【正文】 析 ]? a ， b 的夾角為鈍角 , ? ? ??????? xxxba 23?? 0432 2 ???? xx 解得 0?x 或 34?x (1) 又由 ba??, 共線且反向可得 31??x (2) 由 (1),(2)得 x 的范圍是 ????? ?????? 31, ?????? ????????? ,340,31 ? 4． 已知 )2,( ????a ， )2,3( ???b ,如果 ?a 與 ?b 的夾角為銳角 ,則 ? 的取值范圍是 答 案： 43??? 或 0?? 且 13?? 解析： ?a 與 ?b 的夾角為銳角即 cos 0| | | |abab? ??且 a kb? ，可得 43??? 或 0?? 且 13?? ★ 搶 分 頻 道 ★ 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1. 2022年 廣東省 廣州市高三調(diào)研測試 數(shù) 學(xué)（理 科） 已知向量 a =（ x， 1）， b =（ 3， 6）， a? b ，則實數(shù) x 的值為 A． 12 B． 2? C． 2 D． 21? 答案： B 解析： 3 6 0, 2xx? ? ? ? ? 用心 愛心 專心 2.（ 廣東省深圳市 2022 屆高三九校聯(lián)） 已知 212???ba ， 4?a ， a 和 b 的夾角為 ?135 ，則 b 為 （ ） A． 12 B． 3 C． 6 D． 33 答案： C 解析： 0| || | c o s 1 3 5 1 2 2a b a b? ? ? ?，又 4?a 可得 b =6 3． 廣東 省 北江中學(xué) 2022屆高三 上學(xué)期 12 月月考 (數(shù)學(xué)理 ) ABC△ 內(nèi)有一點 O ,滿足 0OA OB OC? ? ?,且 OA OB OB OC? .則 ABC△ 一定是（ ） A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 等腰三角形 答案： D解析： O 為重心，由 OA OB OB OC? 可知 ABC△ 一定是等腰三角形 4． 廣東省恩城中學(xué) 2022屆高三模擬考試（數(shù)學(xué)理） 在△ ABC 中， a,b,c 分 別 為 三 個 內(nèi) 角 A,B,C 所 對 的 邊 ， 設(shè) 向 量( , ) , ( , )m b c c a n b c a? ? ? ? ?，若 mn? ,則角 A的大小為（ ） ? B. 3? C. 2? D. 32? 答案： B 解析：由 mn? 可得 0mn? 即 2 2 2( ) ( ) ( ) 0 , 0b c b c a c a b bc c a? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以角 A=3? 5． 廣東省華南師范附屬中學(xué) 2022屆高三綜合測試 己知向量 ( c os , si n ) , ( c os , si n )ab? ? ? ???， a 與 b 的夾角為 60 176。 ，直線c os si n 0xy????與圓 22 1( c o s ) ( s in ) 2xy??? ? ? ?的位置關(guān)系是 （ ） A．相切 B．相交 C．相離 D．隨 ,??的值而 定 答案： C 解析： a 與 b 的夾角為 60176。 所以 0 c o s c o s s in s in 1c o s 6 0 12| | | |abab ? ? ? ??? ? ? 圓心 (cos , sin )??? 到直線 cos si n 0xy????距離為 c o s c o s si n si n 112? ? ? ?? ? 故選 C 6． 廣州市海珠區(qū) 2022 屆高三綜合測試 用心 愛心 專心 設(shè) ABC? 是邊長為 1的正三角形 , 則 CBCA? = . 答案： 3 解析： CBCA? = 22 22 | |C A C B C A C A C B C B? ? ? ? 綜合拔高訓(xùn)練 7． 廣東省揭陽二中 2022屆高三上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)理） 已知 a ＝ (－ 1, 3)， b ＝ (2, － 1)， 若 (ka ＋ b )⊥ (a － 2b )，則 k＝ ． 答案： 34 解析： ka ＋ b =（ 2－ k， 3 k－ 1）， a － 2b =（－ 5， 5） 所以 (ka ＋ b )(a － 2b )=0可得 k=34 8． （ 廣東省華南師范附屬中學(xué) 2022屆高三綜合測試） 設(shè)平面上向量 13( c o s , s in ) ( 0 2 ) , ( , ) ,22a b a? ? ? ?? ? ? ? ?