【正文】 （ 2） ∵ CD 平行 x軸， P′（ 1， 3）在 CD 上， ∴ C、 D 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為 3。 在矩形 ABCD 中， ∠ B=90176。 又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ ADB=∠ DBC。 ∴ 點(diǎn) E 不可以是 AD 的中點(diǎn)。39。 ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。 ∴ ? ?A B A B 5 1 2? ? ?： ：。 ∴ ∠ AEF=∠ AFE 。 （ 2）作出的折合矩形 EFGH： （ 3） 2a ； 2a 。 ∴∠ A=∠ APO=∠ AOP。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。 ∴ EF=EH+HF= 7 25+3=66。 （ 3）設(shè) DN=x，則由 S△ ADC=S△ AND＋ S△ NAC可 得 DN=BM=32。 四邊形 MFNE 不是菱形，理由如下： 由翻折的性質(zhì)，得 ∠ CEM=∠ B=900， ∴ 在 △ EMF 中， ∠ FEM＞ ∠ EFM。 ∴ PE PCAC CQ????。 又 ∵∠ OBP=∠ C=90176。 ∴ 2 2 2 2D F A D A F 8 1 5 1 7? ? ? ? ??！啖苷_。 ∴ ② 正確。 11. （ 2020 貴州黔西南 3 分） 把一張矩形紙片（矩形 ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn) B 和點(diǎn) D 重合，折痕為 EF，若 AB＝ 3cm， BC＝ 5cm，則重疊部分 △ DEF 的面積為 ▲ cm 2。 9. （ 2020湖南岳陽 3分） 如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。 ∴∠ BDA1=180176。 【分析】 根據(jù)折疊的性質(zhì)，得 ∠ DFE=∠ D’FE。= AB 1BC 3?。＝ 40176。 ∴∠ CBD=∠ CDB=45176。 ∴ CD=12AB，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 【分析】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB∥ CD。 由折疊的性質(zhì)可得： AM=CM， ∠ AMN=∠ CMN， ∴∠ ANM=∠ AMN。 ∴ Rt△ DB′G∽ Rt△ CFB′。 ∵ E 是 AD 的中點(diǎn)， CM=DE， ∴ AE=ED=BM=CM。 ∵ AB=6， ∴ S△ ABF=12 AB?BF=12 6BF=24。故選 D。 7. （ 2020湖北 黃石 3分） 如圖所示，矩形紙片 ABCD中， AB=6cm， BC=8 cm，現(xiàn)將其沿 EF對折，使得 點(diǎn) C 與點(diǎn) A重合，則 AF 長為 【 】 A. 25cm8 B. 25cm4 C. 25cm2 D. 8cm 【答案】 B。 故選 A。 【考點(diǎn)】 翻折變換 (折疊問題 )，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理。 ∵ D′F⊥ CD， ∴∠ D′FM=90176。﹣ 75176。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題），三角形內(nèi)角和定理。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得 ∠ A′D′F=∠ D=120176。故選 A。 【考點(diǎn)】 折疊的性質(zhì)，平角的定義，多邊形內(nèi)角和定理。 在 Rt△ BEF 中， ∠ B=900， EF＝ 5， BF＝ 3， ∴ 根據(jù)勾股定理，得 2 2 2 2B E E F B F 5 3 4? ? ? ? ?。 9. （ 2020 四川 內(nèi)江 3 分） 如圖，在矩形 ABCD 中， AB=10， BC=5 點(diǎn) E、 F 分別在 AB、 CD 上，將矩形ABCD 沿 EF 折疊，使點(diǎn) A、 D 分別落在矩形 ABCD外部的點(diǎn) A D1處，則陰影部分圖形的周長為【 】 【答案】 D。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理。 ∴ EG=BM。 ∵∠ DB′G=∠ DGB′=90176。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理 。 D． 20176。 【分析】 如圖 ② ， ∵△ CDE 由 △ ADE 翻折而成， ∴ AD=CD。－ 90176。 ∴∠ ABC＝ ∠ ACB＝ 65176。 又 ∵ AB′=AB， ∴ B′是對角線 AC 中點(diǎn)，即 AC=2AB。則 ∠ GFD’= ▲ 176。 ∴∠ ADE=∠ B=50176。=2 22 =22? 。 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ C=90176。 ② ∵根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)， A ′D=AD， A ′E=AE。 ∵根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)， △ ADE≌ △ A′ DE。 【分析】 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ A=∠ B=90176。 ∴∠ OPB+∠ QPC=90176。 ∵∠ PC′E+∠ QC′A=90176。 又由翻折的性質(zhì)，得 DN=FN， BM=EM， ∴ FN=EM。 【考點(diǎn)】 翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。 ∴ EH=HD724 =477=246 。 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ D=90176。 ∴∠ APO=∠ COP。 在 Rt△ PCD 中 ， PD=12PC， 又 ∵ PC=OP=12 AB， ∴ PD=14 AB， 即 AB=4PD。 （ 2） ① 3 x 5??。 ∴ 22A E A B B E 5? ? ?。 （ 3）存在滿足條件的點(diǎn) P，顯然點(diǎn) P 在直線 CD 下方。 ∴△ COQ′∽ △ Q′FP。理由如下： 根據(jù)題意得： AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。 （ 3） ①∵ 四邊形 EFCD 為平行四邊形， ∴ EF∥ DC。 ② 把 b=2 代入 a、 b、 c 的關(guān)系式，根據(jù) a 是唯一的，可以判定 △ =c2﹣ 16=0，然后求出 c=4，再代入方程求出 a=2，然后由 ①△ ABD∽△ DCB 和 a= b=2，得 △ ABD 和 △ DCB 都是等腰直角三角形，得出 ∠ C=45176。 ∵ 拋物線 y=a（ x﹣ 1） 2+c 頂點(diǎn)是 P（ 1，﹣ 3）， ∴ 拋 物線解析式為 y=a（ x﹣ 1） 2﹣ 3。 ∴ CD=26。 （ 2） ∵ 在 Rt△ CBA中， AB=6， BC=8， ∴ 由勾股定理得 AC=10。 ∵ AD=a， AB=b， BC=c， ∴ BD= 22a +b ∴ 2222a a +bca +b ?，即 a2+b2=ac。 ∴ FE=FB， ∴△ FEB 為等腰三角形。 ∴ OQ′=3， 22C Q = C Q = 3 + 2 = 1 339。39。 【分析】 設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2，根據(jù)勾股定理求出 AE 的長，再根據(jù) E 為 BC的中點(diǎn)和翻折不變性，求出 AB″的長，二者相比即可得到黃金比。 ∴ 四邊形 AEA′F是菱形。 （ 3）由如果 △ ABC 的邊 BC 上的折合矩形 EFGH是正方形，且 BC=2a，那么，正方形邊長為 a，BC 邊上的高 AD 為 EFGH 邊長的兩倍 2a。 又 ∵ OP∥ BC， ∴∠ OBC=∠ AOP=60176。（答案不唯一） 5. （ 2020 廣東珠海 9 分） 已知， AB 是 ⊙ O 的直徑，點(diǎn) P 在弧 AB 上（不含點(diǎn) A、 B），把 △ AOP 沿 OP對折，點(diǎn) A的對應(yīng)點(diǎn) C 恰好落在 ⊙ O 上． （ 1）當(dāng) P、 C 都在 AB 上方時（如圖 1），判斷 PO 與 BC 的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）； （ 2）當(dāng) P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方時（如圖 2），（ 1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) P、 C 都在 AB 上方時（如圖 3），過 C點(diǎn) 作 CD⊥ 直線 AP 于 D，且 CD是 ⊙ O的切線，證明： AB=4PD． 【答案】 解：（ 1） PO 與 BC 的位置關(guān)系是 PO∥ BC。 C′D=AB=CD， ∠ AGB=∠ DGC′，故可得出結(jié)論。從而求解。 （ 3）解： ∵ AB=4， BC=3， ∴ AC=5。 ∵ 6t11 t 6 m???，即 6 11 tt 6 m?? ? ， ∴ 66=t36 12m?，即 236 12m=t? 。 由題意設(shè) BP=t， AQ=m， BC=11， AC=6，則 PC=11－ t， CQ=6－ m． ∴ 6t11 t 6 m???。 ∴ BF=AB－ AF=17－ 15=2。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題） ，正方形和矩形的性質(zhì)，剪紙問題，分類歸納（圖形的變化類）。 ∵ DE∥ BC， ∴ A A ′ ⊥ BC。 【分析】 設(shè) ED=x，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，得 A′E=AE=5－ x， A′D=AB=3。 