【正文】 2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴ , ∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].即所求軌跡方程為: x2=4y, x∈[－2,2]解法二: (Ⅰ)同上．(Ⅱ) 如圖， =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t， = + = +t = +t(－) =(1－t) +t， = += + t= +t(－)=(1－t) + t= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得 消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．故所求軌跡方程為: x2=4y， x∈[－2，2]54．(上海卷)在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．[解]（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,－). ∴=3； 當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，其中， 由得 又 ∵ ， ∴， 綜上所述，命題“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說(shuō)明：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(－1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0).55．(上海卷)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。解(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點(diǎn)P在橢圓上,得, ∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.∴S△ABC的最大值是. 56．（四川卷）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)。如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積。本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力。滿分12分。解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知， 故曲線的方程為 設(shè)，由題意建立方程組 消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有 解得又∵ 依題意得 整理后得 ∴或 但 ∴故直線的方程為設(shè)，由已知，得∴，又，∴點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為到的距離為 ∴的面積57．（天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)．連結(jié)交小圓于點(diǎn)．設(shè)直線是小圓的切線．（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明．本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)、直線方程。平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，. 證明：（Ⅰ）由題設(shè)條件知，∽故 ，即因此，在， 因此，在中 ，.于是，則.這時(shí)，直線BF與軸的交點(diǎn)為(Ⅱ)由（Ⅰ），得直線BF得方程為且 ②由已知，設(shè)、則它們的坐標(biāo)漫步方程組 ③由方程組③消去，并整理得 由式①、②和④， 由方程組③消去，并整理得 ⑤由式②和⑤， 綜上，得到注意到，得 58．（天津卷）如圖，雙曲線的離心率為．分別為左、右焦點(diǎn)，為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，且．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)和是軸上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線，使得交雙曲線于兩點(diǎn)，作直線交雙曲線于另一點(diǎn)．證明直線垂本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，考查推理及運(yùn)算能力。 （I）解：根據(jù)題設(shè)條件， 設(shè)點(diǎn)則、滿足 因解得，故 利用得于是因此，所求雙曲線方程為 （II）解：設(shè)點(diǎn)則直線的方程為 于是、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足　　　 將①代入②得 由已知，顯然于是因?yàn)榈? 同理，、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足 可解得 所以，故直線DE垂直于軸。59．（浙江卷）如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。解：（I）過(guò)點(diǎn)、的直線方程為因?yàn)橛深}意得 有惟一解，即有惟一解，所以 （），故 又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為 （II）由（I）得 故從而 由 解得所以 因?yàn)橛值靡虼?0．(重慶卷)已知一列橢圓Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..｜PnFn｜與｜PnCn｜的等差中項(xiàng)，其中Fn、Cn分別是Cn的左、右焦點(diǎn).（Ⅰ）試證：bn≤ (n≥1)。（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面積，試證：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).證：（I）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有，故。設(shè)，由題意應(yīng)滿足即解之得：。即從而對(duì)任意（II）高點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由及橢圓方程易知因，故的面積為，從而。令。由得兩根從而易知函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)。而在內(nèi)是減函數(shù)。 現(xiàn)在由題設(shè)取則是增數(shù)列。又易知。故由前已證，知，且61．(重慶卷)如圖，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線角拋物線于另一點(diǎn)。（Ⅰ）試證：；（Ⅱ）取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。試證：；證明：（Ⅰ）對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1）,所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線方程聯(lián)立得: ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得．（Ⅱ）對(duì)任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為： ，……①類(lèi)似地，可求得在處的切線的方程為：，……②由②－①得：，……③將③代入①并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為．由兩點(diǎn)間的距離公式得：　　?。F(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：62．（上海春）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn). 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、 為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為. 觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問(wèn)：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解：（1）設(shè)曲線方程為， 由題意可知，. . 曲線方程為. （2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知 得 ， 或（不合題意，舍去）. . 得 或（不合題意，舍去）. 點(diǎn)的坐標(biāo)為， . 答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得距離分別為時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令. 46