【正文】 求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵． 26．如圖，在平行四邊形 ABCD中，對角線 AC、 BD交于點(diǎn) O． M為 AD中點(diǎn)，連接 CM 交 BD于點(diǎn) N，且 ON=1． （ 1）求 BD的 長； （ 2）若 △ DCN的面積為 2，求四邊形 ABNM的面積． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 第 30頁（共 36頁） 【專題】幾何綜合題． 【分析】（ 1）由四邊形 ABCD 為平行四邊形，得到對邊平行且相等，且對角線互相平分，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對角相等，進(jìn)而確定出三角形 MND與三角形 CNB相似，由相似得比例，得到 DN： BN=1： 2，設(shè) OB=OD=x，表示出 BN與 DN，求出 x的值，即可確定出 BD的長； （ 2）由相似三角形相似比為 1： 2，得到 CN=2MN， BN=2DN．已知 △ DCN的面積，則由線段之比，得到 △ MND與 △ CNB的面積，從而得到 S△ ABD=S△ BCD=S△ BCN+S△ CND，最后由 S 四邊形 ABNM=S△ ABD﹣ S△ MND求解． 【解答】解：（ 1） ∵ 平行四邊形 ABCD， ∴ AD∥ BC， AD=BC， OB=OD， ∴∠ DMN=∠ BCN， ∠ MDN=∠ NBC， ∴△ MND∽△ CNB， ∴ = ， ∵ M為 AD中點(diǎn)， ∴ MD= AD= BC，即 = ， ∴ = ，即 BN=2DN， 設(shè) OB=OD=x，則有 BD=2x， BN=OB+ON=x+1， DN=x﹣ 1， ∴ x+1=2（ x﹣ 1）， 解得： x=3， ∴ BD=2x=6； （ 2） ∵△ MND∽△ CNB，且相似比為 1： 2， ∴ MN： CN=DN： BN=1： 2， ∴ S△ MND= S△ CND=1， S△ BNC=2S△ CND=4． ∴ S△ ABD=S△ BCD=S△ BCN+S△ CND=4+2=6 ∴ S 四邊形 ABNM=S△ ABD﹣ S△ MND=6﹣ 1=5． 【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 27．如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ ACB=90176。 ， AC=6， BC=8，點(diǎn) D為邊 CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) D不與點(diǎn) B重合），過 D作 DO⊥ AB，垂足為 O，點(diǎn) B′ 在邊 AB上，且與點(diǎn) B關(guān)于直線 DO對稱，連接 DB′ ， AD． 第 31頁（共 36頁） （ 1）求證： △ DOB∽△ ACB； （ 2）若 AD平分 ∠ CAB，求線段 BD 的長； （ 3）當(dāng) △ AB′D 為等腰三角形時(shí)，求線段 BD的長． 【考點(diǎn)】相似形綜合題． 【分析】（ 1）由 ∠ DOB=∠ ACB=90176。 ， ∠ B=∠ B，容易證明 △ DOB∽△ ACB； （ 2）先由勾股定理求出 AB，由角平分線的性質(zhì)得出 DC=DO，再由 HL證明 Rt△ ACD≌ Rt△ AOD，得出AC=AO，設(shè) BD=x，則 DC=DO=8﹣ x，由勾股定理得出方程，解方程即可； （ 3）根據(jù)題意得出 當(dāng) △ AB′D 為等腰三角形時(shí)， AB′=DB′ ，由 △ DOB∽△ ACB，得出 = ，設(shè) BD=5x，則 AB′=DB′=5x ， BO=B′O=4x ，由 AB′ +B′O +BO=AB，得出方程，解方程求出 x，即可得出 BD． 【解答】（ 1）證明： ∵ DO⊥ AB， ∴∠ DOB=∠ DOA=90176。 ， ∴∠ DOB=∠ ACB=90176。 ， 又 ∵∠ B=∠ B， ∴△ DOB∽△ ACB； （ 2）解： ∵∠ ACB=90176。 ， ∴ AB= = =10， ∵ AD平分 ∠ CAB， DC⊥ AC， DO⊥ AB， ∴ DC=DO， 在 Rt△ ACD和 Rt△ AOD中， ， ∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AOD（ HL）， ∴ AC=AO=6， 設(shè) BD=x，則 DC=DO=8﹣ x， OB=AB﹣ AO=4， 第 32頁（共 36頁） 在 Rt△ BOD中，根據(jù)勾股定理得： DO2+OB2=BD2， 即（ 8﹣ x） 2+42=x2， 解得： x=5， ∴ BD的長為 5； （ 3）解： ∵ 點(diǎn) B′ 與點(diǎn) B關(guān)于直線 DO 對稱， ∴∠ B=∠ OB′D ， BO=B′O ， BD=B′D ， ∵∠ B為銳角， ∴∠ OB′D 也為銳角， ∴∠ AB′D 為鈍角， ∴ 當(dāng) △ AB′D 為等腰三角形時(shí)， AB′=DB′ ， ∵△ DOB∽△ ACB， ∴ = = ， 設(shè) BD=5x， 則 AB′=DB′ =5x， BO=B′O=4x ， ∵ AB′ +B′O +BO=AB， ∴ 5x+4x+4x=10， 解得： x= ， ∴ BD= ． 