【導(dǎo)讀】A．150°B．210°C．105°D．75°翻折變換，三角形內(nèi)角和定理?！摺鰽′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°?！唷螦ED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。處，且A’D’經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)D’F?延長DC與A′D′，交于點M，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD?！螦′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°?！摺螧CM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。設(shè)CF=x，D′F=DF=y，則BC=CM=CD=CF+DF=x+y。三角函數(shù)定義，勾股定理。∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∵還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，A．150ºB．210ºC．105ºD．75º∵矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，

　　

【正文】 4 可得，當(dāng) 3 x 5??時，四邊形 AEA′F是菱形。 ② 由折疊和矩形的性質(zhì)，可得 AE=A′E， AF=A′F。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得 AE=AF。從而 AE=A′E=AF=A′F。根據(jù)菱形的判定得四邊形 AEA′F是菱形。 8. （ 2020湖北恩施 8分） 如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片 ABCD，先折出 BC 的中點 E， 再折出線段 AE，然后通過折疊使 EB 落到線段 EA上，折出點 B的新位置 B′，因而 EB′=EB．類似地，在AB 上折出點 B″使 AB″=AB′．這是 B″就是 AB 的黃金分割點．請你證明這個結(jié)論． 【答案】 證明：設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2， E 為 BC 的中點， ∴ BE=1。 ∴ 22A E A B B E 5? ? ?。 又 B′E=BE=1， ∴ AB′=AE﹣ B′E= 5 ﹣ 1。 又 ∵ AB″=AB′， ∴ AB″= 5 ﹣ 1。 ∴ ? ?A B A B 5 1 2? ? ?： ：。 ∴ 點 B″是線段 AB 的黃金分割點。 【考點】 翻折（折疊）問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊對稱的性質(zhì)，黃金分割。 【分析】 設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2，根據(jù)勾股定理求出 AE 的長，再根據(jù) E 為 BC的中點和翻折不變性，求出 AB″的長，二者相比即可得到黃金比。 9. （ 2020 湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田 12 分） 如圖，拋物線 y=ax2+bx+2 交 x軸于 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點，交 y 軸于點 C，與過點 C 且平行于 x軸的直線交于另一點 D，點 P 是拋物線上一動點． （ 1）求拋物線解析式及點 D 坐標(biāo)； （ 2）點 E 在 x軸上，若以 A， E， D， P 為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點 P 的坐標(biāo)； （ 3）過點 P 作直線 CD 的垂線，垂足為 Q，若將 △ CPQ 沿 CP 翻折，點 Q 的對應(yīng)點為 Q′．是否存在點 P，使 Q′恰好落在 x軸上？若存在，求出此時點 P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【答案】 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+2 經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點， ∴ a b+2=016a+4b+2=0????，解得：1a=23b=2? ???????。 ∴ 拋物線解析式為 213y x x 222? ? ? ?。 當(dāng) y=2 時， 213x x 2 222? ? ? ?，解得： x1=3， x2=0（舍去）。 ∴ 點 D 坐標(biāo)為（ 3， 2）。 （ 2） A， E 兩點都在 x軸上， AE 有兩種可能： ① 當(dāng) AE 為一邊時， AE∥ PD， ∴ P1（ 0， 2）。 ② 當(dāng) AE 為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，可知 P 點、 D點到直線 AE（即 x軸）的距離相等， ∴ P 點的縱坐標(biāo)為﹣ 2。 代入拋物線的解析式： 213x x 2 222? ? ? ? ?，解得：123 + 4 1 3 4 1xx22???。 ∴ P 點的坐標(biāo)為（ 3+412 ，﹣ 2），（ 3 412? ，﹣ 2）。 綜上所述： P1（ 0， 2）； P2（ 3+412 ，﹣ 2）； P3（ 3 412? ，﹣ 2）。 （ 3）存在滿足條件的點 P，顯然點 P 在直線 CD 下方。 