【正文】 若不存在，則證明之 .（ 2022 年江西） 例 14 12 高考數(shù)學(xué) （ 1）高考數(shù)學(xué)的特征 （ 2）數(shù)學(xué)高考試題的由來 （ 3）數(shù)學(xué)高考解題的特點 （ 4）數(shù)學(xué)高考選擇題的求解 （ 5）數(shù)學(xué)高考填空題的求解 （ 6）數(shù)學(xué)高考解答題的求解 （ 7）數(shù)學(xué)高考解題的錯誤分析 （解對了也會有策略性錯誤） （ 8）?? 2 數(shù)學(xué)高考解題的案例分析 用教育敘事的方式進行解 題經(jīng)驗的積累與提煉。 21 案例 1— 2022 陜西理 2 的討論 知識基礎(chǔ) 例 1 復(fù)數(shù) 2(1 )1 ii?? 等于 （ A） 1i? （ B） 1i? （ C） 1i?? （ D） 1i?? 解法 1：先處理分母 ? ?? ? ? ?22 (1 ) 1(1 ) 11 1 1iii ii i i??? ? ? ? ? ?? ? ? 解法 2：先處理 分子 2(1 ) 2 1 11 1 1i i i ii i i??? ? ? ? ?? ? ? 解法 3：分子分母乘以 i 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )1 (1 ) 1i i i i i iii i i i? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 解法 4：分母提取 i ? ?22(1 ) (1 ) 1 111i i i ii i i i? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 解法 5：分子提取 i ? ?22 ( 1 )(1 ) ( 1 )11iii iiii??? ? ? ? ??? 解法 6：用恒等式 ? ? ? ?221 1 0ii? ? ? ? 解法 7：用 i 的定義， 1111iii ii?? ? ??? 解法 8：倒推，把四個選項代入驗證（結(jié)論也是已知信息） （ A） ? ? ? ?221 1 ?ii? ? ? （ B） ? ? ? ?? ?21 1 1 ?i i i? ? ? ? （ C） ? ? ? ?2211ii? ? ? ? （ D） ? ? ? ?? ?21 1 1 ?i i i? ? ? ? ? 解法 9：輻角象限的直觀選擇（結(jié)論也是已知信息） 解法 10 ?? 22 案例 2— 2022 陜西理 8 的討論 邏輯基礎(chǔ) 例 1 已知不等式 ? ? 1 9axyxy??? ? ?????對任意正實數(shù) ,xy恒成立，則正實數(shù) a 的最小值為 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 這是一道不等式恒成立的參數(shù)確定問題，結(jié)論似乎不難得出，但解題依據(jù)卻未必能說清楚． 221 多種解法的思考 解法 1 條件變形后，應(yīng)用二元均值不等式 . ? ? 1 axy xy???????? ① 112y axaxyaa? ? ? ?? ? ? ? ?21,a?? ② 于是，只要 ? ?219a? ? ?4a? ，得 a 的最小值為 （ B） . 解法 2. 條件變形后，應(yīng)用三元均值不等式 . ? ? 11axyxyy axaxy????????? ? ? ? 313 y axa xy? ? ? ? ③ 3 21 3 ,a?? ④ 于是，只要 3 2 161 3 9 6 ,9aa? ? ? ?得 a 的最小值為163,9 選擇支無一為所求 . 解法 3 條件變形后，應(yīng)用四元均值不等式 . ? ? 11axyxyy axaxy????????? ? ? ? 4414,y axaxya? ? ? ?? 于是，只要 814 9 ,16aa? ? ?得 a 的最小值為 81 16? 選擇支無一為所求 . 解法 4 應(yīng)用二元均值不等式消去 ,xy，有 ? ? 