【正文】 面積比為 1： 4， ∴ DN： CM=1： 4。 故選 D。 C． 30176。 【分析】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB∥ CD。 ∴∠ AMF=180176。=40176。 【考點】 翻折變換（折疊問題）。 ∴ CD=12AB，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 BC=1，點 D 在 AC 上，將 △ ADB 沿直線 BD 翻折后，將點 A落在點 E 處，如果 AD⊥ ED，那么線段 DE 的長為 ▲ ． 【答案】 31? 。 BC=1， ∴0B C 1A C 3ta n A ta n 3 0? ? ??。 ∴∠ CDB=∠ EDB﹣ ∠ CDE=135176。 ∴∠ CBD=∠ CDB=45176。． ∠ BAC 的平分線與AB 的中垂線交于點 O，點 C 沿 EF 折疊后與點 O 重合，則 ∠ CEF 的度數(shù)是 ▲ ． 【答案】 50176。再利用翻折變換的性質(zhì)得出 EO＝ EC， ∠ CEF＝ ∠ FEO，進(jìn)而求出即可： 連接 BO， ∵ AB＝ AC， AO 是 ∠ BAC 的平分線， ∴ AO 是 BC 的中垂線。 ∵ 等腰 △ ABC 中， AB＝ AC， ∠ BAC＝ 50176。＝ 40176。2＝ 50176。 【分析】 連接 CC′， ∵ 將 △ ABE 沿 AE 折疊，使點 B 落在 AC 上的點 B′處，又將 △ CEF 沿 EF 折疊，使點 C 落在 EB′與 AD 的交點 C′處 , ∴ EC=EC′， ∴∠ EC′C=∠ ECC′， ∵∠ DC′C=∠ ECC′， ∴∠ EC′C=∠ DC′C. ∴ CC′是 ∠ EC39。 ∴ CB′=CD。= AB 1BC 3?。 【分析】 由折疊的對稱和正方形的性質(zhì)，知 △ ABE≌△ A′BE， ∴∠ BEA′=， △ A′DE是等腰直角三角形。 ∴ ED BD=AD CD? 。 5. （ 2020江蘇宿遷 3分） 如圖，將一張矩形紙片 ABCD沿 EF 折疊，使頂點 C， D 分別落在點 C’， D’處，C’E交 AF 于點 ∠ CEF=70176。 【分析】 根據(jù)折疊的性質(zhì)，得 ∠ DFE=∠ D’FE。 ∴ ∠ GFD’=∠ D’FE－ ∠ GFE=110176。186。 【分析】 ∵ D、 E 分別是邊 AB、 AC 的中點， ∴ DE∥ BC（三角形中位線定理）。 ∴∠ BDA1=180176。 【分析】 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB＝ CD， ∠ D＝ 90176。 8. （ 2020湖北 荊州 3分） 如圖，已知正方形 ABCD的對角線長為 2 ，將正方形 ABCD 沿直線 EF 折疊，則圖中陰影部分的周長為 ▲ 【答案】 8。 ∴ AB=BD?cos∠ ABD=BD?cos45176。 9. （ 2020湖南岳陽 3分） 如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。 AE=AB=3， ∵ 在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。 ∴ BD=32 。 ∵ 四邊形 BEDF 是菱形， ∴ OB=OD=12 BD。 11. （ 2020 貴州黔西南 3 分） 把一張矩形紙片（矩形 ABCD）按如圖方式折疊，使頂點 B 和點 D 重合，折痕為 EF，若 AB＝ 3cm， BC＝ 5cm，則重疊部分 △ DEF 的面積為 ▲ cm 2。 根據(jù)勾股定理，得 2 2 2ED A E A D? ? ? ?，即 ? ?222x 5 x 3? ? ? ，解得 17x 5? 。 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ▲ 個。 ∴①正確。 ∴ ② 正確。 ∵ A ′D=AD， ∴ ∠ DA A ′ ＝ ∠ D A ′ A。 ∴ DE 是△ ABC 的中位線。 ∵由③ BC= 2DE， ∴ADE ABC1SS4????！啖苷_。 【分析】 根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。 第三次操作時， ① 當(dāng) 20－ a＞ 2a－ 20 時，所得正方形的邊長為 2a－ 20， 此時， 20－ a－（ 2a－ 20） =40－ 3a， ∵ 此時 剩下的矩形為正方形， ∴ 由 40－ 3a=2a－ 20 得 a=12。 【考點】 翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理。 ∴ 2 2 2 2D F A D A F 8 1 5 1 7? ? ? ? ?。 