第7章矩陣的特征值和特征向量-資料下載頁(yè)
2025-10-08 13:06本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】AP稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式。是高次的多項(xiàng)式，它的求根是很困難的。通常對(duì)某個(gè)特征值，可。以用些針對(duì)性的方法來(lái)求其近似值。角陣，從而求得所有特征值的近似。矩陣的按模最大特征值往往表現(xiàn)為閾值。在實(shí)踐中，常遇到的實(shí)對(duì)稱矩陣和特征值互不相。同的矩陣就具有這種性質(zhì)。設(shè)A的特征值和特征向量如下：。，基本思想很簡(jiǎn)單。則k足夠大時(shí)，有。kkxx幾乎僅差一個(gè)常數(shù)1?特征向量乘以任意數(shù)，
【正文】 于是有 例 用 Jacobi 方法計(jì)算對(duì)稱矩陣的全部特征值 . ???????????612152224A )0(12)0(22)0(11 ????aaa? 7 8 0 7 7 )1|/ ( |)s g n (, 2 ????? ???t)1(c o s 212 ??? ?t? 6 1 5 4 1 o ss i n, ??? ?? t從而有 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 所以 再取 p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=,類似地可得 ?????????????????????? ???1001000c o ss i n0s i nc o s)(1 ?????pqRR( 1 ) ( 0 )112 . 4 3 8 4 4 8 0 0 . 9 6 10 6 . 5 6 1 5 5 2 2 . 0 2 0 1 9 00 . 9 6 1 2 . 0 2 0 1 9 0 6T????????A R A R???????????2 4 1 1 6 2 4 7 9 03 2 0 3 8 3 1 0 2 7 2 4 7 9 3 1 0 2 3 8 4 4 )2(A數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ???????????4 9 6 4 2 0 9 6 1 2 0 9 6 1 2 0 3 8 9 5 1 9 05 9 5 1 9 8 3 1 8 )3(A?????????????4 9 6 4 2 0 8 6 5 2 0 0 4 2 0 8 6 5 7 7 5 7 0 2 0 0 4 2 5 9 9 )4(A???????????????4 8 5 2 3 2 0 0 1 03 8 8 7 6 0 1 0 7 0 2 0 0 1 0 1 0 7 2 5 9 9 )5(A數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ?????????????)6(A???????????4 8 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 7 6 001 2 5 8 2 )7(A從而 A的特征值可取為 ?1?, ?2?, ?3? 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 為了減少搜索非對(duì)角線絕對(duì)值最大元素時(shí)間 , 對(duì)經(jīng)典的 Jacobi方法可作進(jìn)一步改進(jìn) . Jacobi方法 : 按 (1,2),(1,3),…,(1,n), (2,3),(2,4),…, (2,n) ,…,(n 1,n)的順序 , 對(duì)每個(gè) (p,q)的非零元素 apq作 Jacobi變換 ,使其零化 ,逐次重復(fù)掃描下去 ,直至 ?(A)?為止 . Jacobi方法 : 取單調(diào)下降收斂于零的正數(shù)序列 ??k?,先以 ?1為關(guān)卡值 ,依照 1中順序 ,將絕對(duì)值超過(guò) ?1的非對(duì)角元素零化 ,待所有非對(duì)角元素絕對(duì)值均不超過(guò) ?1時(shí) ,再換下一個(gè)關(guān)卡值 ?2 ,直到關(guān)卡值小于給定的精度 ? . 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Householder 變換 1, 2 ?? ?? nRTIH ??2??若 ，稱如下 H為 Householder矩陣 22 yx ?特性 H是正交陣， det(H)=1 若 ，則取 的 H滿足 2yxyx????yHx
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