【正文】 2010年四川省高考數(shù)學(xué)（文史類）試題 參 考 解 答 一、選擇題：本題考查基本概念和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分 題號(hào)123456789101112答案DCCDACCBADDA 1解析：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)1解析：先求,所以,由余弦定理得 ,得，由相似三角形得,則球心角余弦值為,故有二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分。 124 1 1 (16) ① ② 三、解答題： 1解析：（Ⅰ）設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C,那么, . 答：三位同學(xué)都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率是。 ……………（6分） （Ⅱ） 答：三位同學(xué)中至少有兩位沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為 1解法一：連接AC,取AC中點(diǎn)K，則K為BD中點(diǎn)，連接OK，因?yàn)辄c(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,AM∥∥,∴,∥. 由,得. 因?yàn)?所以平面 ∴ ,∴. 又∵與異面直線和都相交，故為異面直線和的公垂線。 ………………… （5分） （Ⅱ）取的中點(diǎn)N，連接MN，則MN⊥平面,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥于H，連接MH，則由三垂線定理得 ,從而為二面角的平面角。設(shè),則，在中，.故二面角的大小為。 …………… （12分）解法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè),則,.(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)?！? ,∴ , 又∵與異面直線和都相交，故為異面直線和的公垂線。 ………………… （5分）（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，∴ ,即 ，取，則，從而。取平面的一個(gè)法向量為。由圖可知二面角的平面角為銳角，故二面角的大小為。 …………………（12分）1解析：（Ⅰ）①如圖，在直角標(biāo)系內(nèi)作單位圓，并作出角與，使角的始邊為軸，交⊙于點(diǎn),終邊交⊙于點(diǎn)；角的始邊為,終邊交⊙于,角的始邊為,終邊交⊙于.則，由及兩點(diǎn)間距離公式得展開(kāi)并整理，得，∴ …………………… （4分）② 由①易得， ∴ …………… （6分）（Ⅱ）由已知，∴；由，得 ，∴。（12分）解析：（Ⅰ）設(shè)的公差為，由已知得。解得，故 …………… （5分）（Ⅱ）由(Ⅰ)的解答可得，于是 當(dāng)時(shí)，上式兩邊同乘以可得上述兩式相減可得 所以 ，當(dāng)時(shí)。綜上所述， …………………………… （12分）2解析：（Ⅰ）設(shè)，則，化簡(jiǎn)得： ………………… （4分） （Ⅱ）由①當(dāng)直線BC與軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消去得，由題意知且，設(shè)，則。∵，所以直線AB的方程為，因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為。，同理可得因此 ② 當(dāng)直線BC與軸垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為，則,AB的方程為，因此M的坐標(biāo)為，,同理得,因此。 綜上 ， ∴，即,故以線段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F. ………(12分) 2解析：（Ⅰ）由題意得，故， …………………… （3分）（Ⅱ） 由 得① 當(dāng)時(shí)， ，又 因?yàn)椋?。令則，列表如下：2(2,5)5 (5,6)6 ＋0－5↗極大值32↘25所以 ，∴， ② 當(dāng)時(shí)，，又 因?yàn)?，所以由①知，∴，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。 …………………（9分） （Ⅲ）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)時(shí)，則所以，從而。所以，綜上， 總有 。………………（14分）2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(四川卷)數(shù) 學(xué)(文史類)參考公式：如果事件A、B互斥，那么 球是表面積公式 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑 球的體積公式如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑第一部分（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目的要求的．1．若全集，則（A） （B） （C） （D）答案：B解析：∵，則，選B．2．有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[，) 2 [，) 4 [，) 9 [，) 18[，) 1l [，) 12 [，) 7 [，) 3根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，（A） （B） （C） （D）答案：B解析：+7+3=22個(gè)，約占，選B．3．圓的圓心坐標(biāo)是（A）(2，3) （B）(－2，3) （C）(－2，－3) （D）(2，－3)答案：D解析：圓方程化為，圓心(2，－3)，選D．4．函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象像大致是 答案：A解析：圖象過(guò)點(diǎn)，且單調(diào)遞減，故它關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象過(guò)點(diǎn)且單調(diào)遞減，選A．5．“x＝3”是“x2＝9”的（A）充分而不必要的條件 （B）必要而不充分的條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要的條件答案：A解析：若x＝3，則x 2＝9，反之，若x 2＝9，則，選A．6．，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（A）， （B），（C），共面 （D），共點(diǎn)，共面答案：B解析：由，根據(jù)異面直線所成角知與所成角為90176。，選B．7．如圖，正六邊形ABCDEF中， （A）0 （B）（C） （D）答案：D解析：，選D．8．在△ABC中，則A的取值范圍是 （A） （B） （C） （D）答案：C解析：由得，即，∴，∵，故，選C．9．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n≥1），則a6=（A）3 44 （B）3 44+1 （C）44 （D）44+1答案：A解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn－1（n≥2），相減得an+1－an =3(Sn－Sn－1)= 3an，則an+1=4an（n≥2），a1=1，a2=3，則a6= a244=344，選A．10．某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需運(yùn)往地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次．