【正文】 ??? ? ? ?? ? ? ??? 證明 8 任取 1 2 1 2, , ,x x R x x??有 213 3 2 22 1 2 1 2 1( ) ( )1( ) ( ) ( )2f x f xx x x x x x?? ? ? ? ? ? ? ?222 1 2 1 2 1 2 1222 1 1 1 1 12 1 2 2221 1112 1 21( ) ( ) ( )21 2 1 3 2 1( ) 22 4 431 31( ) 0.2 4 2x x x x x x x xx x x x xx x x xx xxxx x x??? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ???????? ? ? ? ? ??????? 說明 6 主元法可以理解為先處理字母 2x ，再處理字母 1x ，當(dāng)然，也可以同時(shí)處理兩個(gè)字母 12,xx，下面是一些有用的變形（詳見文 [1]P． 305）： ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?22221 2 1 2 1 2221 2 1 2 1 2221 2 1 2221 1 2 22 2212 121,21,43,44.22x x x x x xx x x x x xx x x xx x x xxx xx??? ? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ??? 證明 9 任取 1 2 1 2, , ,x x R x x??有 ? ?? ?21222 1 2 1 2 1 2 12 2 22 1 2 12 1 1 2222122121( ) ( )1( ) ( ) ( )2() 1()2 2 21( ) 0.22f x f xx x x x x x x xx x x xx x x xxxxxxx???? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ??????????? ? ? ????? 說明 7 對(duì)這個(gè)配方可以作出兩種解釋．其一是首先用非負(fù)數(shù) 12 去抵消可能的負(fù)項(xiàng) 12()xx?? ，非負(fù)數(shù) 222 1 2 1x x x x??自動(dòng)剩余22212xx? ；其二是首先用非負(fù)數(shù) 2221xx? 去抵消可能的負(fù)項(xiàng) 12xx ，然后與 12 一起抵消可能的負(fù)項(xiàng) 12()xx?? ． 證明 10 任取 1 2 1 2, , ,x x R x x??有 21( ) ( )f x f x? ? ?? ?? ?222 1 2 1 2 1 2 12221212 1 1 222212 1 2 11( ) ( ) ( )23 ( ) 1()4 4 23 2 1( ) 0 .4 3 4 6x x x x x x x xxxxxx x x xxxx x x x??? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ??????? ???? ? ? ? ? ? ????????? 證明 11 任取 1 2 1 2, , ,x x R x x??有 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?21222 1 2 1 2 1 2 12221212 1 1 22221 212 1 1 22212 1 2 1 1 2( ) ( )1( ) ( ) ( )23 ( ) 1()4 4 23 ( ) 1()4 4 23( ) 0 .42f x f xx x x x x x x xxxxxx x x xxx xxx x x xxxx x x x x x???? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ???????? ?????? ? ? ? ? ????????????????? ? ? ? ? ? ????????? 說明 8 還可以寫出更多的配方，不過對(duì)于說明“怎樣配方”目前的篇幅已經(jīng)夠慷慨的了，我們將轉(zhuǎn)而說明，兩種證明單調(diào)性的方法存在內(nèi)在的統(tǒng)一性． （ 3） 作差法與求導(dǎo)法的統(tǒng)一 這由導(dǎo)數(shù)的定義可以看得很清楚： 21/ 21121( ) ( )( ) limxxf x f xfx xx??? ? 21222 1 2 1 1 2 1l im 2xx x x x x x x? ??? ? ? ? ? ????? ① 21113 2 .2xx? ? ? 在 ①式中，若求極限之前配方，則對(duì)應(yīng)著“ 作差法 ”；若求極限之后配方，則對(duì)應(yīng)著“ 求導(dǎo)法 ”．比如，當(dāng) 21xx? 時(shí)，由證明 7 可得證明 5，由證明 9 可得證明 3，由證明 10 可得證明 2． 252 第（ 2）問 —— 模式識(shí)別、數(shù)學(xué)歸納法 對(duì)于自然數(shù)的命題想起用數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)該說是自然的，但同時(shí)證 5 個(gè)量的不等式卻是陌生情境，學(xué)生對(duì)此普遍不習(xí)慣．怎么辦？可分兩次分別證 10nnx x x???（單調(diào)遞增有上界） 與 01nnx y y???（單調(diào)遞減有下界），每一次都化歸為基本模式．這個(gè)想法主要還是模式識(shí)別的解題策略． 證明 1 先用數(shù)學(xué)歸納法證 10nnx x x???． 第 1 步，由0 1(0, )2x ?得 ?? 又由上證 ??fx是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，有 ? ?1 1 010 ( )4x f x f x? ? ? ?， 得 1 2 0 .x x x?? 這表明， 1n? 時(shí)命題成立． 第 2 步，假設(shè) ( 1)n k k??時(shí)命題成立，有 10,kkx x x???