與 b 不共線， （ 廣東省華南師范附屬中學(xué) 2022屆高三綜合測試（數(shù)學(xué)理）） 設(shè)平面上向量 13( c o s , s in ) ( 0 2 ) , ( , ) ,22a b a? ? ? ?? ? ? ? ?與 b 不共線， （ 1） 證明向量 ab? 與 ab? 垂直 （ 2） 當(dāng)兩個向量 3ab? 與 3ab? 的模相等，求角 ? ． 解析： （ 1） 1 3 1 3( c o s , s in ) ( c o s , s in )2 2 2 2a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2213( ) ( ) c o s si n 044a b a b ??? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( )a b a b? ? ? ? （ 2）由題意： 22( 3 ) ( 3 )a b a b? ? ? ? 得： 0ab?? 13c o s s in 022??? ? ? ?，得 3tan 3?? 又 02???? 得 6??? 或 76? 9．（ 廣東省五校 2022屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（數(shù)學(xué)理）） 用心 愛心 專心 CBA設(shè) 1F 、 2F 分別是橢圓 14 22 ??yx 的左、右焦點 .若 P 是該橢圓上的一個動點，求 1PF? 178。 2PF?的最大值和最小值 。 解：（Ⅰ）解法一：易知 2, 1, 3a b c? ? ?,所以 ? ? ? ?123 , 0 , 3 , 0FF? ，設(shè) ? ?,Pxy ，則 ? ? ? ? 2212 3 , , 3 , 3P F P F x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因為 ? ?2,2x?? ，故當(dāng) 0x? ，即點 P 為橢圓短軸端點時， 12PF PF? 有最小值 2? 當(dāng) 2x?? ，即點 P 為橢圓長軸端點時， 12PF PF? 有最大值 1 解法二：易知 2, 1, 3a b c? ? ?，所以 ? ? ? ?123 , 0 , 3 , 0FF? 設(shè) ? ?,Pxy ，則 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 212c os 2PF PF F FPF PF PF PF F PF PF PF PF PF??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222 2 2 21 3 3 1 2 32 x y x y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? 10． 廣東省恩城中學(xué) 2022屆高三上學(xué)期中段考試（數(shù)學(xué)理） 在△ ABC中，已知 1,AB AC?? 2AB BC? ?? ． (1) 求 AB邊的長度； (2) 證明： tan 2 tanAB? ； （ 3）若 | | 2AC? ,求 ||BC ． 解：（ 1）∵ BC AC AB??∴ 2( ) | | 2A B B C A B A C A B A B A C A B? ? ? ? ? ? ? ? ∵ 1AB AC?? ∴ 2| | 3AB? , | | 3AB? 即 AB邊的長度為 3 4分 (2) 由 1, 2A B A C A B B C? ? ? ? ? 得 | | | | c os 1AB AC A??① | | | | c os( ) 2AB BC B?? ? ? ? 即 | | | | c os 2AB BC B??②6 分 由①②得 | | cos 1cos 2||AC ABBC ??, 由正弦定理得 | | sinsin||AC BABC ? 用心 愛心 專心 ∴ s in c o s ta n 1s in c o s ta n 2B A BA B A? ? ? ∴ tan 2 tanAB? 9分 (3) ∵ | | 2AC? ，由（ 2） 中①得 1 1 3c o s6| | | | 23A A B A C? ? ?? 由余弦定理得 2 2 2| | | | | | 2 | | | | c o sB C A B A C A B A C A? ? ? ?