(shè)置） 對于閾值函數(shù)的確定， Donoho 提出了兩種：硬閾值和軟閾值。在硬閾值處理中，由于收縮函數(shù)的不連續(xù)性，會在恢復(fù)的信號中產(chǎn)生一些人為的“噪聲點”。軟閾值的連續(xù)性較好。 在 MATLAB語句中， SORH=‘ s’，則為軟閾值處理 ,向量 X為待處理的信號。當38 SORH=‘ h’，則為硬閾值處理。一般來說，用硬閾值處理后的信號比用軟閾值處理后的信號更為粗糙。 在 MATLAB下運行如下語句： %軟門限閾值和硬門限閾值效果比較 snr = 3。 init = 2055615866。 [xref,x] = wnoise(3,11,snr,init)。 thr = 。 % 作用硬閾值 xthard = wthresh(x,39。h39。,thr)。 % 作用軟閾值 xtsoft = wthresh(x,39。s39。,thr)。 subplot(221),plot(xthard)。 title(39。作用硬閾值的結(jié)果 39。)。 subplot(223),plot(xtsoft)。 title(39。作用軟閾值的結(jié)果 39。)。 得到去噪效果對比圖如圖 43所示。 圖 43 軟門限閾值和硬門限閾值處理比較 實驗表明，軟門限閾值處理方式一般能夠取得更為平滑和理想的去噪效果。 39 3 小波函數(shù)的比較選?。?wname） 小波函數(shù)可以選取 一個正交小波，如 Daubechies（ dbN）， symlets（ symN），coiflets（ soifN）等。具體選擇可以根據(jù)實際需要決定，在我們的實驗中選擇的是 sym8(光滑的緊支撐雙正交小波 )。 利用小波去噪函數(shù)去除給定圖像中的噪聲 本節(jié)給定的圖像 為二維信號，二維信號在小波域中的降噪方法的基