【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（ 2）（ 3）中，需要根據(jù)題意列出方程，解方程才能得出結(jié)果． 28．（ 2022?青島）已知：如圖，在矩形 ABCD中， AB=6cm， BC=8cm，對角線 AC， BD交于點(diǎn) 0．點(diǎn) P從點(diǎn) A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，點(diǎn) Q從點(diǎn) D出發(fā)，沿 DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接 PO并延長，交 BC于點(diǎn) E，過點(diǎn) Q作QF∥ AC，交 BD于點(diǎn) F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（ s）（ 0＜ t＜ 6），解答下列問題： （ 1）當(dāng) t為何值時(shí)， △ AOP 是等腰三角形？ （ 2）設(shè)五邊形 OECQF的面積為 S（ cm2），試確定 S與 t的函數(shù)關(guān)系式； 第 33頁（共 36頁） （ 3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻 t，使 S五邊形 S 五邊形 OECQF： S△ ACD=9： 16？若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由； （ 4）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻 t，使 OD 平分 ∠ COP？若存在 ，求出 t的值；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到 AC=10， ① 當(dāng) AP=PO=t，如圖 1，過 P作 PM⊥ AO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 AP=t= ， ② 當(dāng) AP=AO=t=5，于是得到結(jié)論； （ 2）過點(diǎn) O作 OH⊥ BC交 BC 于點(diǎn) H，已知 BE=PD，則可求 △ BOE的面積；可證得 △ DFQ∽△ DOC，由相似三角形的面積比可求得 △ DFQ的面積，從而可求五邊形 OECQF的面積． （ 3）根據(jù)題意列方程得到 t= ， t=0，（不合題意，舍去），于是得到結(jié)論； （ 4）由角平分 線的性質(zhì)得到 DM=DN= ，根據(jù)勾股定理得到 ON=OM= = ，由三角形的面積公式得到 OP=5﹣ t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論． 【解答】解：（ 1） ∵ 在矩形 ABCD中， AB=6cm， BC=8cm， ∴ AC=10， ① 當(dāng) AP=PO=t，如圖 1， 過 P作 PM⊥ AO， ∴ AM= AO= ， ∵∠ PMA=∠ ADC=90176。 ， ∠ PAM=∠ CAD， ∴△ APM∽△ ADC， ∴ ， ∴ AP=t= ， ② 當(dāng) AP=AO=t=5， ∴ 當(dāng) t為 或 5時(shí)， △ AOP是等腰三角形； 第 34頁（共 36頁） （ 2）過點(diǎn) O作 OH⊥ BC交 BC 于點(diǎn) H，則 OH= CD= AB=3cm． 由矩形的性質(zhì)可知 ∠ PDO=∠ EBO， DO=BO，又得 ∠ DOP=∠ BOE， ∴△ DOP≌ BOE， ∴ BE=PD=8﹣ t， 則 S△ BOE= BE?OH= 3（ 8﹣ t） =12﹣ t． ∵ FQ∥ AC， ∴△ DFQ∽△ DOC，相似比為 = ， ∴ = ∵ S△ DOC= S 矩形 ABCD= 6 8=12cm2， ∴ S△ DFQ=12 = ∴ S 五邊形 OECQF=S△ DBC﹣ S△ BOE﹣ S△ DFQ= 6 8﹣（ 12﹣ t）﹣ =﹣ t2+ t+12； ∴ S與 t 的函數(shù)關(guān)系式為 S=﹣ t2+ t+12； （ 3）存在， ∵ S△ ACD= 6 8=24， ∴ S 五邊形 OECQF： S△ ACD=（﹣ t2+ t+12）： 24=9： 16， 解得 t=3，或 t= ， ∴ t=3或 時(shí)， S五邊形 S 五邊形 OECQF： S△ ACD=9： 16； （ 4）如圖 3，過 D作 DM⊥ PE于 M， DN⊥ AC 于 N， ∵∠ POD=∠ COD， ∴ DM=DN= ， ∴ ON=OM= = ， 第 35頁（共 36頁） ∵ OP?DM=3PD， ∴ OP=5﹣ t， ∴ PM= ﹣ t， ∵ PD2=PM2+DM2， ∴ （ 8﹣ t） 2=（ ﹣ t） 2+（ ） 2， 解得： t≈ 15（不合題意 ，舍去）， t= ， ∴ 當(dāng) t= 時(shí)， OD平分 ∠ COP． 【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵． 第 36頁（共 36頁）