= 33 4 4 3 56? ? ? ? ∴||BC = 5 14分 第 4講 平面向量的應(yīng)用 ★ 知 識 梳理 ★ 1． 利用向量處理幾何問題的步驟為： （ 1） 建立平面直角坐標(biāo)系； （ 2） 設(shè)點的坐標(biāo)； （ 3） 求出有關(guān)向量的坐標(biāo)； （ 4） 利用向量的運算計算結(jié)果； （ 5） 得到結(jié)論 . 如圖 543所示，一物體在力 F的作用下產(chǎn)生位移 S， （ 6） 那么力 F 所做的功： W= |F| |S| cosα. 3． 重要不等式： | || | | || |a b a b a b? ? ? 特別提醒： 常用于求參數(shù)的范圍 ★ 重 難 點 突 破 ★ ： 會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題 ,如確定力或速度的大小以及方向 . ： 加強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高分析問題，解決問題的能力 ： . 1 奎屯王新敞 新疆熟悉向量的性質(zhì)及運算律； 2 奎屯王新敞 新疆能根據(jù)向量性質(zhì)特點構(gòu)造向量； 3 奎屯王新敞 新疆熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用； 4 奎屯王新敞 新疆熟練向量求解的坐標(biāo)化思路 奎屯王新敞 新疆 5 奎屯王新敞 新疆認(rèn)識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系； 6 奎屯王新敞 新疆認(rèn)識向量的工具性作用，加強數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用意識 奎屯王新敞 新疆 S F α 用心 愛心 專心 ★ 熱 點 考 點 題 型 探 析 ★ 考點一： 平面向量在平面幾何 題型 1. 用向 量證明幾何題 [例 1] 已知：如圖所示， ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的兩條對角線 奎屯王新敞 新疆求證AC⊥ BD 奎屯王新敞 新疆 [解題思路 ]： 對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件 奎屯王新敞 新疆 解析： 證法一：∵ AC ＝ AB ＋ AD ， BD ＝ AD － AB ， ∴ AC 178。 BD ＝（ AB ＋ AD ）178。（ AD － AB ） ＝｜ AD ｜ 2－｜ AB ｜ 2＝ O ∴ AC ⊥ BD 證法二：以 OC 所在直線為 x 軸，以 B 為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè) B(O， O)， A(a， b)， C（ c， O）則由｜ AB｜＝｜ BC｜得 a2＋ b2＝ c2 ∵ AC ＝ BC － BA ＝（ c， O）－（ a， b）＝（ c－ a，－ b）， BD ＝ BA ＋ BC ＝（ a， b）＋（ c， O）＝（ c＋ a， b） ∴ AC 178。 BD ＝ c2－ a2－ b2＝ O ∴ AC ⊥ BD 即 AC⊥ BD 【名師指引】 如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運算，則將給解題帶來一定的方便 奎屯王新敞 新疆通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用。 【新題導(dǎo)練】 1． 證明：三角形重心與頂點的距離等于 它到對邊中點的距離的兩倍 . [解析 ] 設(shè) AC = b， CB = a，則 AD =AC +CD = b+21 a, CBECEB ?? =21 b+a ∵ A, G, D共線， B, G, E共線 ∴ 可設(shè) AG =λ AD ， EG = μ EB , 則 AG =λ AD =λ (b+21 a)=λ b+21 λ a, EG = μ EB = μ (21 b+ a)=21 μ b+μ a, A B C E F D G 用心 愛心 專心 ∵ AGEGAE ?? 即： 21 b + (21 μ b+μ a) =λ b+21 λ a ∴( μ ?21 λ ) a + (21 μ ?λ +21 )b = 0 ∵ a, b不平行， ∴21 02321 1 1 302 2 3A G A D???? ? ??? ??? ???? ? ? ???? ? ? ?? ?? ? 2． 已知 )0,1(),0,4( NM ，若動點 ( , )Pxy 滿足 6 |