【正文】 ∠COF=90176。∴∠DOF=90176?！逴A=OC，OD平分∠AOC（已知）?！郞D⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)）?！唷螩DO=90176?！逤F⊥OF，∴∠CFO=90176?！嗨倪呅蜟DOF是矩形。（2）解：當(dāng)∠AOC=90176。時，四邊形CDOF是正方形。理由如下：∵∠AOC=90176。，AD=DC，∴OD=DC。又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形。因此，當(dāng)∠AOC=90176。時，四邊形CDOF是正方形。【考點】等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，正方形的判定?！痉治觥浚?）利用角平分線的性質(zhì)、平角的定義可以求得∠DOF=90176。；由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可推知OD⊥AC，即∠CDO=90176。；根據(jù)已知條件“CF⊥OF”知∠CFO=90176。；則三個角都是直角的四邊形是矩形。（2）當(dāng)∠AOC=90176。時，四邊形CDOF是正方形；因為Rt△AOC的斜邊上的中線OD等于斜邊的一半，所以矩形的鄰邊OD=CD，所以矩形CDOF是正方形。16. （2012內(nèi)蒙古赤峰12分）如圖，AB是⊙O的弦，點D是半徑OA上的動點（與點A．O不重合），過點D垂直于OA的直線交⊙O于點E、F，交AB于點C．（1）點H在直線EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切線嗎？請說明理由；（2）連接AE、AF，如果，并且CF=16，F(xiàn)E=50，求AF的長．【答案】解：（1）HB是⊙O的切線。理由如下：連接OB?！逪C=HB，∴∠HCB=∠HBC。又∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA?！逤D⊥OA，∴∠ADC=90176。∴∠ACD+∠OAB=90176。∵∠ACD=∠HCB，∴∠OBA+∠HBA=90176?！郒B⊥OB?！郒B是⊙O的切線。（2）∵，∴∠FAB=∠AEF。又∵∠AFE=∠CFA，∴△AFE∽△CFA。∴?！郃F2=CF?FE?！逤F=16，F(xiàn)E=50，∴AF=?！究键c】圓的綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）連接HB，得出∠HCB=∠HBC，以及∠ACD+∠OAB=90176。，∠OBA+∠HBA=90176。，再根據(jù)切線的判定定理得出即可。（2）利用相似三角形的判定得出△AFE∽△CFA，即可得出，代值求出即可。17. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特7分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．（1）求證：AF﹣BF=EF；（2）將△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應(yīng)點為點F′，若正方形邊長為3，求點F′與旋轉(zhuǎn)前的圖中點E之間的距離．【答案】（1）證明：如圖，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90176。 ∵DE⊥AG，∴∠AED=90176。∴∠EAD+∠ADE=90176?！唷螦DE=∠BAF。又∵BF∥DE，∴∠AEB=∠AED=90176。在△AED和△BFA中，∵∠AEB=∠AED，∠ADE=∠BAF，AD = AB?！唷鰽ED≌△BDA（AAS）?！郆F=AE?！逜F﹣AE=EF，∴AF﹣BF=EF。（2）解：如圖，根據(jù)題意知：∠FAF′=90176。，DE=AF′=AF，∴∠F′AE=∠AED=90176。，即∠F′AE+∠AED=180176?！郃F′∥ED?！嗨倪呅蜛EDF′為平行四邊形。又∵∠AED=90176。，∴四邊形AEDF′是矩形?！郋F′=AD=3?！帱cF′與旋轉(zhuǎn)前的圖中點E之間的距離為3?！究键c】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90176。，AB=AD，進而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF與三角形ADE全等，利用全等三角的對應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AF﹣AE=EF，等量代換可得證。（2）將△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應(yīng)點為點F′，連接EF′，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠FAF′為直角，AF=AF′，由（1）的全等可得出AF=DE，等量代換可得出DE=AF′=AF，再利用同旁內(nèi)角互補兩直線平行得到AF′與DE平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得出AEDF′為平行四邊形，再由一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出AEDF′為矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得出EF′=AD，由AD的長即可求出EF′的長。18. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特6分）如圖，線段AB，DC分別表示甲、乙兩建筑物的高．某初三課外興趣活動小組為了測量兩建筑物的高，用自制測角儀在B外測得D點的仰角為α，在A處測得D點的仰角為β．已知甲、乙兩建筑物之間的距離BC為m．請你通過計算用含α、β、m的式子分別表示出甲、乙兩建筑物的高度．【答案】解：過點A作AM⊥CD，垂足為M，在Rt△BCD中，∴CD=BC?tanα=mtanα。在Rt△AMD中，∴DM=AM?tanβ=mtanβ?！郃B=CD﹣DM=m（tanα﹣tanβ）．∴甲建筑物的高度為mtanα，乙建筑物的高度為m（tanα﹣tanβ）?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題）【分析】分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及到兩個直角三角形△ADM、△DBC，應(yīng)借助AE=BC，求出DC，DM，從而求出AB即可。19. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特8分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，線段OP與弦AC垂直并相交于點D，OP與弧AC相交于點E，連接BC．（1）求證：∠PAC=∠B，且PA?BC=AB?CD；（2）若PA=10，sinP=，求PE的長．【答案】（1）證明：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，∴∠PAO=90176。，∠C=90176?！唷螾AC+∠BAC=90176。，∠B+∠BAC=90176?！