派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)為（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元答案：C解析：設(shè)派用甲型卡車x（輛），乙型卡車y（輛），獲得的利潤(rùn)為u（元），由題意，x、y滿足關(guān)系式作出相應(yīng)的平面區(qū)域，在由確定的交點(diǎn)處取得最大值4900元，選C．11．在拋物線上取橫坐標(biāo)為，的兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（A） （B） （C） （D）答案：A解析：令拋物線上橫坐標(biāo)為、的點(diǎn)為、則，由，故切點(diǎn)為，切線方程為，該直線又和圓相切，則，解得或（舍去），則拋物線為，定點(diǎn)坐標(biāo)為，選A．12．在集合中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個(gè)數(shù)為m，則（A） （B） （C） （D）答案：B解析：∵以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量有、、共6個(gè)，可作平行四邊形的個(gè)數(shù)個(gè)，結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算，其中由、確定的平行四邊形面積為2，共有3個(gè)，則，選B．第二部分（非選擇題 共90分注意事項(xiàng)：1．，作圖題可先用鉛筆繪出，答在試題卷上無(wú)效．2．本部分共10小題，共90分．二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.13．的展開(kāi)式中的系數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）答案：84解析：∵的展開(kāi)式中的系數(shù)是．14．雙曲線上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是4，那么P到左準(zhǔn)線的距離是____．答案：16答案：16解析：離心率，設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離是d，則，則，則P到左準(zhǔn)線的距離等于．15．如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_________．答案：32π解析：如圖，設(shè)球一條半徑與圓柱相應(yīng)的母線夾角為α，圓柱側(cè)面積＝，當(dāng)時(shí)，S取最大值，此時(shí)球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為．16．函數(shù)的定義域?yàn)锳，若且時(shí)總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)=2x+1()是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)（xR）是單函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)（xR）是單函數(shù)；③若為單函數(shù)，且，則；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．其中的真命題是_________．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）答案：②③④解析：對(duì)于①，若，則，不滿足；②是單函數(shù)；命題③實(shí)際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；根據(jù)定義，命題④滿足條件．三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題共l2分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙人互相獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．（Ⅰ）分別求出甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的概率．本小題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等概念及相關(guān)概率計(jì)算，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．解：（Ⅰ）分別記甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車為事件A、B，則，．答：甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率分別為、．（Ⅱ）記甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元為事件C，則．答：甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的概率為18．（本小題共l2分）已知函數(shù)，xR．（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，．求證：．本小題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力，函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．（Ⅰ）解析：，∴的最小正周期，最小值．（Ⅱ）證明：由已知得，兩式相加得，∵，∴，則．∴．19．（本小題共l2分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90176。，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．（Ⅰ）求證：PB1∥平面BDA1；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的能力．解法一：（Ⅰ）連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD204。面BDA1，PB1203。面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（Ⅱ）過(guò)A作AE⊥DA1于點(diǎn)E，連結(jié)BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂線定理可知BE⊥DA1．∴∠BEA為二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中，又，∴．在Rt△BAE中，∴．故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．解法二：如圖，以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1－B1C1A，則，，．（Ⅰ）在△PAA1中有，即．∴，．設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為，則令，則．∵，∴PB1∥平面BA1D，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一個(gè)法向量．又為平面AA1D的一個(gè)法向量．∴．故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．20．（本小題共12分）已知是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；（Ⅱ）當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，、也成等差數(shù)列．本小題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．解：（Ⅰ）由已知，因此，．當(dāng)、成等