【正文】 81cba ………………………………………………………………………… .2 分 所以拋物線的解析式為 42381 2 ??? xxy 。 ……………………………………… ..1 分 （ 2）（ 5 分） C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4t ) ( t 0) OC = 4 OB = 8 CE = t BP=2t OP =82t …………………… …………………… 1 分 ∵ EF // OB ∴ △ CEF ～ △ COB ∴ OBEFCOCE? 則有 8EF4t ? 得 EF = 2t ………………………………………… ...1 分 ）（）（ 2tt421t28t2 t28t2OPEF OPEF ???? ???? = 22t21 2 ??? ）（ ……………………………… .2 分 當 t=2 時 OP??EFOPEF 有最大值 2. …………………………………………………………… ...1 分 （ 3） （ 4 分） 存在符合條件的 t 值，使△ PBF 與△ ABC 相似。 C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4t ) F(2t , 4 t ) P ( 82t , 0 ) ( t 0) AB = 4 BP=2t BF = 2t45 ）（ ? ∵ OC = 4 OB = 8 ∴ BC = 54 ①當點 P 與 A、 F 與 C 對應 則 BCBFBABP? 代入得 54 t454t22）（ ?? 解得 34t? ……………………………………………… 2 分 ②當點 P 與 C、 F 與 A 對應 則 ABBFBCBP? 代入得4 )4(55422tt ?? 解得 320t720t 21 ?? ， （不合題意，舍去） …… 2 分 綜上所述：符合條件的 34t? 和 720t? 。 12． 已知直線 1y kx??與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 B，與拋物線 2y ax x c? ? ? 交于點 A 和點 C 15( , )24 ，拋物線的頂點為 D。 （ 2022 楊浦 ） （ 1）求直線和拋物線的解析式； （ 2）求 ABD 的面積。 解：（ 1）∵直線 1y kx?? 過點 C 15( , )24 ， ∴ k=12 ，∴ 1 12yx??1 分 ∴ A(2,0)， 1 分 ∵拋物線 2y ax x c? ? ? 交于點 A 和點 C 15( , )24 ， ∴ 5 1 1 14 4 20 4 2 1acac? ? ? ???? ? ? ??分分 即 4742acac???? ? ???， 解得 12ac???? ??，∴拋物線解析式為 2 2y x x?? ? ? 2 分 （ 2）可求得頂點 D 19( , )24? 2 分 作 DH⊥ y 軸，交 y 軸于 H1 分 ∴ ABD AO H D ABO D BHS S S S? ? ?1 分 =32 2 分 13 。 已知： 如圖 六， 拋物線的頂點為點 D，與 y 軸相交于點 A，直線 y＝ ax＋ 3 與 y 軸也交于點 A，矩形 ABCO 的頂點 B 在此拋物線上，矩形面積為 12． x y O E （ 1）求 該 拋物線的對稱軸； （ 2） ⊙ P 是經(jīng)過 A、 B 兩點的一個動圓，當 ⊙ P 與 y 軸 相交，且在 y 軸上兩交點的距離為 4 時， 求 圓心 P 的坐標 ； （ 3）若線段 DO 與 AB 交于點 E，以點 D、 A、 E 為頂點 的三角形是否有可能與以點 D、 O、 A 為頂點的三 角形相似， 如果有可能，請求出點 D 坐標及拋物線解析式；如果不可能， 請說明理由． （ 2022 閘北 ） 解：（ 1）∵直線 y＝ ax＋ 3 與 y 軸交于點 A， ∴點 A 坐標為（ 0， 3）?????????????????????????? 1 分 ∴ AO＝ 3，∵矩形 ABCO 的面積為 12，∴ AB＝ 4??????????????? 1 分 ∴點 B 的坐標為（ 4， 3）∴拋物線的對稱軸為直線 x＝ 2 ??????????? 1 分 （ 2）∵ ⊙ P 經(jīng)過 A、 B 兩點 ， ∴點 P 在直線 x＝ 2 上，即點 P 的坐標為（ 2， y）?????????????? 