【正文】 ? ? ?? ? ? ? ? ? 33 第（ 1）、（ 3）問的溝通 從語言形式上看，第（ 1）問與第（ 3）問好像沒有多少共同的地方，但從實(shí)質(zhì)運(yùn)算上看，則都是對(duì) ? ? ? ? ? ? 22 1, 2f y f xF x y y x y x y xyx?? ? ? ? ? ? ?? 作放縮處理，第（ 1）問是證明 ? ?,0F x y ? ，第（ 2）問是證明? ? 1, 2F x y ? ．而由第（ 1）問的證明 證明 6 、證明 10 可知 ( ) ( )1 .6 nnnnf y f xyx?? ? 因而第（ 3）問可以有更一般性的結(jié)論： ( ) ( )nnf y f xyx???? 這一結(jié)果也可由微分中值定理得出，由 ? ?/2( ) ( ) 132 2nnnnf y f x fyx ? ? ?? ? ? ? ?? 2113,36???? ????? 知當(dāng) 10,2? ???????時(shí)，有 ? ? ? ? ? ?/ / / / /1 1 1 10 , 0 .6 3 2 2f f m a x f f f? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 。 243 積累 上面的一題多解與一解 多題說的是化歸，這要求我們首先有“課本已經(jīng)解決的問題”．但是，平時(shí)“已經(jīng)解決的問題”太多了，我們不可能（也沒有必要）記住平時(shí)做過的所有題目．其實(shí)我們說的“課本已經(jīng)解決的問題”，是指 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，把所積累的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加工為一些有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型模式與重要類型．當(dāng)我們遇到一個(gè)新問題時(shí)，首先辨認(rèn)它屬于我們已經(jīng)掌握的哪個(gè)基本模式，然后檢索出相應(yīng)的解題方法來解決，這是我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中的基本思考，當(dāng)然也是解高考題的重要策略．那么，怎樣積累典型模式與重要類型呢？我們有兩個(gè)基本的建議： ●總結(jié)課本內(nèi)容， 歸納基本模式． 學(xué)完一章節(jié)（或跨章節(jié)）后，總結(jié)一共有幾個(gè)題目類型，每個(gè)題型有哪些解決方法？ ●分析解題過程，提煉深層結(jié)構(gòu)． 可以重點(diǎn)分析最近三五年的高考綜合題，揭示“形異而質(zhì)同”的深層結(jié)構(gòu)。 (2)課本是高考命題的基本依據(jù)。羅增儒教授簡(jiǎn)介 羅增儒教授，男，漢族， 1945 年 1 月生，廣東省惠州市人． 1962年就讀中山大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)，畢業(yè)后在陜西省耀縣水泥廠當(dāng)過礦山職工和子弟中學(xué)教師， 1985 年底調(diào)入陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．歷經(jīng)講師、副教授、碩士研究生導(dǎo)師，于 1996 年 6 月聘為教授， 2022 年 11 月聘為課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）博士研究生導(dǎo)師（西南師范大學(xué)，陜西師范大學(xué)）．曾先后擔(dān)任陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究所所長(zhǎng)、教務(wù)處處長(zhǎng)、陜西省數(shù)學(xué)會(huì)常務(wù)理事、陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)副理事長(zhǎng)、西安市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)理事長(zhǎng)、 中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教 學(xué)專業(yè)委員會(huì)學(xué)術(shù)委員、 《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》編委 、中國數(shù)學(xué)奧林匹克首批高級(jí)教練 ．獲國家級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果二等獎(jiǎng) 1 次（ 1993 年），省級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果獎(jiǎng) 4 次（ 1989 年， 1995 年， 1999 年， 2022 年）， 1994 年 10 月起享受國務(wù)院政府特殊津貼， 1999 年獲曾憲梓教育基金會(huì)全國高師優(yōu)秀教師獎(jiǎng)． 羅增儒教授堅(jiān)持教學(xué)、科研平行發(fā)展，已為本科生、研究生講授了《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》、《初等代數(shù)研究》、《初等幾何研究》、《考試學(xué)》、《數(shù)學(xué)解題論》、《數(shù)學(xué)競(jìng)賽論》、《數(shù)學(xué)教學(xué)論》、《數(shù)學(xué)方法論》等課程．自 1980 年以來，在《教育研 究》、《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》等 30 多種刊物發(fā)表論文 300 余篇，被《中國人民大學(xué)報(bào)刊復(fù)印資料》全文復(fù)印 30 余篇．