設(shè) CE=x，則 EF=CE=x， BE=BC－ CE=8－ x， 在 Rt△ BEF 中， EF2=BF2＋ BE2，即 x2=22＋（ 8－ x） 2，解得： x=174 ，即 CE=174 ， ∴△ DEC 的面積為： 12 CD?CE=12 1717 289=48。 BP=t，得 OP=2t。 ∵∠ OPB′+∠ OPB+∠ QPC′+∠ QPC=180176。 又 ∵∠ OBP=∠ C=90176。 ∴ 21 11m t t 666? ? ?（ 0＜ t＜ 11）。 OB=6，在 Rt△ OBP 中，由 ∠ BOP=30176。 ∴∠ PC′E+∠ EPC′=90176。 ∴ PE PCAC CQ????。 將 21 11m t t 666? ? ?代入，并化簡，得 23t 22 t 36=0?? 。且 AB=4， BC=3，求 PC 的長度 . 【答案】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ D=∠ B， AD=BC， AD∥ BC。 （ 2）證明： ∵△ AND≌△ CBM， ∴ DN=BM。 四邊形 MFNE 不是菱形，理由如下： 由翻折的性質(zhì)，得 ∠ CEM=∠ B=900， ∴ 在 △ EMF 中， ∠ FEM＞ ∠ EFM。 設(shè) DN=x，則由 S△ ADC=S△ AND＋ S△ NAC得 3 x＋ 5 x=12，解得 x= 32 ，即 DN=BM=32 。 ∴ NP=MQ， PQ= NM= 10 。 ∴ PC=4－ 32 － 12 =2。 （ 3）設(shè) DN=x，則由 S△ ADC=S△ AND＋ S△ NAC可 得 DN=BM=32。 3. （ 2020 廣東省 9 分） 如圖，在矩形紙片 ABCD 中， AB=6， BC=8．把 △ BCD 沿對角線 BD 折疊，使點C 落在 C′處， BC′交 AD 于點 G； E、 F 分別是 C′D和 BD 上的 點，線段 EF 交 AD 于點 H，把 △ FDE沿 EF折疊，使點 D 落在 D′處，點 D′恰好與點 A重合． （ 1）求證： △ ABG≌△ C′DG； （ 2）求 tan∠ ABG 的值； （ 3）求 EF 的長． 【答案】 （ 1）證明： ∵△ BDC′由 △ BDC 翻折而成， ∴∠ C=∠ BAG=90176。 設(shè) AG=x，則 GB=8﹣ x， 在 Rt△ ABG 中， ∵ AB2+AG2=BG2，即 62+x2=（ 8﹣ x） 2，解得 x= 74 。 ∵ tan∠ ABG=tan∠ ADE= 724 。 ∴ EF=EH+HF= 7 25+3=66。 （ 2）由（ 1）可知 GD=GB，故 AG+GB=AD，設(shè) AG=x，則 GB=8x，在 Rt△ ABG 中利用勾股定理即可求出 AG 的長，從而得出 tan∠ ABG 的值。 ∴ CF=CE。理由如下： 由折疊的性質(zhì)，得： CE=AE。 【考點】 翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。 （ 2）（ 1）中的結(jié)論 PO∥ BC 成立。 又 ∵∠ A與 ∠ PCB 都為 PB 所對的圓周角， ∴∠ A=∠ PCB。 又 ∵ AD⊥ CD， ∴ OC∥ AD。 ∴∠ A=∠ APO=∠ AOP。 又 ∵ OC=OB， ∴△ BC 為等邊三角形。 又 ∵ OP=OC， ∴△ POC 也為等邊三角形。 ∴∠ PCD=30176。 （ 2）作出的折合矩形 EFGH： （ 3） 2a ； 2a 。 根據(jù) 勾股定理可得正方形 EFGH 的對角線長為 2a 。 ∴ A′B=BC－ A′C=5－ 4=1。 在 Rt△ A′EF中， 22 2 5 5 1 0E F A E A D 2 593? ? ? ? ? ? ?。 ∴ ∠ AEF=∠ AFE 。 【考點】 折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定。 ② 由折疊和矩形的性質(zhì)，可得 AE=A′E， AF=A′F。 8. （ 2020湖北恩施 8分） 如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片 ABCD，先折出 BC 的中點 E， 再折出線段 AE，然后通過折疊使 EB 落到線段 EA上，折出點 B的新位置 B′，因而 EB′=EB．類似地，在AB 上折出點 B″使 AB″=AB′．這是 B″就是 AB 的黃金分割點．請你證明這個結(jié)論． 【答案】 證明：設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2， E 為 BC 的中點， ∴ BE=1。 ∴ ? ?A B A B 5 1 2? ? ?： ：。 