【正文】 。 17.（湖南株洲 8 分） 如圖， AB 為 O 的直徑， BC 為 O 的切線， AC 交 O 于點(diǎn) E， D 為 AC 上一點(diǎn)，∠A OD=∠C ． （ 1）求證： OD⊥AC ； （ 2）若 AE=8， 3tanA 4? ，求 OD的長(zhǎng)． 【答案】 解：（ 1）證明： ∵AB 為 O 的直徑， BC 為 O 的切線 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 24 ∴∠A BC=90 0， ∴∠A ＋ ∠C=90 0 。 又 ∵∠A OD=∠C ， ∴∠A OD ＋ ∠A =90 0 。 ∴∠A DO=90 0。 ∴OD⊥AC 。 （ 2） ∵OD⊥AE ， O為圓心， ∴D 為 AE 中點(diǎn) 。 ∴ 1AD= AE=42。 又 3 O Dtan A4 A D?? ， ∴OD=3 。 【考點(diǎn)】 切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義。 【分析】 （ 1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出 ∠ABC=90176。 ，從而得出 ∠A+∠C=90176。 ，再由 ∠AOD=∠C ，可得∠AOD+∠A=90176。 ，即可證明。 （ 2）由垂徑定理可得， D為 AE中點(diǎn)，根據(jù)已知可利用銳角三角函數(shù)求出。 18.（江蘇南通 8分） 如圖， AM切 ⊙O 于點(diǎn) A， BD⊥AM 于點(diǎn) D， BD 交 ⊙O 于點(diǎn) C， OC平分 ∠AOB ．求 ∠B 的度數(shù)． 【答案】 解： ∵ OC平分 ∠AOB ， ∴ ∠AOC ＝ ∠COB ， ∵ AM切 ⊙O 于點(diǎn) A， 即 OA⊥AM ， 又 BD⊥AM ， ∴ OA∥BD ， ∴ ∠AOC ＝ ∠OCB 又 ∵ OC＝ OB， ∴ ∠OCB ＝ ∠B ， ∴ ∠B ＝ ∠OCB ＝ ∠COB ＝ 600。 【考點(diǎn)】 圓切線的性質(zhì)，角平分線定義，直線平行的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。 【分析】 要求 ∠B ， 由于 OC＝ OB， 根據(jù)等邊對(duì)等角可知 ∠OCB ＝ ∠B 。 由于 OA， BD 都垂直于同一條直線AM，從而 OA∥BD ，根 據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，有 ∠AOC ＝ ∠OCB 。 而 OC平分 ∠AOB ， 通過(guò)等量代換可得 ∠B ＝ ∠OCB ＝ ∠COB ， 因此 由三角形的內(nèi)角和1800可得 ∠B ＝＝ 600。 19.（江蘇淮安 10分） 如圖， AD 是 ⊙O 的弦， AB 經(jīng)過(guò)圓心 O，交 ⊙O 于點(diǎn) C，∠DAB ＝ ∠B ＝ 30176。. (1)直線 BD是否與 ⊙O 相切？為什么？ (2)連接 CD，若 CD＝ 5，求 AB的長(zhǎng) . 【答案】 解： (1)直線 BD與 ⊙O 相切 .。理由如下： 如圖，連接 OD， ∵∠DAB 和 ∠DOC 分別是弧 CD 所對(duì)的圓周角和圓心角， 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 25 ∴∠DOC ＝ 2∠DAB ＝ 230176。 ＝ 60176。 。 ∴∠ODB ＝ 180176。 － ∠DOC － ∠B ＝ 180176。 － 60176。 － 30176。 ＝ 90176。 ， 即 OD⊥BD 。 ∴ 直線 BD 與 ⊙O 相切。 (2)∵OA=OD ， ∴∠ODA ＝ ∠DAB ＝ 30176。 ， ∴∠DOB ＝ ∠ODA ＋ ∠DAB ＝ 60176。 ， 又 ∵OC ＝ OD， ∴△DOB 是等邊三角形， ∴OA ＝ OD＝ CD＝ 5。 又 ∵∠B ＝ 30176。 ， ∠ODB ＝ 90176。 ， ∴OB ＝ 2OD＝ 10.。 ∴AB ＝ OA＋ OB＝ 5＋ 10＝ 15。 【考點(diǎn)】 同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，圓切線的判定；含 30176。 角的直角三角形的性質(zhì)。 【分析】 （ 1）根據(jù)切線的判斷定理要判斷 BD與圓相切，即要證明 BD 垂直于過(guò)切點(diǎn) D的半徑，故作輔助線：連接半徑 OD，通過(guò)應(yīng)用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半和三角形內(nèi)角和是 1800來(lái)計(jì)算得到 ∠ODB＝ 90176。 ，從而證明 BD 與 ⊙O 相切。 （ 2） △OCD 是邊長(zhǎng)為 5 的等邊三角形，得到圓的半徑的長(zhǎng)，然后應(yīng)用直角三角形中 30176。 角所對(duì)的邊是斜邊的一半的定理求出 OB 的長(zhǎng)。從而得到 AB 的長(zhǎng)。 20.（山東 濱州 8分 ） 如圖，直線 PM切 ⊙O 于點(diǎn) M，直線 PO 交 ⊙O 于 A、 B兩點(diǎn)，弦 AC∥PM ，連接 OM、 BC． 