北京市朝陽區(qū)屆高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題含答案-資料下載頁
2025-01-14 18:28本頁面
【正文】 設(shè)，．所以．（1）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，所以． 依題意應(yīng)有解得所以．（2）若 ，即時(shí)，當(dāng)，為單調(diào)增函 數(shù)， 當(dāng)，為單調(diào)減函數(shù)． 由于，所以不合題意． （3）當(dāng)，即時(shí)，注意到，顯然不合題意． 綜上所述，． …………………………………………13分19．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）依題意可知， 所以橢圓離心率為． …………… 3分（Ⅱ）因?yàn)橹本€與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，所以．令，由得，則． 令，由得，則． 所以的面積． 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以． 所以．即，則． 所以． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積的最小值為． … 9分（Ⅲ）①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)直線時(shí)，易得，此時(shí)，． 因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線． 同理，當(dāng)直線時(shí)，三點(diǎn)共線．②當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱， 所以整理得解得 所以點(diǎn)． 又因?yàn)椋?且 ． 所以．所以點(diǎn)三點(diǎn)共線． 綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線． …………………………………14分20．（本小題滿分13分）證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，,則, 且對(duì)，都有，所以具有性質(zhì)．相應(yīng)的子集為，． ………… 3分（Ⅱ）①若,由已知,又,所以．所以． ②若,可設(shè)，,且， 此時(shí)． 所以，且．所以．③若, ,，則,所以．又因?yàn)?，所以．所以．所以．綜上，對(duì)于，都有． …………… 8分（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，命題成立，即集合具有性質(zhì)．（2）假設(shè)()時(shí)，命題成立．即，且，都有．那么 當(dāng)時(shí)，記,， 并構(gòu)造如下個(gè)集合：,， 顯然．又因?yàn)?，所以?下面證明中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一元素． ①若兩個(gè)元素,則,所以． ②若兩個(gè)元素都屬于,由（Ⅱ）可知，中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一數(shù)．從而，時(shí)命題成立．綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)．………………………13分
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