1 分 ∵ ⊙ P 與 y 軸相交，且在 y 軸上兩交點的距離為 4 又∵ AB＝ 4， ∴點 P 到 AB 的距離等于點 P 到 y 軸的距離為 2??????????????? 1 分 ∴點 P 的坐標為（ 2， 1）或（ 2， 5）???????????????????? 2 分 （ 3）①設△ DAE∽△ DAO，則∠ DAE＝∠ DAO，與已知條件矛盾，此情況不成立． 過點 D 作 DM⊥ y 軸，垂足為點 M， DN⊥ x 軸，垂足為點 N．????????? 1 分 設點 D 坐標為（ 2， y），則 ON＝ DM＝ 2， DN＝ OM＝ y， AM＝ y－ 3 ②設△ DAE∽△ DOA，則∠ DAE＝∠ DOA，∴∠ DAM＝ ∠ DON ???????? 1 分 ∵∠ DMA＝∠ DNO＝ 90176。，∴△ DAM∽△ DON ??????????????? 1 分 ∴ DMDNAMON ? ，∴232 yy ??， ∴ 2 3 4 0yy? ? ? ∴ 1 1y?? （舍）， 2 4y? ∴點 D 坐標為（ 2， 4） ????????????????????????? 1 分 設拋物線解析式為 2()y a x m k? ? ? ∵頂點坐標為（ 2， 4），∴ m＝ － 2， k＝ 4，則解析式為 2( 2) 4y a x? ? ? 將（ 0， 3）代入，得 a＝ 41? ，∴拋物線解析式為 21 ( 2) 44yx? ? ? ?．???? 1 分 14． 在直角坐標平面內(nèi)， O 為原點，二次函數(shù) 2y x bx c?? ? ? 的圖像經(jīng)過 A（ 1， 0）和點B（ 0， 3），頂點為 P。 (2022 金山 ) （ 1）求二次函數(shù)的解 析式及點 P 的坐標； （ 2）如果點 Q 是 x 軸上一點，以點 A、 P、 Q 為頂點的三角形是直角三角形， 求點 Q 的坐標。 解 ：（ 1） 由題意，得 103bcc? ? ? ??? ??（ 2 分） 解得 2b? ， 3c? （ 1 分） ∴ 二次函數(shù)的解析式是 2 23y x x? ? ? ?（ 1 分） ? ? 22 2 3 1 4y x x x? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 點 P 的坐標是（ 1， 4）（ 2 分） （ 2） P（ 1， 4）， A（ 1， 0） ∴ 2AP =20．（ 1 分） BO CO O y AO x D （圖六） 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 2 1 3 1 4 1 x y 1 2 3 4 5 6 1 1 2 1 3 1 4 1 A B 圖 7 設點 Q 的坐標是（ x， 0） 則 ? ?22 1AQ x??， ? ?22 1 16P Q x? ? ?1 分） 當 ∠ AQP=90176。時， 2 2 2AQ PQ AP??， ? ? ? ?221 1 1 6 2 0xx? ? ? ? ?， 解得 1 1x? ， 2 1x?? （不合題意，舍去） ∴ 點 Q 的坐標是（ 1， 0）（ 2 分） 當 ∠ APQ=90176。時， 2 2 2AP PQ AQ??， ? ? ? ?222 0 1 1 6 1xx? ? ? ? ?， 解得 9x? ， ∴ 點 Q 的坐標是（ 9， 0）（ 2 分） ∠ PAQ=90176。不合題意 綜上所述，所求點 P 的坐標是（ 1， 0）或（ 9， 0）． 15． 已知，矩形 OABC 在平面直角坐標系中位置如圖所示， A 的坐標 )0,4( ， C 的坐標 )20( ?， ，直線 xy 32?? 與邊 BC 相交于點 D， （ 2022 奉賢 ） (1)求點 D 的坐標； (2)拋物線 cbxaxy ??? 2 經(jīng)過點 A、 D、 O， 求 此拋物線的表達式； (3)在這個拋物線上是否存在點 M ，使 O 、 D 、 A 、 M 為 頂點的四邊形是梯形 ？ 若存在，請求出所有符合條件的點 M 的坐標； 若不存在，請說明理由 。 解：（ 1） ?D在 BC上， BC∥ x 軸， C )20( ?， ∴設 D（ x ， 2） （ 1分） ?D在直線 xy 32?? 上 ∴ 3322 ???? xx （ 2分） ∴ D（ 3， 2） （ 1 分） （ 2） ?拋物線 cbxaxy ??? 