由上證 ??fx是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，得 10( ) ( ) ( ) ,kkf x f x f x??? 即 1 2 0 .kkx x x???? 這表明 1nk??時(shí)不等式成立． 由數(shù)學(xué)歸納法得，對(duì)一切 1,2, ,n? 都有 x x??? 同理可由 ? ?0 1 1 0 2 131( ) ,82f x f y y x y y? ? ? ? ? ? ?證得 01nnx y y???（略）． 從而合并得 1 0 1 .n n n nx x x y y??? ? ? ? 說明 9 回顧分兩次證明存在簡(jiǎn)單重復(fù)的情況 ，因而可改寫為一次完成． 證明 2 用數(shù)學(xué)歸納法．第 1 步，由0 1(0, )2x?得1 0 x y? ? ? ?又由上證 ??fx是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，得 ? ?1 0 1( ) ( )f x f x f y?? ， 進(jìn)而 ? ?1 1 0 1 1 ,1 3 10 ( ) ( )4 8 2x f x f x f y y? ? ? ? ? ? ? ?， 得 1 2 0 2 1 .x x x y y? ? ? ? 這表 明， 1n? 時(shí)命題成立． 第 2 步，假設(shè) ( 1)n k k??時(shí)命題成立，有 1 0 1 ,k k k kx x x y y??? ? ? ?由上證 ??fx是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，得 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,k k k kf x f x f x f y f y??? ? ? ? 即 1 2 0 2 1 .k k k kx x x y y? ? ? ?? ? ? ? 這表明 1nk??時(shí)不等式成立． 由數(shù)學(xué)歸納法得，對(duì)一切 1,2, ,n? 都有 1 0 1 .n n n nx x x y y??? ? ? ? 253 第（ 3）問 —— 分析法、配方法 （ 1）分析法探路、綜合法書寫 可以作這樣的分析： 欲證 11 12nnnnyxyx??? ?? ， 只需 11 ( ) ( )n n n nn n n ny x f y f xy x y x????? 22 11() 22n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ? ? ?， 只需 22 ( ) 0n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ?， 只需 2( ) ( )n n n n n ny x y x x y? ? ? ?． 而由第（ 2 ）問有 0 10 2nnx x y? ? ? ?，得0 ( ) 1 , 0n n n ny x x y? ? ? ?．式是成立的． 證明 1 由第（ 2）問知010,2nnx x y? ? ? ?得 0 1,0,nnnnyxxy? ? ????? 有 2( ) ( ) 0n n n n n ny x y x x y? ? ? ? ?， 得 22 11() 22n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ? ?， 即 11 ( ) ( ) 12n n n nn n n ny x f y f xy x y x??????． （ 2） 配方法改寫 證明 2 由第（ 2）問知0 10,2nnx x y? ? ? ?有 0 1,0,nnnnyxxy? ? ??? ?? 得 2211 1()2nn n n n n n nnnyx y x y x y xyx??? ? ? ? ? ? ?? 2 1( ) ( )211( ) [1 ( ) ] .22n n n nn n n ny x y xy x y x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 證明 3 由第（ 2）問知0 10,2nnx x y? ? ? ?得 0 1,0,nnnnyxxy? ? ??? ?? 有 11nnnnyxyx???? 22 1() 2n n n n n ny x y x y x? ? ? ? ? ? 2221( ) ( )211()241 1 1.2 4 2n n n nnny x y xyx? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ????? 證明 4 由第（ 2）問知0 10,2nnx x y? ? ? ?有 0 1,0,nnnnyxxy? ? ??? ?? 得 2211 1()2nn n n n n n nnnyx y x y x y xyx??? ? ? ? ? ? ?? 2 1( ) ( )211( ) ( ) .22n n n nn n n ny x y xy x y x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 33 第（ 1）、（ 3）問的溝通 從語(yǔ)言形式上看，第（ 1）問與第（ 3）問好像沒有多少共同的地方，但從實(shí)質(zhì)運(yùn)算上看，則都是對(duì) ? ? ? ? ? ? 22 1, 2f y f xF x y y x y x y xyx?? ? ? ? ? ? ?? 作放縮處理，第（ 1）問是證明 ? ?,0F x y ? ，第（ 2）問是證明? ? 1, 2F x y ? ．而由第（ 1）問的證明 證明 6 、證明 10 可知 ( ) ( )1 .6 nnnnf y f xyx?? ? 因而第（ 3）問可以有更一般性的結(jié)論： ( ) ( )nnf y f xyx???? 這一結(jié)果也可由微分中值定理得出，由 ? ?/2( ) ( ) 132 2nnnnf y f x fyx ? ? ?? ? ? ? ?? 2113,36???? ????? 知當(dāng) 10,2? ???????時(shí)，有 ? ? ? ? ? ?/ / / / /1 1 1 10 , 0 .6 3 2 2f f m a x f f f? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???