學(xué)案與測評數(shù)學(xué)蘇教版文科第4單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-資料下載頁
2025-01-13 21:03本頁面
【正文】 且對所有的 x≠ 都有 f′(x)＞ 0,故當 a=177。 時， f(x)在 R上是增函數(shù) . )3 3aa,3 3aa( 22 ?)3 3aa,( 2? ),33aa( 2 ???3 33 0, )3a(f ??3a3學(xué)后反思 分類討論是數(shù)學(xué)上一類重要思想 .對含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時，求導(dǎo)后仍含有參數(shù)，可轉(zhuǎn)化為解含參數(shù)的不等式問題 ,解含參數(shù)的不等式常通過討論來完成 .還要注意 ,在討論時各種情況要考慮全面，如本題易遺漏 Δ=0,即 a=177。 的情況 . 3舉一反三 3. （ 2022北京）已知 .求 f′(x),并確定 f(x)的單調(diào)區(qū)間 . 解析 ： 令 f′(x)=0,得 x=b1, 當 b1＜ 1,即 b＜ 2時， f′(x)的變化情況是 : 21)(xb2xf( x) ? 1)(x 22b2x1)(x 1)b)( x2(2 x1)2(x(x)f 342 ????x (∞,b1) b1 (b1,1) (1,+∞) f′(x) 0 + x (∞,1) (1,b1) b1 (b1,+∞) f′(x) + 0 ∴ 當 b＜ 2時， f(x)在（ ∞,b1）上遞減，在 (b1,1)上遞增，在 (1,+∞)上遞減 。 當 b＞ 2時， f(x)在 (∞,1)上遞減，在（ 1,b1）上遞增，在 (b1,+∞)上遞減 . 當 b=2時， ，所以 f(x)在 (∞,1)， (1,+∞)上遞減 . 當 b11,即 b2時， f′(x）的變化情況是 : 當 b1＞ 1,即 b＞ 2時， f′(x）的變化情況是 : 1x2f( x) ?題型四 導(dǎo)數(shù)與不等式的證明 【 例 4】 (14分 )已知定義在正實數(shù)集上的函 ,g(x)=3a2ln x+b,其中 a＞ y=f(x),y=g(x)有公共點，且在該點處的切線相同 . (1)用 a表示 b,并求 b的最大值 。 (2)求證： f(x)≥g(x)(x＞ 0). 分析 (1)利用好兩個函數(shù)滿足的兩個條件，找出 a與 b的關(guān)系 . (2)可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù) F(x)=f(x)g(x),只要證明 F(x)≥0（ x＞ 0）即可 . 2a x x21f(x) 2 ??解 (1)設(shè) y=f(x)與 y=g(x)(x＞ 0)在公共點 (x0,y0)處的切線相同 ………1′ f′(x)=x+2a, ,由題意知 f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0), 即 x3a(x )g 2??由 x0+2a= ,得 x0=a或 x0=3a(舍去 ). 即有 b= a2+2a23a2ln a= a23a2ln a……………………………….4′ 令 h(t)= t23t2ln t(t＞ 0),則 h′(t)=2t(13ln t). 故當 t(13ln t)＞ 0,即 0＜ t＜ 時， h′(t)＞ 0。 ………………………….5′ 當 t(13ln t)＜ 0,即 t＞ 時， h′(t)0…………………………………...6′ ????????????02002020x3a2axb,l n x3a2 a xx2102x3a21 25 25 e31 e31故 h(t)在 (0, )上為增函數(shù)，在 ( ,+∞)上為減函數(shù)， …………….7′ 于是 h(t)在 (0,+∞)上的最大值為 h( )= ，即 b的最大值為 e31 e31 e31 23e 23 23e 23(2)證明 ：設(shè) F（ x） =f(x)g(x)= x2+2ax3a2ln xb(x＞ 0),………..9′ 則 故 F(x)在（ 0,a）上為減函數(shù)，在 (a,+∞)上為增函數(shù) ……………...11′ 于是 F(x)在 (0,+∞)上的最小值是 F(a)=F(x0)=f(x0)g(x0)=0………..13′ 故當 x＞ 0時，有 f(x)g(x)≥0, 即當 x＞ 0時， f(x)≥g(x)……………………………………………...14′ 學(xué)后反思 采用求導(dǎo)的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，也是證明不等式的常用技巧 .