【導(dǎo)讀】每組的殘差項(xiàng)的變異數(shù)均相等。linearity:假設(shè)依變項(xiàng)Yi與自變項(xiàng)之間的關(guān)係為線。殘差值與xi不相關(guān)0),(?iixe證明Cov0][等於證明?每一個(gè)觀察值之間彼此沒有關(guān)連。由於我們是從樣本中來估計(jì)迴歸線，用。我們想進(jìn)一步知道從樣本中估計(jì)的截距b0及斜。雖然每一次從樣本中估計(jì)出來的迴歸線都。不同，但我們?nèi)绻覀冎拦烙?jì)式的抽樣分配，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的推估。因此我們第一步需要知道為截距b0

　　

【正文】 y報(bào)導(dǎo)一研究發(fā)現(xiàn)懷孕時(shí)吸煙的母親，其兒女在三歲時(shí)的 IQ比不吸煙的母親平均少 5分，你想驗(yàn)證上述的假設(shè)，記錄母親懷孕時(shí)每日的吸煙根數(shù) (xi) 及兒女在三歲時(shí)的 IQ(yi) ，你心中假設(shè)的模型為： iii xβxYE 10)|( ???? 抽取父母親 IQ相當(dāng)?shù)?20個(gè)樣本家庭，計(jì)算樣本迴歸模型如下： ( . 1 5 ) ( 1 . 2 ) 17. R 0 4?e2???? ii xy請(qǐng)分析這個(gè)結(jié)果 Page 77 例題 ( . 1 5 ) ( 1 . 2 ) 17. R 0 4?e2???? ii xy斜率為 ？ 代表樣本中，母親每吸一根菸， baby的智商減少 截距為 104如何解釋？ 代表不吸煙母親的子女的智商預(yù)測(cè)值為 104 Page 78 例題 ( . 1 5 ) ( 1 . 2 ) 17. R 0 4?e2???? ii xy可不可以將樣本所得的結(jié)果推論至母體 (概化 )？ 必須檢定母親的吸煙對(duì)兒女智商無影響的假設(shè)，即 0: 10 ??H 0:H 1 ???15.60.11 ?????bSbt ,05. ??? t0: R e j e c t e d 10 ??HPage 79 例題 ( . 1 5 ) ( 1 . 2 ) 17. R 0 4?e2???? ii xyThe 95% confidence interval: ? ? ??? 11 ,21,21 , bvbv stbstb ??? ? ? ?? ? 0 . , 0 . ????)2849. ,9152.( ???表示在 95%的信心水準(zhǔn)下，我們可以說真正的 ?1值介於此區(qū)間中。 Page 80 例題 ( . 1 5 ) ( 1 . 2 ) 17. R 0 4?e2???? ii xy? R2= 說明母親的吸煙數(shù)量解釋了 17%的兒女 IQ變異量。 ? 或者說，尚有 83%的 IQ變異無法由抽煙與否來解釋。 Page 81 Prediction using the regression model ? 迴歸線可以用來估計(jì)在某一特定 x值之下， Y的預(yù)測(cè)值： ? 我們可以用迴歸線來估計(jì)在 xi下的” 新”觀察值Y iii xY ??? ??? ??? 我們也可以用迴歸線來估計(jì)在 xi下的 Y的期望值 iii xxYE ?? ?? ??)|(Page 82 Prediction using the regression model ? 由於我們不知道母體迴歸線，因此 Yi及E(Y|xi)最好的預(yù)測(cè)值為 ? 雖然特定 Yi的預(yù)測(cè)值 與 預(yù)測(cè)的期望值 E(Yi|xi)相同，皆為 b0+b1xi。 但兩者的抽樣誤差不同，因?yàn)楣烙?jì)Yi的期望值 不需要考慮隨機(jī)誤差項(xiàng) ei。 ii xbby 1? ?? ?Page 83 Prediction using the regression model ? Effects of Sampling Error: ? 預(yù)測(cè) Yi的期望值 E(Yi|xi)會(huì)有來自於用樣本迴歸線來估計(jì)母體迴歸線所造成的抽樣誤差 。 ii xbby 1? ?? ?)|(? ii xYEy 不會(huì)剛好等於?iii xxYE ?? ?? ??)|(估計(jì) Page 84 Prediction using the regression model ? Effects of Sampling Error: ? 預(yù)測(cè)單獨(dú) Yi的值 會(huì)有來自於用樣本迴歸線來估計(jì)母體迴歸線所造成的抽樣誤差 + 用 0來推估 εi 的誤差 。 0? 1 ??? ? ii xbbyiYy 不會(huì)剛好等於??估計(jì) iii xY ??? ??? ??Y X F(Y) XBBXYE 10)|( ??1x 2xnx0Confidence Interval for Predictions 我們希望知道 樣本迴歸線的預(yù)測(cè)值 (yhat)的抽樣分配 ，才能對(duì) E(Y|xi)從事統(tǒng)計(jì)推論 ii xbby 10? ??區(qū)分母體與樣本迴歸線 1000800600400200甌賈禣1009080706050403020樣本迴歸線ixbby 10? ??