簡(jiǎn)單回歸模型的基本假設(shè)-在線瀏覽
2024-12-20 11:44本頁(yè)面
【正文】 母體中 ，對(duì)於每一個(gè) xi值而言，其相對(duì)應(yīng)的 yi值遵循某種機(jī)率分配，且期望值為 Y X F(Y) XBBXYE 10)|( ??1x 2xnx0Sample regression line 從樣本中可以推估出β0,β1的估計(jì)值，也可以建構(gòu)出 樣本迴歸線 由於母體參數(shù) β0,β1為未知數(shù)，因此母體迴歸線必須透過(guò)觀察到的樣本 (xi, yi)來(lái)推估 ii xbby 10? ??由於觀察到樣本點(diǎn) (xi, yi)不會(huì)剛好落在母體迴歸線上，因此 yi與 E(yi|xi)會(huì)有所差距。 觀念 iii xBBy ε10 ???iii exbby ??? 10母體迴歸線 樣本迴歸線 Page 15 截距與斜率的抽樣分配 ? 我們想進(jìn)一步知道從 樣本 中估計(jì)的 截距 b0及 斜率 b1 是不是能夠正確的反映出母體的參數(shù) B0及B1。 ? 因此我們第一步需要知道為 截距 b0及 斜率 b1 的抽樣分配為何？也就是說(shuō)他們的期望值及標(biāo)準(zhǔn)差為何？ 觀念 Page 16 迴歸的統(tǒng)計(jì)檢定 ? 統(tǒng)計(jì)檢定包含兩部分 : ? (1)對(duì)截距與斜率的檢定 ? (2)迴歸方程式的配適度 區(qū)分母體與樣本迴歸線 1000800600400200甌賈禣1009080706050403020樣本迴歸線ixbby 10? ??母體迴歸線iii xxyE 10)|( ?? ??迴歸預(yù)測(cè)值的差距實(shí)際值與母體?i?本迴歸線的差距實(shí)際值與樣?ieixbby 10? ??ii xyE 10)( ?? ??iyPage 18 區(qū)分母體與樣本迴歸線 ? 因此每一個(gè)實(shí)際的觀察值可以表為母體迴歸線的函數(shù)或是樣本迴歸線的函數(shù) )|( iiii xyEy ???iii yye ???iii xxyE 10)|( ?? ?? ixbby 10? ??iii xy ??? ??? 10 ii exbb ??? 10? 我們經(jīng)常用可觀察的 殘差值 ei (residual)來(lái)推估未知的 εi Page 19 截距與斜率的抽樣分配 ? 其中截距 β0及斜率 β1 為參數(shù)， xi為已知常數(shù) ，且 觀念 iii xy ??? ??? 10)σ ,0(~ 2Ni?? 由於 yi為常態(tài)分配的線性組合 (εi為常態(tài)分配 )，故 yi亦為一常態(tài)分配 Page 20 斜率 b1的抽樣分配 ? b1分配的型態(tài)為何？ E(b1) =? Var(b1)=? 觀念 ?????? 21)())((xxyyxxbiii?? ?????? 2)()()(xxyxxyxxiiii?? ?????? 2)()()(xxxxyyxxiiii=0 ? ??? iii yxxxx )()(2由於 xi為已知常數(shù)，因此b1的分配為常態(tài)分配 yi的線性組合， 故 b1為常態(tài)分配 Page 21 斜率 b1的抽樣分配 ? E(b1) =? 觀念 ? ??? iii yxxxxb21 )()( iii xy ??? ??? 10?? ? ???? 210 )( ))(( xx xxxiiii ???22120)()()()()()(???????????????xxxxxxxxxxxxxiiiiiiii ???Page 22 斜率 b1的抽樣分配 觀念 221201 )()()()()()(???????????????xxxxxxxxxxxxxbiiiiiiii ???樣本觀察值與平均數(shù)之差的總合為零 ? ?????????xxxxxxxxxxSiiiiixx)()())((? ? ???? )()( xxxxxx iii ? ?? ii xxx )(211 )()(???????xxxxbiii ??Page 23 斜率 b1的抽樣分配 觀念 ])()([)( 211 ??????xxxxEbEiii ??為已知常數(shù)及因?yàn)?xx i? ???? )()( )()( 211 iii ExxxxbE ??