設(shè)直線 PQ交 x軸于 F，點 P 的坐標(biāo)為（ 213a a a 222? ? ? ， ）， ① 當(dāng) P 點在 y 軸右側(cè) 時（如圖 1）， CQ=a， PQ= 221 3 1 32 a a 2 = a a2 2 2 2??? ? ? ? ?????。 又 ∵∠ CQ′O+∠ FQ′P=90176。， ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。， ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∴△ COQ′∽ △ Q′FP， ∴ QC QP =CO FQ39。39。39。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。? ， 解得 F Q′=a﹣ 3 ∴ OQ′=OF﹣ F Q′=a﹣ （ a﹣ 3） =3， 2 2 2 2C Q = C Q = C O + O Q = 3 + 2 = 1 339。39。 。 此時 a= 13 ，點 P 的坐標(biāo)為（ 9+3 1313 2? ， ）。 ② 當(dāng) P 點在 y 軸左側(cè)時（如圖 2）此時 a＜ 0， 213a a 222? ? ? ＜ 0， CQ=﹣ a， PQ= 221 3 1 32 a a 2 = a a2 2 2 2??? ? ? ? ?????。 又 ∵∠ CQ′O+∠ FQ′P=90176。， ∠ CQ′O+∠ OCQ′=90176。， ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。 ∴△ COQ′∽ △ Q′FP。 ∴ QC QP =CO FQ39。39。39。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。?? ， 解得 F Q′=3﹣ a。 ∴ OQ′=3， 22C Q = C Q = 3 + 2 = 1 339。 。 此時 a=﹣ 13 ，點 P 的坐標(biāo)為（ 9 3 1313 2??? ， ）。 綜上所述，滿足條件的點 P 坐標(biāo)為（ 9+3 1313 2? ， ），（ 9 3 1313 2??? ， ）。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判 定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令 y=2 可得出點 D 的坐標(biāo)。 （ 2）分兩種情況進行討論， ① 當(dāng) AE 為一邊時， AE∥ PD， ② 當(dāng) AE 為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點 P 坐標(biāo)。 （ 3）結(jié)合圖形可判斷出點 P 在直線 CD 下方，設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（ 213a a a 222? ? ? ， ），分情況討論， ① 當(dāng) P 點在 y軸右側(cè)時， ② 當(dāng) P 點在 y軸左側(cè)時，運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進行求解即可。 10. （ 2020湖北宜昌 11 分） 如圖，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， ∠ ABC=90176。．點 E為底 AD 上一點，將 △ ABE 沿直線 BE 折疊，點 A落在梯形對角線 BD 上的 G 處， EG 的延長線交直線 BC 于點 F． （ 1）點 E 可以是 AD 的中點嗎？為什么？ （ 2）求證： △ ABG∽△ BFE； （ 3）設(shè) AD=a， AB=b， BC=c ① 當(dāng)四邊形 EFCD 為平行四邊形時，求 a， b， c 應(yīng)滿足的關(guān)系； ② 在 ① 的條件下，當(dāng) b=2 時， a 的值是唯一的，求 ∠ C 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）不可以。理由如下： 根據(jù)題意得： AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。， ∴ Rt△ EGD 中， GE＜ ED。 ∴ AE＜ ED。 ∴ 點 E 不可以是 AD 的中點。 （ 2）證明： ∵ AD∥ BC， ∴∠ AEB=∠ EBF， ∵ 由折疊知 △ EAB≌△ EGB， ∴∠ AEB=∠ BEG。 ∴∠ EBF=∠ BEF。 ∴ FE=FB， ∴△ FEB 為等腰三角形。 ∵∠ ABG+∠ GBF=90176。， ∠ GBF+∠ EFB=90176。， ∴∠ ABG=∠ EFB。 在等腰 △ ABG 和 △ FEB 中， ∠ BAG=（ 180176。﹣ ∠ ABG） 247。2 ， ∠ FBE=（ 180176。﹣ ∠ EFB） 247。2， ∴∠ BAG=∠ FBE。 ∴△ ABG∽△ BFE。 （ 3） ①∵ 四邊形 EFCD 為平行四邊形， ∴ EF∥ DC。 ∵ 由折疊知， ∠ DAB=∠ EGB=90176。， ∴∠ DAB=∠ BDC=90176。 又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ ADB=∠ DBC。 ∴ △ ABD∽△ DCB。 ∴ AD DBDB CB? 。 ∵ AD=a， AB=b， BC=c， ∴ BD= 22a +b ∴ 2222a a +bca +b ?，即 a2+b2=ac。 ② 由 ① 和 b=2 得關(guān)于 a 的一元二次方程 a2﹣ ac+4=0， 由題意， a 的值是唯一的，即方程有兩相等的實數(shù)根， ∴△ =0，即 c2﹣ 16=0。 ∵ c＞ 0， ∴ c=4。 ∴ 由 a2﹣ 4a+4=0，得 a=2。 由 ①△ ABD∽△ DCB 和 a= b=2，得 △ ABD 和 △ DCB 都是等腰直角三角形， ∴∠ C=45176。 