1 2 2 4 ,aax y x y ax y x y??? ? ? ? ????? 于是，只要 814 9 ,16aa? ? ? 得 a 的最小值為81 16? 選擇支無一為所求 . 解法 5 由 ? ? 1 9axy xy??? ? ????? 22 9x y y ax ax y x y? ? ? ? ? 22 8,a x y a x y x y? ? ? ? 得等號成立的條件是 22 2,2 8 ,a x y a x yaa? ???????? 解方程得 4a? ，得 a 的最小值為 4. 選（ B） . 解法 6 同上有 22 8ax y ax y x y? ? ? 2 2 2 233ax y ax y ax y ax y? ? ? 得 3 2 163 8 69aa? ? ? 222 思考：錯在那里？原因是什么？ （ 1）選擇支設(shè)計的典型性： 2， 6， 8 是本題的典型錯誤嗎？ （ 2）為什么用不同的均值不等式會得出不同的結(jié)果？哪些解法是對的？哪些解法是錯的？ （ 3）對 ? ? ? ?f a g a? 能否說當(dāng)?shù)忍柍闪r ??fa取最小值 .？為什么由 ? ? 1 axy xy???????? ≥ ? ?21 a? ， 能推出 ? ?21 a? ≥ 9？ （ 4）不等式 ? ? 1 axy xy???????? ≥ ? ?21 a? ， ? ? 1 axy xy???????? 313 y axa xy? ? ? ? 3 21 3 ,a?? ? ? 1 axy xy???????? 441 y axa xy? ? ? ? 4,a? 能取等號碼？對任意正實數(shù) ,xy恒成立嗎？ （ 5）設(shè) y t y txx ? ? ? ，有 ? ? 1 axy xy???????? 1()(1 ) 11,ax txx txattaatt??? ? ???????? ? ?????? ? ? ? 一般地，函數(shù) ? ? 1 ag t a t t? ? ? ?的最小值與定義域有關(guān) .請思考 例 2 ? ? 221xcfx xc??? ?（ c 為非負常數(shù)）， ? ? 2211xcfx x??? ?（ c 為非負常數(shù) 的最小值？ 223. 解法 解法 7 轉(zhuǎn)化為 ? ? 1m in 9axyxy????? ? ?????????.由條件變形后配方有 ? ? 1 axy xy???????? ? ?2211y axaxyy axaxy? ? ? ???? ? ? ????? ? ?21,a?? 當(dāng) y ax y a xxy? ? ?時，函數(shù) ? ?,F xy =? ? 1 axyxy????????取到最小值? ?21,a? 故有 ? ?219a?? ， 得 4a? ，故 a 的最小值為 （ B） . 說明 這個解法的實質(zhì)步驟是用二維柯西不等式求? ? 1 axy xy????????的最小值 . 解法 8 轉(zhuǎn)化為 ? ?? ?224 4 .xya m a xx x y?????? ? ?????? 由 ? ? 1 9axyxy??? ? ????? ? ? ? ?? ?22 28 4 xyx y yax x y x x y??? ? ? ??? 得，不等式對任意正實數(shù) ,xy恒成立，因而 ? ?? ?224 4 .xya m a xx x y?????? ? ?????? 當(dāng) 2yx? 時，正實數(shù) a 取最小值 4. 選（ B） . 解法 9 由 ? ? 1 axy xy????????1 y axa xy? ? ? ? 把 2,4,6,8a? 依次代入 221 2 3 3 2 2y x y xx y x y? ? ? ? ? ? ? ? 不能對任意正實數(shù) ,xy恒大于 9（ 2yx? 就不成立） . 441 4 5 5 4y x y xx y x y? ? ? ? ? ? ? ?， 可以保證對任意正實數(shù) ,xy恒大于 9. 故得 a 的最小值為 4. 選（ B） . 