全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案江西-資料下載頁(yè)
2025-01-14 13:40本頁(yè)面
【正文】 ， P3，N作平面a3，因?yàn)锳2P2//NP3，A3P3//MP2，所以平面 a2//平面a3，再過(guò)點(diǎn)A1，A4分別作平面a1,a4與平面a2 平行，那么四個(gè)平面a1,a2,a3,a4依次相互平行，由線段7A1A4被平行平面a1,a2,a3,a4截得的線段相等知，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故a1,a2,a3,a4為所求平面。（2）解法一：當(dāng)（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個(gè)平行平面，每相鄰兩平面之間的距離為1，則正四面體A1A2A3A4就是滿足題意的正四面體，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，以△A2A3A4的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線A4O為y軸，直線OA1為z軸建立如圖的右手直角坐標(biāo)系， 則A1aa),A2(,0),A3(,0),A4(0,0) 22令P2，P3為A1A4的三等分點(diǎn)，N為A2A4的中點(diǎn)，有 a,a),N(,,0)99412uuuuruuuura3所以,P3N=(,),NA3=(a,0) 44uuuur1A4N=(a,0)44r設(shè)平面A3P3N的法向量n=(x,y,z),ruuuur236。239。nP3N=0236。239。9x+=0,即237。有237。ruuuur239。nNA3=0239。238。3x+=0238。r所以，n=(1, P3(0,因?yàn)閍1,a2,a3,a4相鄰平面之間的距離為1，所以點(diǎn)A4到平面A3P3N的距離 a|()180。1+(+0180。(|=1解得a=A1A2A3A4滿足條件。所以所求正四面體的體積 V=1123Sh=== 33 解法二：如圖，現(xiàn)將此正四面體A1A2A3A4置于一個(gè)正方體ABCD—A1B1C1D1中，（或者說(shuō)，在正四面體的四個(gè)面外側(cè)各鑲嵌一個(gè)直角三棱錐，得到一個(gè)正方體），E1，F(xiàn)1分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，EE1D1D和BB1F1F是兩個(gè)平行平面，若其距離為1，則四面體A1A2A3A4即為滿足條件的正四面體。右圖是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，若A1M=MN=1，則有A1E1= a,2= D1E1=81E1，得a===a3=133a=的正方體割去四個(gè)直角正三棱錐后的體積） 9 據(jù)A1D1A1E1=A1MD于是正四面體的棱長(zhǎng)d其體積V=a4180。316 （即等于一個(gè)棱長(zhǎng)
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