求證：（ 1） △ABC∽△POM ；（ 2） 2OA2=OP?BC． 【答案】 證明：（ 1） ∵ 直線 PM切 ⊙O 于點(diǎn) M， ∴∠PMO ＝ 90176。 。 ∵ 弦 AB 是直徑， ∴∠ACB ＝ 90176。 。 ∴∠ACB ＝ ∠PMO ， ∵AC∥PM ， ∴∠CAB ＝ ∠P 。 ∴△ABC∽△POM 。 （ 2） ∵△ABC∽△POM ， ∴ AB BCPO OM＝ 。 又 AB＝ 2OA， OA＝ OM， 2OA BCPO OA＝ 。 ∴2OA 2＝ OP?BC． 【考點(diǎn)】 切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】 （ 1）因?yàn)?PM切 ⊙O 于點(diǎn) M，所以 ∠PMO ＝ 90176。 ，又因?yàn)橄?AB是直徑，所以 ∠ACB ＝ ∠PMO ＝ 90176。 ，再由條件弦 AC∥PM ，可證得 ∠CAB ＝ ∠P ，從而可證得 △ABC∽△POM 。 （ 2）由（ 1）可得 AB BCPO OM＝ ，又因?yàn)?AB＝ 2OA， OA＝ OM；所以用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 26 2OA2＝ OP?BC。 21.（山東 菏澤 10分 ） 如圖， BD 為 ⊙O 的直徑， AB=AC， AD 交 BC 于點(diǎn) E， AE=2， ED=4， （ 1）求證： △ABE∽△ADB ； （ 2）求 AB的長(zhǎng)； （ 3）延長(zhǎng) DB到 F，使得 BF=BO，連接 FA，試判斷直線 FA與 ⊙O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1）證明： ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C 。 ∵∠C=∠D ， ∴∠ABC=∠D 。 又 ∵∠BAE=∠EAB ， ∴△ABE∽△ADB 。 （ 2） ∵△ABE∽△ADB ， ∴ AB AEAD AB?， ∴AB 2=AD?AE=（ AE+ED）?AE=（ 2+4） 2=12 。 ∴AB= 23。 （ 3）直線 FA 與 ⊙O 相切。理由如下：連接 OA， ∵BD 為 ⊙O 的直徑， ∴∠BAD=90176。 。 ∴ 在 Rt△ABD 中 ? ? 222B D A B A D 1 2 2 4 4 3? ? ? ? ? ?。 ∴BF=BO= 1BD 2 32 ? 。 ∵AB= 23， ∴BF=BO=AB 。 ∴∠OAF=90176。 。 又 ∵AO 是 ⊙O 的半徑， ∴ 直線 FA 與 ⊙O 相切。 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，切線的判定。 【分析】（ 1）根據(jù) AB=AC，可得 ∠ABC=∠C ，利用等量代換可得 ∠ABC=∠D 然后即可證明 △ABE∽△ADB 。 （ 2）根據(jù) △ABE∽△ADB ，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求得 AB的長(zhǎng)． （ 3）連接 OA，根據(jù) BD 為 ⊙O 的直徑可得 ∠BAD=90176。 ，利用勾股定理求得 BD，然后再求證∠OAF=90176。 即可。 22.（山東濟(jì)寧 7分） 如圖， AB是 ⊙O 的直徑， AM和 BN 是它的兩條切線，DE切 ⊙O 于點(diǎn) E，交 AM與于點(diǎn) D，交 BN于點(diǎn) C， F是 CD的中點(diǎn)，連接 OF。 （ 1） 求證： OD∥BE。 （ 2）猜想： OF與 CD 有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由。 【答案】 解：（ 1）證明：連接 OE。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 27 ∵AM 、 DE是 ⊙O 的切線， OA、 OE是 ⊙O 的半徑， ∴∠ADO=∠EDO ， ∠DAO=∠DEO=90176。 。 ∴∠AOD=∠EOD= 12∠AOE 。 ∵∠ABE= 12∠AOE ， ∴∠AOD=∠ABE 。 ∴OD∥BE 。 (2) OF =12CD。理由如下：連接 OC。 ∵BE 、 CE是 ⊙O 的切線， ∴∠OCB=∠OCE 。 ∵AM∥BN ， ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180176。 。 由（ 1）得 ∠ADO=∠EDO ， ∴2∠EDO+2∠OCE=180176。 ， 即 ∠EDO+∠OCE=90176。 。 在 Rt△DOC 中， ∵ F 是 DC 的中點(diǎn)， ∴OF = 12CD。 【考點(diǎn)】 圓的切線性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，平行的判定和性質(zhì)，直角三角形中位線的性質(zhì)。 【分析】 （ 1）連接 OE，要證 OD∥BE ，根據(jù)平行的判定定理，只要 ∠AOD=∠ABE 。