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正文內(nèi)容

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分類匯編和解析(編輯修改稿)

2025-02-11 16:42 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0,則∠MBP為銳角,從而∠MBN為鈍角,故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則-2x12,-2x22,又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,),依題意,計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差-=(-2)2+()2-[(x1-x2)2+(y1-y2)2] =(x1-2) (x2-2)+y1y1 又直線AP的方程為y=,直線BP的方程為y=,而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=4上,∴,即y2= 又點(diǎn)M在橢圓上,則,即 于是將、代入,化簡(jiǎn)后可得-=.從而,點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。41.(湖南卷)已知橢圓C1:,拋物線C2:,且CC2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值,并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;(Ⅱ)是否存在、的值,使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上?若存在,求出符合條件的、的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(Ⅰ)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱,所以m=0,直線AB的方程為: x =1,從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,)或(1,-). ,(,0),該焦點(diǎn)不在直線AB上.(II)解法一: 假設(shè)存在、的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上,由(I)知直線AB的斜率存在,故可設(shè)直線AB的方程為.AyBOx由消去得…①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2), 則x1,x2是方程①的兩根,x1+x2=.  由 消去y得. ………………②因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以,②有.即.    …………………③由于x1,x2也是方程③的兩根,所以x1+x2=.從而=. 解得   ……………………④又AB過(guò)C\、C2的焦點(diǎn),所以,則 …………………………………⑤由④、⑤式得,即.解得于是因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以. 或.由上知,滿足條件的、存在,且或,.解法二: 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為,.因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn),又過(guò)C2的焦點(diǎn),所以.即.   ……①由(Ⅰ)知,于是直線AB的斜率, ……②且直線AB的方程是,所以. ……③又因?yàn)?,所? ……④ 將①、②、③代入④得.  ……………⑤  因?yàn)椋裕  迣ⅱ?、③代入⑥得  ……………⑦由⑤、⑦得即解得.將代入⑤得  或.由上知,滿足條件的、存在,且或,42.(湖南卷)已知橢圓C1:,拋物線C2:,且CC2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)軸時(shí),求p、m的值,并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;?。á颍┤羟覓佄锞€C2的焦點(diǎn)在直線AB上,求m的值及直線AB的方程.解?。á瘢┊?dāng)AB⊥x軸時(shí),點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱,所以m=0,直線AB的方程為 x=1,從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,)或(1,-). 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,所以,即. 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),該焦點(diǎn)不在直線AB上. (Ⅱ)解法一 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí),由(Ⅰ)知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. ……①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),則x1,x2是方程①的兩根,x1+x2=.AyBOx因?yàn)锳B既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦,又是過(guò)C2的焦點(diǎn)的弦,所以,且.從而.所以,即.解得.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以.即.當(dāng)時(shí),直線AB的方程為;當(dāng)時(shí),直線AB的方程為.解法二 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí),由(Ⅰ)知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為.由消去y得.         ……①因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以,①有.即. ……②設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),則x1,x2是方程②的兩根,x1+x2=.由消去y得.   ……③由于x1,x2也是方程③的兩根,所以x1+x2=.從而=. 解得.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以.即.當(dāng)時(shí),直線AB的方程為;當(dāng)時(shí),直線AB的方程為. 解法三 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn),又是過(guò)C2的焦點(diǎn),所以.即. ……①由(Ⅰ)知,于是直線AB的斜率,   ……②且直線AB的方程是,所以. ……③又因?yàn)?,所? ……④ 將①、②、③代入④得,即.當(dāng)時(shí),直線AB的方程為;當(dāng)時(shí),直線AB的方程為.43.(江蘇卷)已知三點(diǎn)P(5,2)、(-6,0)、(6,0). (Ⅰ)求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。解:(1)由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(ab0),其半焦距c=6∴,b2=a2c2=9.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)點(diǎn)P(5,2)、F1(6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P,(2,5)、F1,(0,6)、F2,(0,6).設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知,半焦距c1=6,b12=c12a12=3620=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為44.(江西卷)如圖,橢圓Q:(ab0)的右焦點(diǎn)F(c,0),過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn)(1) 求點(diǎn)P的軌跡H的方程(2) 在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0q163。 ),確定q的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn),此時(shí),設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),三角形ABD的面積最大?解:如圖,(1)設(shè)橢圓Q:(ab0)上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),則1176。當(dāng)AB不垂直x軸時(shí),x1185。x2,由(1)-(2)得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0 \b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)2176。當(dāng)AB垂直于x軸時(shí),點(diǎn)P即為點(diǎn)F,滿足方程(3)故所求點(diǎn)P的軌跡方程為:b2x2+a2y2-b2cx=0(2)因?yàn)椋瑱E圓 Q右準(zhǔn)線l方程是x=,原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0q163。)則==2sin(+)當(dāng)q=時(shí),上式達(dá)到最大值。此時(shí)a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1設(shè)橢圓Q:上的點(diǎn) A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面積S=|y1|+|y2|=|y1-y2|設(shè)直線m的方程為x=ky+1,代入中,得(2+k2)y2+2ky-1=0由韋達(dá)定理得y1+y2=,y1y2=,4S2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4 y1y2=令t=k2+1179。1,得4S2=,當(dāng)t=1,k=0時(shí)取等號(hào)。因此,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí),三角形ABD的面積最大。OPAFBDxy45.(江西卷)如圖,橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若在的方程中,令,.設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為和.當(dāng)為何值時(shí),為一個(gè)正三角形?解:如圖,(1)設(shè)橢圓Q:(ab0)上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),則1176。當(dāng)AB不垂直x軸時(shí),x1185。x2,由(1)-(2)得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0 \b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)2176。當(dāng)AB垂直于x軸時(shí),點(diǎn)P即為點(diǎn)F,滿足方程(3)故所求點(diǎn)P的軌跡方程為:b2x2+a2y2-b2cx=0(2)因?yàn)檐壽EH的方程可化為:\M(,),N( ,-),F(xiàn)(c,0),使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí),則tan==,即a2=3b2. 由于,則1+cosq+sinq=3 sinq,得q=arctan46.(遼寧卷)已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,(I) 證明線段是圓的直徑。(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X
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