【正文】 n l n l n l nlnx d x x d x x x x d x x x d xx x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 21 l n l n l n l n l n ( l n l n 1 ) .x x x C x x C? ? ? ? ? ? ★★★ (17) sin cosx x xdx? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： 1 1 1 1 1s in c o s s in 2 ( c o s 2 ) c o s 2 c o s 22 2 2 4 4x x x d x x x d x x d x x x x d x? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1c o s 2 c o s 2 2 c o s 2 s in 2 .4 8 4 8x x x d x x x x C? ? ? ? ? ? ?? ★★ (18) 22cos 2xx dx? 思路 ：先將 2cos2x 降冪得 1 cos2 x? ，然后分項積分；第二個積分嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： 2 2 2 2 2 21 1 1 1c o s ( c o s ) c o s2 2 2 2 2xx d x x x x d x x d x x x d x? ? ? ?? ? ? ? 3 2 3 23 2 3 21 1 1 1 1sin sin 2 sin6 2 6 2 21 1 1 1sin c o s sin c o s c o s6 2 6 2x x d x x x x x x d xx x x x d x x x x x x x d x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 3211 si n c o s si n62x x x x x x C? ? ? ? ? ★★ (19) 2( 1) sin 2x xdx?? 思路 ：分項后對第一個積分分部積分。 解 ： 2 2 2 11( 1 ) s in 2 s in 2 s in 2 ( c o s 2 ) c o s 222x x d x x x d x x d x x d x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? 222221 1 1 1 1c os 2 2 c os 2 c os 2 c os 2 si n 22 2 2 2 21 1 1 1 1c os 2 c os 2 si n 2 si n 2 c os 22 2 2 2 21 1 1 1c os 2 si n 2 c os 2 c os 22 2 4 21 1 3 1 3c os 2 si n 2 c os 2 ( si n 2 ) c os 2 si n 2 .2 2 4 2 2 2x x x x dx x x x x d xx x x x x x dx xx x x x x x Cxx x x x x C x x x x C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ★★★ (20) 3xe dx? 思路 ：首先換元，后分部積分。 解 ： 令 3tx? ，則 32, 3 ,x t dx t dt?? 22 33 3 3 32 2 2 22 2 23322333 3 3 3 3 23 3 2 3 6 6 3 6 63 6 6 3 ( 2 2 ) .x t t t t tt t t t t t t tx x x xe d x e t d t e t d t t d e t e t e d tt e t d e t e e t e d t t e e t e Cx e e x e C e x x C? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ★★★ (21) 2(arcsin )x dx? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： 2222 a r c s in( a r c s in ) ( a r c s in ) 1 xx d x x x x d xx? ? ? ??? 222a r c s in( a r c s in ) (1 )1 xx x d xx? ? ??? 22( a r c s in ) 2 a r c s in ( 1 )x x x d x? ? ?? 2 2 222 2 2 21( a r c sin ) 2 1 a r c sin 2 11( a r c sin ) 2 1 a r c sin 2 ( a r c sin ) 2 1 a r c sin 2 .x x x x x d xxx x x x d x x x x x x C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???★★★ (22) 2sinxe xdx? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： 方法一： 2 2 2sin sin sin 2 sin c o sx x x xe x d x x d e e x e x x d x? ? ?? ? ? 2si n si n 2si n 2 si n 2 si n 2 2 c os 2 si n 2 2 c os 2xxx x x x x xe x e x dxe x dx x de e x e x dx e x x de??? ? ? ? ??? ? ? ? 22sin 2 2 c o s 2 4 sin 2( sin 2 2 c o s 2 )sin 25sin ( 5 sin sin 2 2 c o s 2 )5x x xxxxxe x e x e x d xe x xe x d x Cee x d x x x x C? ? ??? ? ?? ? ? ? ???? 方法二： 2 1 c o s 2 1 1 1 1s in c o s 2 c o s 22 2 2 2 2x x x x x xxe x d x e d x e d x e x d x e e x d x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? c o s 2 c o s 2 c o s 2 2 sin 2 c o s 2 2 sin 2x x x x x xe x d x x d e e x e x d x e x x d e? ? ? ? ?? ? ? ? 