在海內(nèi)外多家出版社出版了《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》（ 2022 年 7 月）、《數(shù)學(xué)競(jìng)賽導(dǎo)論》（ 2022 年 7 月）、《中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析》（ 2022 年 7 月）、 《怎樣解答高考數(shù)學(xué)題》（ 1995 年 1 月）、《怎樣解答中考數(shù)學(xué)題》（ 1996年 2 月）、 《數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟》（ 1997 年 1 月）、《直覺探索方法》（ 1999年 9 月）、《零距離數(shù)學(xué)交流》（ 2022 年 5 月）等書 10 多本，計(jì)300 多萬字． 羅增儒教授的主要工作有 3 個(gè)方向： ⑴ 數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)的理論與實(shí)踐 —— 形成了“示范教學(xué)法”，實(shí)踐 “案例教學(xué)”； ⑵ 數(shù)學(xué)解題理論的基礎(chǔ)建設(shè) —— 提出了“數(shù)學(xué)解題教學(xué)法”； ⑶ 數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)的基礎(chǔ)建設(shè) —— 搭起了“數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)”的一個(gè)理論框架． 羅教授 從礦山工人到中學(xué)教師、大學(xué)教授，再到博士生導(dǎo)師的歷程，被中學(xué)數(shù)學(xué)界傳為“羅增儒道路”． 如何學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)解題（羅增儒） 第 1 步：簡(jiǎn)單模仿 ． 即模仿著教師或教科書的示范去解決一些識(shí)記性的問題．這是一個(gè)通過觀察被模仿對(duì)象的行為，獲得相應(yīng)的表象，從而產(chǎn)生類似的過程，也是對(duì)解題基本模式加以認(rèn)識(shí)并開始積累的 過程．對(duì)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中輸入信息并開始相互作用的功能，其本身會(huì)有體驗(yàn)性的初步理解． 學(xué)寫字從模仿開始，學(xué)寫作從模仿開始，學(xué)繪畫從模仿開始，學(xué)音樂舞蹈也都從模仿開始，每節(jié)數(shù)學(xué)課后的作業(yè)基本上都是模仿性練習(xí)． 波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：解題“只能通過模仿和實(shí)踐來學(xué)到它”，張景中在《幫你學(xué)數(shù)學(xué)》 P． 46 中說“摹仿是學(xué)習(xí)的開始”． 這一步中，記憶是一項(xiàng)重要的內(nèi)容，由記到憶，是指信息的鞏固與輸出的流暢，要解決好：記憶的敏捷性 (記得快 )，記憶的持久性 (記得牢或忘得慢 )，記憶的準(zhǔn)確性 (記得準(zhǔn) )，記憶的準(zhǔn)備性 (便于提取 )．而要真正做到、做好這 4 點(diǎn)，還需要進(jìn)入第 2 步． 第 2 步：變式練習(xí)． 即在簡(jiǎn)單模仿的基礎(chǔ)上邁出主動(dòng)實(shí)踐的一步，主要表現(xiàn)為做數(shù)量足夠、形式變化 (干擾性 )的習(xí)題，本質(zhì)上是進(jìn)行操作性活動(dòng)與初步應(yīng)用．其作用首先是通過變換方式或添加次數(shù)而增強(qiáng)效果、鞏固記憶、熟練技能；其次是通過必要的實(shí)踐來積累理解所需要的操作數(shù)量、活動(dòng)強(qiáng)度和經(jīng)驗(yàn)體會(huì)．對(duì)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有新舊知識(shí)相互作用的功能，做好了能形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的雛形． “變式”是防止非本質(zhì)屬性泛化的一個(gè)有效措施，中國的數(shù)學(xué)教育有“變式教學(xué) ”的優(yōu)良傳統(tǒng)，“變式練習(xí)”是這一傳統(tǒng)在解題教學(xué)上的重要體現(xiàn)． 第 3 步：自發(fā)領(lǐng)悟． 即在模仿性練習(xí)與干擾性練習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生理解 —— 解題知識(shí)的內(nèi)化 (包括結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系 )．但在這一階段，領(lǐng)悟常常從直覺開始，表現(xiàn)為豁然開朗、恍然大悟，而又“只可意會(huì) ,不可言傳” （默會(huì)知識(shí)） ．這實(shí)際上是一個(gè)各人自己去體會(huì)“解題思路的探求”、“解題能力的提高”、“解題策略的形成”、“解題模式的提煉”，從而獲得能力的自身性增長(zhǎng)與實(shí)質(zhì)性提高的過程 （生成個(gè)體經(jīng)驗(yàn)） ．對(duì)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的功能． 由于單純的 實(shí)踐不能保證由感性到理性的飛躍、由“雙基”到能力的升華，而這種飛躍或升華又需要一個(gè)長(zhǎng)期的積累，因而，這是一個(gè)漫長(zhǎng)而又不可逾越的必由階段 (會(huì)存在高原現(xiàn)象 )．目前的很多學(xué)生就被擋在了這一步，很多優(yōu)秀學(xué)生也就停留在這一步，我們自己也總在這一階段上掙扎，但已經(jīng)認(rèn)識(shí)到：為了縮短被動(dòng)、自發(fā)的過程，為了增加主動(dòng)、自覺的元素，解題學(xué)習(xí)還應(yīng)有第 4 步． 第 4 步：自覺分析． 即對(duì)解題過程進(jìn)行自覺的反思，使理解進(jìn)入到深層結(jié)構(gòu)．