等於零 11 )( ??bE∴ b1為 β1的 不偏估計(jì)式 unbiased estimator Page 24 斜率 b1的抽樣分配 觀念 ])()([)( 21 ?????xxyxxVa rbVa riii為已知常數(shù)及因?yàn)?xx i)v a r (])([)()( 2221 iii yxxxxbVa r ?????)v a r ()v a r ( 2 yccy ?利用21 )(]v a r [)v a r ( ????? ????? iiioi V a rxy?常數(shù) )σ ,0(~ 2Ni??xxxxixxiSSSSSSybVa r 21)v a r ()v a r ()( ?? ???Page 25 斜率 b1的抽樣分配 觀念 2112111 )()]([)( ????? bEbEbEbV a r 11 )( ??bE?211 )()(??????xxxxbiii ??? 22211 ])()([)( ??????xxxxEbEiii ??222 ))(())((1 ?? ??? iii xxExx ?]))((2)()()[())((12121222222212122???????????????????xxxxxxxxxxExx nniPage 26 斜率 b1的抽樣分配 觀念 ]))((2)()()[())((12121222222212122???????????????????xxxxxxxxxxExx nni]00)()()[())(( 1 2222222122 ????????? ? ?? ??? xxxxxxxx ni222 )(]))([()v a r ( ????? ???? iiii EEE? jiji ?? ,0)( ???2222))(()( ??????xxxxii22)(? ?? xx i?xxSSbV ar21 )(???Page 27 斜率 b1的抽樣分配 觀念 從以上的討論得知： ),(~211xxSSNb??))(,(~22200 ??? xxnxNbii??b0的抽樣分配證明略 )1,0(~)( 2211 NxxbZi? ?????未知數(shù) Page 28 Estimation of σe2 ? 令 真正的變異數(shù) (true variance)可分別表為 σ2b0及 σ2b1。同理，我們以 σb0及 σb1來(lái)表示 b0及 b1的真正標(biāo)準(zhǔn)誤差，以 Sb0及 Sb1來(lái)表示 估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差 (estimated standard error) 。因此我們必須以估計(jì)的殘差值來(lái)取代 )(?? 10 iiiii xbbyyye ?????22]?[ ???neE i但 22]2?[ ???? ?neE iPage 31 Estimation of σe2 在迴歸式中， SSE的自由度為 樣本個(gè)數(shù)減去 估計(jì)係數(shù) 的數(shù)目 )]1([2??? KnS S ESeSe為 迴歸線的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差 (estimated standard error of the regression) ，代表每一個(gè)相對(duì)應(yīng)於 x值的 Y，分佈於迴歸線上的變異狀況。 同理，我們可以找出截距的信賴(lài)區(qū)間： ? ?00 ,20,20 , bvbv stbstb ?? ??Page 53 例題 ? 求下列迴歸線斜率的 90%信賴(lài)區(qū)間， (n=10): ( . 0 5 4 ) ( 1 8 . 8 2 ) 9733. R 2 ???? ixy? ? ??? 11 ,21,21 , bvbv stbstb ??? ? ? ?? ?)02 3 ,82 2 ( 3 , 3 ???86 ,8)2(, 8,05. ????? tnv?Page 54 迴歸方程式的解釋力 ? 當(dāng)我們計(jì)算出迴歸線後，我們想進(jìn)一步知道迴歸曲線與資料間的適合度 (goodness of fit)。 ? Y值會(huì)隨著 ei值而變：這一部份為迴歸線無(wú)法解釋的變異。 Page 60 ? ? yynii SSyySST ??? ?? 12? ?????
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1