若證明 f(x)＞ g(x),x∈ (a,b)，可以等價轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)＞ [f(x)g(x) ]′＞ 0，說明函數(shù) f(x)g(x)在 (a,b)上是增函數(shù)，如果 f(a)g(a)≥0,由增函數(shù)的定義可知，當 x∈ (a,b)時， f(x)g(x)＞ 0，即 f(x)＞ g(x). 210).(x 3a )a )(x(xx3a2ax(x)F 2 ?????? x舉一反三 4. 已知函數(shù) ,求證 :當 x≥1時，對任意的正整數(shù) n,總有f(x)≤x. 證明 : ∵ x≥1, ∴ 對任意正整數(shù) n，恒有 ≤1, 故只需證明 1+ln x≤x. 令 h(x)=1+ln xx,x∈ [1,+∞),則 h′(x)= 1. 當 x≥1時， h′(x)≤0,故 h(x)在 [1,+∞)上遞減， 即 h（ x） ≤h(1)=1+ln 11=0, ∴ 1+ln xx≤0,即 1+ln x≤x,∴ f(x)≤x. ln xx1f (x ) n ??nx1x 1考點演練 1 . 從邊長為 2a的正方形鐵皮的四個角上各截去一個邊長為 x的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子 .試求： (1)把鐵盒的容積 V表示成 x的函數(shù) 。 (2)容積 V取最大值時 x的值 . 解析 ： (1)根據(jù)題意，底面邊長為 2a2x,高為 x, 則 V=（ 2a2x） 2x=4x(ax)2(0＜ x＜ a). (2)由 V=4x38ax2+4a2x,得 V′=12x216ax+4a2, 由 V′=0,得 或 x=a（舍去） . 則函數(shù) V在 （ 0, ）上為增函數(shù)，在（ ,a）上為減函數(shù) . 所以當 x= 時，得到 V的最大值 . 3ax?3a3a3a2. (2022濰坊模擬 )已知 a為實數(shù)， f(x)=(x24)(xa). (1)求導(dǎo)數(shù) f′(x)。 (2)若 f′(1)=0,求 f(x)在 [2,2 ]上的最大值和最小值 . 解析 ： (1)由原式得 f(x)=x3ax24x+4a, ∴ f′(x)=3x22ax4. (2)由 f′(1)=0得 a= ,此時有 f(x)=(x24)x12,f′(x)= f′(x)=0得 或 x=1, 又 ,f(2)=0,f(2)=0. 所以 f(x)在 [2,2 ]上的最大值為 ,最小值為 21 34x ? 29f(1),2750)34f( ?? 29 275012. 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為 2r，短半軸長為 r.計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底 AB是半橢圓的短軸，上底 CD的端點在橢圓上，記 CD=2x,梯形面積為 S. （ 1）求面積 S以 x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域； （ 2）求面積 S的最大值 . 解析： (1)依題意，以 AB的中點 O為原點建立直角坐標系（如圖），則點 C的橫坐標為 x,設(shè)點 C的縱坐標為 y, 滿足方程 解 得其定義域為 {x|0＜ x＜ r}. 0),1(r4ryrx 2222 ???222222xr r)2 ( xxr22 r )( 2 x 21Sr).x(0xr2y?????????(2)記 f(x)=4(x+r)2(r2x2),0＜ x＜ r, 則 f′(x)=8(x+r)2(r2x).令 f′(x)=0,得 因為當 0＜ x＜ r2時， f′(x)＞ 0。 當 r2＜ x＜ r時， f′(x)＜ 0,所以 是 f(x)的最大值 .因此，當 x= 時， S也取得最大值，最大值為 ,即梯形面積 S的最大值為 r 21x ?)2rf(2r 2r233 )2rf( ?2r233
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