2c os 2 2 si n 2 4 c os 2( c os 2 2 si n 2 )c os 2511si n si n 2 c os 22 5 10x x xxxxx x xe x e x e x dxe x xe x dx Cee x dx e x e x C? ? ??? ? ?? ? ? ? ???? 23 ★★★ (23) ln(1 )x dxx?? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： l n ( 1 ) l n ( 1 ) ( 2 ) l n ( 1 )1xxd x x d x x x d xxx? ? ? ? ? ?? ? ? 2=2 令 tx? ，則 2,dx tdt? 22214 4 4 4 4 a r c ta n1 114 4 a r c ta nxtd x d t d t d t t t Cx ttx x C? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ?2 所以原積分 l n ( 1 ) l n ( 1 ) 4 4 a r c ta nx d x x x x x Cx? ? ? ? ? ?? 2。 ★★★ (24) ln(1 )xx e dxe?? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： l n ( 1 ) l n ( 1 ) ( ) l n ( 1 ) 1xxx x x x xeed x e d e e e e d x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) ( 1 )11l n ( 1 ) l n ( 1 ) .xx x x x xxxx x xee e d x e e d eeee e e C?? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 注 ：該題中 11x dxe??的其他計算方法可參照習(xí)題 42， 2（ 33） 。 ★★★ (25) 1ln1 xx dxx??? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： 2 2 221 1 1 1 1 1 1 1 1l n l n ( ) l n1 1 2 2 1 2 1 ( 1 )x x x x x xx d x d x x x d xx x x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?222221 1 1 1 1l n l n2 1 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1l n ( ) l n l n ( 1 ) l n ( 1 )2 1 2 1 1 2 1 2x x xx d x x d x d xx x x xxxx x d x x x x xx x x x??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? 221 1 1 1 1 1l n l n ( 1 ) l n2 1 2 1 2 1x x xx x C x x Cx x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 注 ： 該題也可以化為 1l n [ l n (1 ) l n (1 ) ]1 xx d x x x x d xx? ? ? ? ???? 再利用 分部積分法計算。 24 21l n [ l n ( 1 ) l n ( 1 ) ] [ l n ( 1 ) l n ( 1 ) ]12xxx d x x x x d x x x dx? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 2 2 221 1 1 1l n [ ] l n2 1 2 1 1 2 1 1x x x x x xd x d xx x x x x??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 2 2 221 1 1 1 1 1 1l n l n [ ]2 1 1 2 1 2 1 1x x x x xd x d x d xx x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 2 1 1 1l n l n2 1 2 1x x xxCxx??? ? ? ??? ★★★ (26) sin2 cosdxxx? 思路 ：將被積表達式 sin2 cosdxxx 寫成 22 s e c ta n2 s in 2 s in2 s in c o sd x x d x d xxxxx ??，然后分部積分即可。 解 ： 22 s e c ta ns in 2 c o s 2 s in 2 s in2 s in c o sd x d x x d x d xx x x xxx? ? ?? ? ? ? ta n 1 ta n 1ta n ( c sc c o t ) c sc2 sin 2 2 sin 21 ( se c l n c sc c o t ) .2xxx x x d x x d xx x x C? ? ? ? ?? ? ? ??? 用列表法求下列不定積分。 知識點： 仍是分部積分法的練習(xí)。 思 路分析 ： 審題看看是否需要分項，是否需要分部積分，是否需要湊微分。按照各種方法完成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń獬?，不用列表法? ★ (1) 3xxe dx? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1 1( ) 3 ( ) .3 3 3 3 9 3 3x x x x x x xx e d x x d e x e e d x x e e d x x e C? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ★ (2) ( 1) xx e dx?? 思路 ： 嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x xx e d x x d e x e e d x x e C? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?。 ★ (3) 2 cosx xdx? 思路 ：嚴格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解 ： 2 2 2 2c o s sin sin 2 sin sin 2 c o sx x d x x d x x x x x d x