23 案例 3— 2022 陜西理 19 的討論 模式識別 這是一道常規(guī)立體幾何題，對學(xué)生來說情境并不陌生，課本有這樣的原型（人教版《 數(shù)學(xué)》第二冊下 A 第 40 頁），近年高考有 “形似題”．它的求解體現(xiàn)了高考解題的基本策略 (模式識別 )： ●化歸為課本已經(jīng)解決過的問題 . ●化歸為往屆高考題 . 例 1 如圖 1， , , , ,l A B? ? ? ? ? ?? ? ? ?點 A 在直線 l 上的射影為 1A ，點 B 在直線 l 上的射影為 已知2AB? ， 111, 2AA BB??，求： （ 1）直線 AB 分別與平面 ,??所成角的 大?。? 圖 1 （ 2）二面角 11A AB B??的大小 . 這道題目的一個突出特征是垂直：條件中，平面是互相垂直的（ ??? ），射影也源于垂直（ 11,AA l BBl? ）；結(jié)論中，線面所成的角依賴于線面垂直，面面所成的角依賴于線面垂直或線線垂直 .為什么高考立體幾何題這么喜歡垂直呢？我們認為這與立體幾何的學(xué)科特點有關(guān)． 23 1 立體幾何解題要抓垂直 從學(xué)科特點和高考命題上分析，垂直都是解立體幾何題的一個關(guān)鍵突破 口，可以從三個方面提出論據(jù)． （１）垂直是立體幾何核心知識中的核心． ●一方面它是定義立體幾何新概念的重要工具．如異面直線的距離，線線、線面、面面所成角等異于平面幾何的全新概念都與“垂直”有關(guān)； ●另方面，它是空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的立交橋．如三垂線定理、眾多的性質(zhì)定理或者判定定理都依賴于垂直條件； ●同時它還是各類計算公式（角、距離、面積、體積等）的必要構(gòu)成．可以說，“垂直”的知識容量大，關(guān)聯(lián)元素多，發(fā)散余地大，在客觀上是處于核心地位的． 在立體幾何中，可謂“處處有垂直，垂直無處不在” . （２）垂直是高考 立體幾何命題重點中的重點． ●由于垂直的核心地位，在高考立體幾何命題中它理所當(dāng)然的成為重點考察的對象． ●近年來，由于教材的原因，垂直的地位又被進一步強化，因為高中教材的立體幾何有兩個版本，一個是傳統(tǒng)的綜合幾何體系（主體），一個是空間向量的體系．命題中為了雙方兼顧，常常有便于建立空間坐標(biāo)系的考慮，因而都故意設(shè)計有垂直的條件． （３）垂直是探索解題思路的重要突破口 從探索解題思路的角度看問題，垂直也需要放在優(yōu)先考慮的地位．面對多個已知條件不妨優(yōu)先選擇垂直的條件；構(gòu)造輔助線不妨優(yōu)先作出垂直的輔助線（垂線或 垂面）；面對關(guān)系的轉(zhuǎn)化也不妨優(yōu)先使用垂直關(guān)系來促進轉(zhuǎn)化． 抓住了垂直（不是只抓垂直），并做上一批高考立體幾何題，臨場的立體幾何成績一定能有立竿見影的提高．立體幾何中的垂直包括線線垂直、線面垂直、面面垂直，其中最基本的是線線垂直，而最關(guān)鍵、最體現(xiàn)空間特征的是線面垂直． 解法 1 如圖 2，直線 AB 分別與平面 ? 所成的角為 1BAB? ，直線 AB 分別與平面 ? 所成角的為 1ABA? ，二面角 11A AB B??的平面角為 1AFE? .（略） 圖 2 圖 3 解法 2 如圖 3 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 使? ? ? ? ? ? ? ?110 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0A A B B.（略） 解 法 3 （ 1）如圖 4，將已知條件實現(xiàn)在長方體中，則直線 AB 與平面 ? 所成的角為 1BAB? ，直線AB 與平面 ? 所成角的為 1ABA? .在直角 1BAB 中，有122AB BB?? ，故 1BAB? = 45 ；在直角 1ABA 中，有122AB AA?? ，故 1ABA?