唷螾AC=∠B。又∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90176。∴△PAD∽△ABC，∴AP：AB=AD：BC，∵在⊙O中，AD⊥OD，∴AD=CD。∴AP：AB=CD：BC?！郟A?BC=AB?CD；20. （2012山西省6分）實踐與操作：如圖1是以正方形兩頂點為圓心，邊長為半徑，畫兩段相等的圓弧而成的軸對稱圖形，圖2是以圖1為基本圖案經(jīng)過圖形變換拼成的一個中心對稱圖形．（1）請你仿照圖1，用兩段相等圓?。ㄐ∮诨虻扔诎雸A），在圖3中重新設(shè)計一個不同的軸對稱圖形．（2）以你在圖3中所畫的圖形為基本圖案，經(jīng)過圖形變換在圖4中拼成一個中心對稱圖形．【答案】解：（1）在圖3中設(shè)計出符合題目要求的圖形： （2）在圖4中畫出符合題目要求的圖形：【考點】利用軸對稱和旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案?！痉治觥看祟}為開放性試題，答案不唯一。（1）根據(jù)軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合作出圖形。（2）根據(jù)中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合作出圖形。21. （2012山西省9分）如圖，為了開發(fā)利用海洋資源，某勘測飛機預(yù)測量一島嶼兩端A．B的距離，飛機在距海平面垂直高度為100米的點C處測得端點A的俯角為60176。，然后沿著平行于AB的方向水平飛行了500米，在點D測得端點B的俯角為45176。，求島嶼兩端A．B的距離（，參考數(shù)據(jù)：）【答案】解：過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90176?！嗨倪呅蜛BFE為矩形?！郃B=EF，AE=BF。由題意可知：AE=BF=100，CD=500。在Rt△AEC中，∠C=60176。，AE=100，∴。在Rt△BFD中，∠BDF=45176。，BF=100，∴?！郃B=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣≈600﹣≈（米）。答：島嶼兩端A．?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題）矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥繕?gòu)造直角三角形，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，分別解Rt△AEC和Rt△AEC即可求解。22. （2012山西省12分）問題情境：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB=90176。，CA=CB，∠FDE=90176。，O是AB的中點，點D與點O重合，DF⊥AC于點M，DE⊥BC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法：解：OM=ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分線．（依據(jù)1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依據(jù)2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1： 依據(jù)2： （2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．拓展延伸：（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】（1）解：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點到角的兩邊距離相等。（2）證明：∵CA=CB，∴∠A=∠B?！逴是AB的中點，∴OA=OB?！逥F⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90176?！咴凇鱋MA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，∴△OMA≌△ONB（AAS）?！郞M=ON。（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線?！摺螦CB=90176。，∴OC=AB=OB。又∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45176。，∠AOC=∠BOC=90176?！唷?=∠B?！連N⊥DE，∴∠BND=90176。又∵∠B=45176。，∴∠3=45176?！唷?=∠B?！郉N=NB?！摺螦CB=90176。，∴∠NCM=90176。又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90176?！嗨倪呅蜠MCN是矩形?！郉N=MC?！郙C=NB?！唷鱉OC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB?！唷螹OC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90176?！郞M⊥ON?！究键c】等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰三角形和角平分線的性質(zhì)直接作答。（2）利用AAS證明△OMA≌△ONB即可。（3）利用SAS證明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通過角的等量代換即可得∠MON=∠BOC=90176。，而得到OM⊥ON。23.（2012內(nèi)蒙古呼倫貝爾6分）在圖中求作一點P，使點P到∠AOB兩邊的距離相等，并且使OP等于MN，保留作圖痕跡并寫出作法．（要求：用尺規(guī)作圖）【答案】解：作圖如下：點P即為所求．【考點】作圖（復(fù)雜作圖）?！痉治觥康浇堑膬蛇匫A、OB距離相等且使OP等于MN，即作角平分線，并且在角平分線截取OP等于MN．截點就是點P的位置。　24．（2012內(nèi)蒙古呼倫貝爾8分）如圖，線段AB與⊙O相切于點C，連接OA，OB，OB交⊙O于點D，已知OA=OB=6，AB=6．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積．【答案】解：（1）連接OC，則OC⊥AB?！逴A=OB，∴AC=BC=AB=6=3。在Rt△AOC中，∴⊙O的半徑為3。（2）∵OC=OB，∴∠B=30176。，∠COD=60176?！嗌刃蜲CD的面積為?！嚓幱安糠值拿娣e為?！究键c】切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，扇形面積的計算?！痉治觥浚?）線段AB與⊙O相切于點C，則可以連接OC，得到OC⊥AB，則OC是等腰三角形OAB底邊上的高線，根據(jù)三線合一定理，得到AC=3，在直角△OAC中根據(jù)勾股定理得到半徑OC的長。（2）圖中陰影部分的面積等于△OCB的面積與扇形OCD的面積的差。　 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