9. （ 2020 湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田 12 分） 如圖，拋物線 y=ax2+bx+2 交 x軸于 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點，交 y 軸于點 C，與過點 C 且平行于 x軸的直線交于另一點 D，點 P 是拋物線上一動點． （ 1）求拋物線解析式及點 D 坐標(biāo)； （ 2）點 E 在 x軸上，若以 A， E， D， P 為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點 P 的坐標(biāo)； （ 3）過點 P 作直線 CD 的垂線，垂足為 Q，若將 △ CPQ 沿 CP 翻折，點 Q 的對應(yīng)點為 Q′．是否存在點 P，使 Q′恰好落在 x軸上？若存在，求出此時點 P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【答案】 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+2 經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點， ∴ a b+2=016a+4b+2=0????，解得：1a=23b=2? ???????。 （ 2） A， E 兩點都在 x軸上， AE 有兩種可能： ① 當(dāng) AE 為一邊時， AE∥ PD， ∴ P1（ 0， 2）。 綜上所述： P1（ 0， 2）； P2（ 3+412 ，﹣ 2）； P3（ 3 412? ，﹣ 2）。 ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。 此時 a= 13 ，點 P 的坐標(biāo)為（ 9+3 1313 2? ， ）。 ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。39。 。 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令 y=2 可得出點 D 的坐標(biāo)。．點 E為底 AD 上一點，將 △ ABE 沿直線 BE 折疊，點 A落在梯形對角線 BD 上的 G 處， EG 的延長線交直線 BC 于點 F． （ 1）點 E 可以是 AD 的中點嗎？為什么？ （ 2）求證： △ ABG∽△ BFE； （ 3）設(shè) AD=a， AB=b， BC=c ① 當(dāng)四邊形 EFCD 為平行四邊形時，求 a， b， c 應(yīng)滿足的關(guān)系； ② 在 ① 的條件下，當(dāng) b=2 時， a 的值是唯一的，求 ∠ C 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）不可以。 ∴ 點 E 不可以是 AD 的中點。 ∵∠ ABG+∠ GBF=90176。﹣ ∠ ABG） 247。 ∴△ ABG∽△ BFE。 又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ ADB=∠ DBC。 ② 由 ① 和 b=2 得關(guān)于 a 的一元二次方程 a2﹣ ac+4=0， 由題意， a 的值是唯一的，即方程有兩相等的實數(shù)根， ∴△ =0，即 c2﹣ 16=0。 【考點】 翻折變換（折疊問題），直角梯形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直線平行的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式。 （ 3） ① 根據(jù)勾股定理求出 BD 的長度，再利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似得到 △ ABD 和 △ DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解。 在矩形 ABCD 中， ∠ B=90176。 ∴ OC=5。 【分析】 （ 1）根據(jù) A與 C 關(guān)于直線 MN 對稱得到 AC⊥ MN，進(jìn)一步得到 ∠ COM=90176。作 x軸的平行線交拋物線于 C、 D 兩點，將翻折后得到的新圖象在直線 CD以上的部分去掉， 設(shè)計成一個 “W”型的班徽， “5”的拼音開頭字母為 W， “W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個 “W”圖案的高與寬（ CD）的比非常接近黃金分割比 512? （約等于 ）．請你計算這個 “W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)： 5 36 6 49?? ， ，結(jié)果可保留根號） 【答案】 解：（ 1） ∵ P 與 P′（ 1， 3）關(guān)于 x軸對稱， ∴ P 點坐標(biāo)為（ 1，﹣ 3）。 （ 2） ∵ CD 平行 x軸， P′（ 1， 3）在 CD 上， ∴ C、 D 兩點縱坐標(biāo)為 3。 ∴ “W”圖案的高與寬（ CD）的比 = 36=426（或約等于