【考點】 翻折變換（折疊問題），直角梯形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直線平行的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式。 【分析】 （ 1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得 AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得DE＞ EG，從而判斷點 E 不可能是 AD 的中點。 （ 2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得 ∠ AEB=∠ EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以判定出∠ AEB=∠ BEG，然后得到 ∠ EBF=∠ BEF，從而判斷出 △ FEB 為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ ABG=∠ EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等求出 ∠ BAG=∠ FBE，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明。 （ 3） ① 根據(jù)勾股定理求出 BD 的長度，再利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似得到 △ ABD 和 △ DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解。 ② 把 b=2 代入 a、 b、 c 的關(guān)系式，根據(jù) a 是唯一的，可以判定 △ =c2﹣ 16=0，然后求出 c=4，再代入方程求出 a=2，然后由 ①△ ABD∽△ DCB 和 a= b=2，得 △ ABD 和 △ DCB 都是等腰直角三角形，得出 ∠ C=45176。 11. （ 2020湖南株洲 6分） 如圖，在矩形 ABCD中， AB=6， BC=8，沿直線 MN對折，使 A、 C 重合，直線 MN 交 AC 于 O． （ 1）求證： △ COM∽△ CBA； （ 2）求線段 OM 的長度． 【答案】 解：（ 1）證明： ∵ A與 C 關(guān)于直線 MN 對稱， ∴ AC⊥ MN。 ∴∠ COM=90176。 在矩形 ABCD 中， ∠ B=90176。， ∴∠ COM=∠ B。 又 ∵∠ ACB=∠ ACB， ∴△ COM∽△ CBA。 （ 2） ∵ 在 Rt△ CBA中， AB=6， BC=8， ∴ 由勾股定理得 AC=10。 ∴ OC=5。 ∵△ COM∽△ CBA， ∴ OC OMBC AB? ，即 5 OM86? 。 ∴ OM=154 。 【考點】 折疊問題，對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】 （ 1）根據(jù) A與 C 關(guān)于直線 MN 對稱得到 AC⊥ MN，進一步得到 ∠ COM=90176。，從而得到在矩形ABCD 中 ∠ COM=∠ B，最后證得 △ COM∽△ CBA； （ 2）利用（ 1）的相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到比例式后即可求得 OM 的長。 12. （ 2020 湖南益陽 10 分） 已知：如圖，拋物線 y=a（ x﹣ 1） 2+c 與 x軸交于點 A? ?1 3 0? ， 和點 B，將拋物線沿 x軸向上翻折，頂點 P 落在點 P39。（ 1， 3）處． （ 1）求原拋物線的解析式； （ 2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級 5 班的小明在解答此題時頓生靈感：過點 P39。作 x軸的平行線交拋物線于 C、 D 兩點，將翻折后得到的新圖象在直線 CD以上的部分去掉， 設(shè)計成一個 “W”型的班徽， “5”的拼音開頭字母為 W， “W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個 “W”圖案的高與寬（ CD）的比非常接近黃金分割比 512? （約等于 ）．請你計算這個 “W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)： 5 36 6 49?? ， ，結(jié)果可保留根號） 【答案】 解：（ 1） ∵ P 與 P′（ 1， 3）關(guān)于 x軸對稱， ∴ P 點坐標(biāo)為（ 1，﹣ 3）。 ∵ 拋物線 y=a（ x﹣ 1） 2+c 頂點是 P（ 1，﹣ 3）， ∴ 拋 物線解析式為 y=a（ x﹣ 1） 2﹣ 3。 ∵ 拋物線 y=a（ x﹣ 1） 2﹣ 3 過點 A? ?1 3 0? ， ， ∴ a（ 13? ﹣ 1） 2﹣ 3=0，解得 a=1。 ∴ 拋物線解析式為 y=（ x﹣ 1） 2﹣ 3，即 y=x2﹣ 2x﹣ 2。 （ 2） ∵ CD 平行 x軸， P′（ 1， 3）在 CD 上， ∴ C、 D 兩點縱坐標(biāo)為 3。 由（ x﹣ 1） 2﹣ 3=3，解得： 12x =1 6 x =1+ 6? ， 。 ∴ C、 D 兩點的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?1 6 3 1+ 6 3? ， ， 。 ∴ CD=26。 ∴ “W”圖案的高與寬（ CD）的比 = 36=426（或約等于 ）。 【考點】 二次函數(shù)的應(yīng)用，翻折對稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【分析】 （ 1）利用 P 與 P′（ 1， 3）關(guān)于 x軸對稱，得出 P 點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可。 （ 2）根據(jù)已知求出 C， D 兩點坐標(biāo)，