1052629 【分析】 如圖，點(diǎn) E 是沿 AD 折疊，點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn)，連接 ED， ∴∠ AED=∠ B=90176。 【考點(diǎn)】 翻折變換 (折疊問題 )，翻折對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。 ∠ DFE=1800－ ∠ CEF=110176。 【考點(diǎn)】 折疊問題，折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角定 義。 ∴∠ CEF＝ ∠ FEO＝（ 1800－ 2400） 247。 2. （ 2020 浙江麗水 、 金華 4 分） 如圖，在等腰 △ ABC 中， AB＝ AC， ∠ BAC＝ 50176。 ∠ A=30176。 ∴∠ FMN=∠ DMN=∠ A=70176。 ∵ AM=CM， ∴ 四邊形 AMCN 是菱形。 14. （ 2020 山東濰坊 3 分） 已知矩形 ABCD 中， AB=1，在 BC 上取一點(diǎn) E，沿 AE 將 ΔABE 向上折疊，使 B 點(diǎn)落在 AD 上的 F 點(diǎn)，若四邊形 EFDC 與矩形 ABCD 相似，則 AD=【 】． A． 512? B． 5+12 C . 3 D． 2 【答案】 B。 ∴ NM=12 CF=12 。 由折疊的性質(zhì)： AD=AF=10， ∴ BC=AD=10。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)， 相似三角形的判定和性質(zhì)， 【分析】 連接 CD，交 MN 于 E， ∵ 將 △ ABC 沿直線 MN 翻折后，頂點(diǎn) C 恰好落在 AB 邊上的點(diǎn) D 處， ∴ MN⊥ CD，且 CE=DE。故選 B。 【分析】 ∵ 正方形紙片 ABCD 的邊長為 3， ∴∠ C=90176。 ∴∠ FAB＝ 176。 ∵∠ BCM=180176。﹣ 2105176。 C． 105176。 AB∥ CD。 ∴ FM=CM+CF=2x+y， 在 Rt△ D′FM中， tan∠ M=tan30176。 C． 105186。 6. （ 2020 湖北武漢 3 分） 如圖，矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 在邊 AB 上，將矩形 ABCD 沿直線 DE 折疊，點(diǎn) A 恰好落在邊 BC 的點(diǎn) F 處 ． 若 AE＝ 5， BF＝ 3，則 CD 的長是【 】 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 【答案】 C。 ∴ AB=BC=CD=AD=2。 ∴ C A B C M NM A B NS S S 2 4 3 6 3 1 8 3??? ? ? ? ?四 形邊 。 AD=BC， ∵∠ EMB=90176。 【分析】 設(shè) BF=x，則由 BC=3 得： CF=3﹣ x，由折疊對稱的性質(zhì)得： B′F=x。 經(jīng)檢驗(yàn) 1 15x 2?? 是原方程的解。將平行四邊形折疊，使點(diǎn) D、 C分別落在點(diǎn) F、 E 處（點(diǎn) F、 E 都在 AB 所在的直線上），折痕為 MN，則 ∠ AMF 等于【 】 A． 70176。 17. （ 2020青海西寧 3分） 折紙是一種傳統(tǒng)的手工藝術(shù)，也是每一個人從小就經(jīng)歷的事，它是一種培養(yǎng)手 指靈活性、協(xié)調(diào)能力的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段．在折紙中，蘊(yùn)涵許多數(shù)學(xué)知識，我們還可以通過 折紙驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想．把一張直角三角 形紙片按照圖 ① ～ ④ 的過程折疊后展開，請選擇所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論 【 】 A．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 B．在直角三角形中，如果一個銳角等于 30186。 ∵ AD⊥ ED， ∴∠ CDE=∠ ADE=90176。 ∵∠ BAC＝ 50176。 ∵∠ CB′C′=∠ D=90176。 ∴∠ DA′C=∠ DEA′=＋ 450=。. 【答案】 80。 【分析】 如圖， ∵ 正方形 ABCD 的對角線長為 2 2 ，即 BD=2 2 ， ∠ A=90176。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，菱形和矩形的性質(zhì)，勾股定理。 【考點(diǎn)】 折疊問題，折疊對稱的性質(zhì)， 平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)?！啖壅_。 故答案為 12 或 15。 （ Ⅱ ） ∵△ OB′P、 △ QC′P 分別是由 △ OBP、 △ QCP 折疊得到的，