母體迴歸線iii xxyE 10)|( ?? ??]|[ iiii xYEy ???iii yye ???ixbby 10? ??ii xyE 10)( ?? ??iy特定)|( ii xYEy?Page 87 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? Ｘ =某特定值 xp時(shí)， Yp的期望值 ? pp xbby 10? ?? )()|( 10 ppp xbbExyE ??)()( 10 bExbE p??pxBB 10 ??Page 88 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? Ｘ =某特定值 xp時(shí)， Yp的變異數(shù) =? pp xbby 10? ?? pxbxby 11 ??? )(1 xxby p ???)()?( 10 pp xbbV aryV ar ?? )]([ 1 xxbyV a r p ???)()(][ 12 bV arxxn yV ar pi ??? ?? ???? 2222)()(xxxxn iepe ??])()(1[ 222? ????xxxxn ipe?Page 89 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ]))()(1[ 222? ???xxxxn ipe?,( 10 pxBB ?? 因此 E(Yp|xp)的抽樣分配為 NxYE pp ~)|(? 以 se來取代 σe ]))()(1[ 222? ???xxxxnsipe,( 10 pxBB ?NxYEpp ~)|(Page 90 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? 在一特定 xp值下，其相對(duì)應(yīng)的期望值 E(Yp|xp)的 (1α)的信賴區(qū)間為 222,2)(1?xnxxxnstY pevp??????Page 91 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? 在一特定 xp值下，其相對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值 Yp的 (1α)的信賴區(qū)間為 222,2)(11?xnxxxnstY pevp???????寬)|(的信賴區(qū)間較 ppp xYEYPage 92 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? 其他條件不變，樣本數(shù) n愈大，預(yù)測(cè)值的信賴區(qū)間愈小，我們對(duì)預(yù)測(cè)的信心隨著樣本數(shù)的增加而增加。 222,2)(1?xnxxxnstY pevp??????Page 93 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? 其他條件不變， se愈大，預(yù)測(cè)值的信賴區(qū)間愈大。 Se為 σe的估計(jì)，代表依變項(xiàng)觀察值 Yi與及其期望值之間的差異， se愈大，表示 Yi愈不集中於母體迴歸線的週遭。 222,2)(1?xnxxxnstY pevp??????Page 94 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? 其他條件不變， sx2 愈大，我們對(duì) x值的分佈知道的愈廣，因而對(duì) Y的預(yù)測(cè)會(huì)愈準(zhǔn)。 222,2)(1?xnxxxnstY pevp??????? ? ????? 222 )1()( xi snxxxnx iPage 95 E(Y|xi)之估計(jì)與檢定 ? 特定的 xp值離 x分佈的中心值愈遠(yuǎn)，則我們的預(yù)測(cè)越不準(zhǔn)。 ? CI最窄的部分出現(xiàn)在 222,2)(1?xnxxxnstY pevp??????? ? ????? 222 )1()( xi snxxxnx ixx p ?Page 96 例題 ? 汽車保養(yǎng)費(fèi) Yi與車齡 xi呈線性關(guān)係，取 15輛車來估計(jì)迴歸線得 ii xy 2550? ??50)(,50,30 2 ???? ? xnxxs e假設(shè)? 求當(dāng) xp =1,2,3,4…9 時(shí)， Yi期望值得 95%信賴區(qū)間 Page 97 例題 ii xy 2550? ??50)(,50,30 2 ???? ? xnxxs e假設(shè) 13)2(, 13,025. ????? tnv?xp y h a t L ow e r U ppe r1 75 ( , )2 100 ( , )3 125 ( , )4 150 ( , )5 175 ( , )6 200 ( , )7 225 ( , )8 250 ( , )9 275 ( , )Page 98 例題 0501001502002503003500 2 4 6 8 10? 特定的 xp值離 x分佈的中心值愈遠(yuǎn)，則我們的預(yù)測(cè)越不準(zhǔn)。 ? CI最窄的部分出現(xiàn)在 xbar