2 經(jīng)過點 A、 D、 O ∴?????????????23900416cbaccba 解得：?????????????03832cba（ 3 分） 所求的二次函數(shù)解析式為 xxy 3832 2 ?? （ 1 分） （ 3）假設 存在點 M ，使 O 、 D 、 A 、 M 為頂點的四邊形是梯形 ①若以 OA 為底， BC∥ x 軸，拋物線是軸對稱圖形 ∴ 點 M 的坐標為（ 21?， ） （ 1 分） x y O A B C D 第 24 題圖 xy 32?? ②若以 OD 為底，過點 A 作 OD 的平行線交拋物線為點 M ?直線 OD 為 xy 32?? ∴直線 AM 為 3832 ??? xy ∴ ??? 3832x xx 3832 2 ? 解得： 4,1 21 ??? xx （舍去） ∴ 點 M 的坐標為（ 310,1? ） （ 2 分） ③若以 AD 為底，過點 O 作 AD 的平行線交拋物線為點 M ?直線 AD 為 82 ?? xy ∴直線 OM 為 xy 2? ∴ ?x2 xx 3832 2 ? 解得： 0,7 21 ?? xx （舍去） ∴ 點 M 的坐標為（ 14,7 ） （ 1 分） ∴綜上所述，當點 M 的坐標為（ 21?， ）、 （ 310,1? ）、 （ 14,7 ）時以 O 、 D 、 A 、 M 為頂點的四邊形是梯形 16． 如圖，已知二次函數(shù) 212y x b x c? ? ?的圖像經(jīng)過點A（ 4， 0）和點 B（ 3， 2），點 C 是函數(shù)圖像與 y 軸的公共點．過點 C 作直線 CE//AB． （ 1）求這個二次函數(shù)的解析式； （ 2）求直線 CE 的表達式； （ 3）如果點 D 在直線 CE 上，且四邊形 ABCD 是等腰梯形，求點 D 的坐標． （ 2022 上海市抽樣分析 ） 解：（ 1）∵二次函數(shù) 212y x b x c? ? ?的圖像經(jīng)過點 A（ 4， 0）和點 B（ 3， 2）， ∴????? ???? ??? .3292,480cbcb ????????????????????????（ 1分） 解得?????????.2,23cb ??????????????????????????（ 1 分） ∴所求二次函數(shù)的解析式為 22321 2 ??? xxy ．????????????（ 1 分） （ 2）直線 AB 的表達式為 82 ?? xy ．????????????????（ 2 分） ∵ CE//AB，∴設直 線 CE 的表達式為 mxy ??2 ．???????????（ 1 分） 又∵直線 CE 經(jīng)過點 C（ 0， 2），∴直線 CE 的表達式為 22 ?? xy ．???（ 1 分） （ 3）設點 D 的坐標為（ x， 2x2）．??????????????????（ 1 分） ∵四邊形 ABCD 是等腰梯形，∴ AD=BC，即 3)22()4( 22 ???? xx ．?（ 1 分） x y O A B C E （第 24 題圖） 解得5111?x， 12?x （不符合題意 ，舍去）．?????????????（ 2 分） ∴點 D 的坐標為（511，512）．???????????????????（ 1 分） 17 。 如圖 8，已知平面直角坐標系 xOy，拋物線 y＝－ x2＋ bx＋ c 經(jīng) 過點 A(4,0)、 B(1,3) . （ 1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標； （ 2）記該拋物線的對稱軸為直線 l，設拋物線上的點 P(m,n)在第四象限， 點 P 關于直線 l 的對稱點為 E，點 E 關于 y 軸的對稱點為 F，若四邊 形 OAPF 的面積為 20，求 m、 n 的值 . （ 2022 年上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學業(yè)考試） （ 1）解：將 A(4,0)、 B(1,3)兩點坐標代入拋物線的方程得： 224 4b 013cbc?? ? ? ???? ? ? ??? 解之得： b=4， c=0 所以拋物線的表達式為： 2 4y x x?? ? 將拋物線的表達式配方得： ? ?22 4 2 4y x x x? ? ? ? ? ? ? 所以對稱軸為 x=2，頂點坐標為（ 2， 4） （ 2）點 p（ m， n）關于直線