一方面由 AM和 BN是 ⊙O的兩條切線，根據(jù) 圓的切線性質(zhì)有 ∠AOD= 12 ∠AOE ；另一方面由，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半的關(guān)系，得 ∠ABE= 12 ∠AOE 。從而得證。 （ 2）連接 OC，要證 OF =12 CD，由已知 F是 DC的中點(diǎn)，只要證 △DOC 是直角三角形即可。由 AM、DE、 BE 是 ⊙O 的切線可得 ∠ADO=∠EDO 和 ∠OCB=∠OCE ；又由 AM∥BN 知 ∠ADC+∠DCB =180176。 ，從而得證。 23.（山東聊城 8分） 如圖， AB是半圓的直徑，點(diǎn) O是圓心，點(diǎn) C是 OA的中點(diǎn)， CD⊥OA 交半圓于點(diǎn) D，點(diǎn) E 是 BD⌒ 的中點(diǎn)，連接 AE、 OD，過(guò)點(diǎn) D作 DP∥AE 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P． (1)求 ∠AOD 的度數(shù)； (2)求證： PD 是半圓 O 的切線． 【答案】 （ 1）解： ∵ 點(diǎn) C是 OA的中點(diǎn)， ∴OC ＝ 12 OA＝ 12 OD。 ∵CD⊥OA ， ∴∠OCD ＝ 90176。 。 在 Rt△OCD 中， cos∠COD ＝ OC1OD2? ， ∴∠COD ＝ 60176。 ，即 ∠AOD ＝ 60176。 。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 28 （ 2）證明：連接 OE， ∵ 點(diǎn) E是 BD⌒ 的中點(diǎn)， ∴ DE BE? 。 ∴∠BOE ＝ ∠DOE ＝ 12∠DOB ＝ 12（ 180176。 － ∠COD ） ＝ 12（ 180176。 － 60176。 ） =60176。 。 ∵OA ＝ OE， ∴∠EAO ＝ ∠AEO ，又 ∠EAO ＋ ∠AEO ＝ ∠EOB ＝ 60176。 ， ∴∠EAO ＝ 30176。 。 ∵PD∥AE 。∴∠P ＝ ∠EAO ＝ 30176。 。 由（ 1）知 ∠AOD ＝ 60176。 ，即 ∠POD ＝ 60176。 ， ∴∠PDO ＝ 180176。 －（ ∠P ＋ ∠POD ）＝ 180176。 －（ 30176。 ＋ 60176。 ）＝ 90176。 。 ∴PD 是半圓 O的切線。 【考點(diǎn)】 銳角三角函數(shù)，等弧所對(duì)圓周角的性質(zhì)，互為鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，平行的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓的切線的判定。 【分析】 （ 1）在 Rt△OCD 中，應(yīng)用銳角 三角函數(shù)即可求出 ∠AOD 的度數(shù)。 （ 2）要證 PD 是半圓 O 的切線，即要 ∠PDO ＝ 90176。 ，也即要 ∠P ＋ ∠POD ＝ 90176。 。一方面由（ 1）知 ∠POD ＝ 60176。 ；另一方面由 PD∥AE 知 ∠P ＝ ∠EAO ，而 ∠EAO 由鄰補(bǔ)角和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和，可以求出等于 30176。 ，從而得證。 24.（山東淄博 9分） 已知： △ABC 是邊長(zhǎng)為 4的等邊三角形，點(diǎn) O在邊 AB上， ⊙O 過(guò)點(diǎn) B且分別與邊 AB， BC相交于點(diǎn) D， E， EF⊥AC ，垂足為 F. （ 1）求證：直線 EF是 ⊙O 的切線； （ 2）當(dāng)直線 DF與 ⊙O 相切時(shí) ，求 ⊙O 的半徑 . 【答案】 解：（ 1）證明：連接 OE，則 OB=OE。 ∵△ABC 是等邊三角形， ∴∠ABC=∠C=60176。 。 ∴△OBE 是等邊三角形。 ∴∠OEB=∠C =60176。 。 ∴OE∥AC 。 ∵EF⊥AC ， ∴∠EFC=90176。 。 ∴∠OEF=∠EFC=90176。 。 ∴EF 是 ⊙O 的切線。 （ 2）連接 DF, ∵DF 是 ⊙O 的切線， ∴∠ADF=90176。 。 設(shè) ⊙O 的半徑為 r，則 BE=r， EC=4r? ， AD=42r? 。 在 Rt△ADF 中， ∵∠A=60176。 ， ∴AF=2AD= 84r? 。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 29 ∴FC= ? ?4 8 4 4 4rr? ? ? ?。 在 Rt△CEF 中 ， ∵∠C=60176。 ， ∴EC =2FC。 ∴ 4r? =2（ ? ?44r? ）。 解得 43r?。 ∴⊙O 的半徑是 43。 【考點(diǎn)】 等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，圓切線的判定，含 300角直角三角形的性質(zhì)。 【分析】 （ 1）要證 EF 是 ⊙O 的切線，即要證 EF垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，故連接 OE，易證 △OBE 是等邊三角形，從而由平行的判定和性質(zhì)即可證得 ∠OEF=∠EFC=90176。 而得證。 （ 2）由兩