這是一個(gè)通過已知學(xué)未知、通過分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會(huì)解題”的過程，也是 一個(gè)理解從自發(fā)到自覺、從被動(dòng) 到主動(dòng)、從感性到理性、 從“基礎(chǔ)”到創(chuàng)新、 從內(nèi)隱到外顯的飛躍階段，操作上通常要經(jīng)歷整體分解與信息交合兩個(gè)步驟． 這個(gè)階段與解題書寫的最后一個(gè)環(huán)節(jié)（檢查驗(yàn)算）是有區(qū)別的，它不僅反思計(jì)算是否準(zhǔn)確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多更簡(jiǎn)單的途徑等，而且要提煉怎樣解題和怎樣學(xué)會(huì)解題的理論啟示（有構(gòu)建“數(shù)學(xué)解題學(xué)”的前景）． 相對(duì)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有形成并強(qiáng)化新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的功能． 這四個(gè)階段與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程是吻合的，但由于數(shù)學(xué)解題是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，因而，它只是符合“鑰匙原理”，而非打開一切題目 大門的萬能鑰匙． 高考數(shù)學(xué)的解題研究（ 陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 羅增儒） 1 從數(shù)學(xué)高考到高考數(shù)學(xué) 從 1977 年恢復(fù)高考（各省單獨(dú)命題）到 2022 年陜西高考單獨(dú)命題，歷史走過了波瀾壯闊的 30 個(gè)春秋，環(huán)繞著高考工作的文化積累正在考試學(xué)、數(shù)學(xué)等維度形成學(xué)術(shù)成果。 離開了課本，學(xué)生還能從哪里找到解題依據(jù)、解題方法、解題體驗(yàn)？還能從哪里找到解題靈感的撞針？高考解題一定要抓住“課本”這個(gè)根本。 解法 3 （向量法） 解法 4 （ 定比分點(diǎn) ） 解法 5 （平面幾何解法） 142 例證 2—— 往年的高考題 引例 （ 由糖水加糖變甜了，學(xué)校擴(kuò)招后新生的比例增大了等情景，可得課本的真分?jǐn)?shù)不等式）若 0??ab ， 0?m ，則 mb maba ??? ． 這個(gè)例題有 10 多種解法．在 89 年廣東， 85 年上海，以及 9 9 0 04 年全國高考中多次用到．請(qǐng)看高考題： 例 1 如果 0 m b a? ? ? ，那么（ ）． ( ) c o s c o s c o sb m b b mA a m a a m???? ( ) c o s c o s c o sb b m b mB a a m a m???? ( ) c o s c o s c o sb m b b mC a m a a m???? ( ) c o s c o s c o sb m b m bD a m a m a???? [1989 年廣東高考題 ] 例 2 設(shè) ??na 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， nS 是其前 n 項(xiàng)和． （ 1）證明 212nn nlg S lg S lg S? ?? ?； （ 2）是否存在常數(shù) 0c? ，使得 21( ) ( ) ()2nn nlg S c lg S c lg S c? ?? ? ? ??． [1995 年理科第（ 25）題（ 12 分） ] 例 3 對(duì)一切大于 1 的自然數(shù)，求證： 1 1 1 2 1(1 ) (1 ) (1 )3 5 2 1 2nn ?? ? ? ??． [1985 年上海高考題 ] 例 4 已知數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列， 1 1 2 101 , 145b b b b? ? ? ? ?， （ 1）求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng) nb ； （ 2）設(shè)數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) 1log (1 )na na b??（其中 0,a? 且 1a? ） ,記 ? ?nnSa是 數(shù) 列 前 n 項(xiàng)和．試比較 nS 與113 anlogb?的大小，并證明你的結(jié)論． [1998 年理科第（ 25）題（ 12 分 ） ] 例 5 已知 ,imn 是正整數(shù)，且 1 i m n? ? ? ． （ 1）證明： i i i imnn p m p? ； （ 2）證明： ? ? ? ?11nmmn? ? ? ． [2022 年理科第 20 題 ] 例 6 已知數(shù)列 ??na 為等比數(shù)列， 256 162aa??， ， （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 （ 2）設(shè) nS 是數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和，證明 22 1 1nnnSSS ?? ?． [2022 年文科第（ 18）題 ] 這幾道題目課本都沒有出現(xiàn)過，但例 21 可以認(rèn)為是真分?jǐn)?shù)不等式的直接用（加上余弦函數(shù)的單調(diào)性）；例 22（ 1）與例 26（ 2）可以認(rèn)為是真分?jǐn)?shù)不等式的變形用，如果我們沒有“化歸為課本已經(jīng)解決的問題”的思想準(zhǔn)備 ，可能就想不到用真分?jǐn)?shù)不等式，或在變形式 221n n nS S S??? 與 112nnnnSSSS???? 之間猶豫，而一旦想到用真分?jǐn)?shù)不等式，則 ③已接近完成：（ ??na 為遞增的正項(xiàng)數(shù)列） 112 1 1 1 1n n n nn n n nS a q S q S SS a p S q S S?? ? ? ??? ? ??