【正文】 右邊111 b bb????, 等式成立 . (ⅱ )假設(shè) ? ?1n k k??時 ,猜想成立 ,即1 2 2 12 2 2kk k k k kkba b b b? ? ? ?? ? ? ? ?, 當 1nk??時 , ? ?? ?1 12 1 2kk k k b aa ak? ?? ? ? ? ? ?1 2 2 11 2 2 112 2 222 2 2kk k k kkk k k kk b k bb b bkb kb b b? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? 11112 2 2kk k k kkbb b b????? ? ? ? ?. 故 1nk??時 ,猜想也成立 . 由 (ⅰ )、 (ⅱ )知，對任意 n? N* ， 1 2 2 12 2 2nn n n n nnba b b b? ? ? ?? ? ? ? ?. 解法 6: 由 1 ,ab? 知 11 22nnnnbaa an??? ??0? , 11221 nnnana nba????? 11 1 2 ( 1) 1nnna b n b n a???? ① 當 2b? 時 , 可得 11 1 2 2 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 1 )nnna b n n b a b n????? ? ???? ? ??? 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 28 記 11( 2)n nA a b n?? ? 則： 122nnnAAnb ??? ? 321 1 2 1nn nAAAAA A A A ?? ? ? ? ? ? ?212 2 1 2 2( 2 ) 2 3 nb b b b n b???? ? ? ? ?? 112 2 [ 1 2 3 ( 1 ) ]( 2 ) ( 2 3 4 )nnnb b n b??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 2(2 )nnn b b? ? ? 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )n n nnnn ba n b b n b n b b?? ? ?? ? ?； ? ( 2)2 nnnnn b ba b ?? ? ② 當 2b? 時 , 2n nA?. ∴ ? ?2 ,222 , 2nnnnnb b ba bb? ? ??? ? ???? 解法 7：211)1(2 1111??????? ????nanabnabanannnnn 令 naA nn ?，則 21 1?? ? ?n nn AbAA 當 2?b 時：則??????nA1 是首項為等差數(shù)列 21 公差為 21 ? 221)1(211 nnAn ????? ? nAn 2? ? 2?na 當 2b? 時： 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 29 1111 1112( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 )( 2 )2nn n nnn n nnbAA A b AbAA b b A b A bbA???? ??????? ? ? ? ? ???? 11112 ( 2 ) 2 2 ( 2 )nnnnb A Abb A b A b????? ? ?? ? ? ? ? ( 2)nnAAb????????是首項為 11 ( 2) 2A bAb ??? ，公比為 2b 的等比數(shù)列 ? 1()( 2 ) 2 2 2 nnnnn A b b bAb ????? ? 2 ( 2 )n n nnnA b A b b? ? ? ? ( 2)2 nnnnbbA b?? ? ? ( 2)2 nnnnb nba b?? ? 第二問（證明不等式： 對于一切正整數(shù) n , 11 12nn nba????） （本小題滿分 6分） (3)證法 1 (國標 ): 當 2b? 時 , (欲證 ? ? 112 122n nn n n nn b b ba b???? ? ??,只需證 11 2122n n nnnbbnb b???? ????? ???)， ? ?11 22 2nnnn bb b?? ????? ?? ?1 1 1 2 12 2 2n n n n nb b b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 212 2 222 2 2n n nnnn n nb b bb b b b????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? 12 2 2 2 2n n n nb n b?? ? ? ? ? , 所 以 ? ? 112 122n nn n n nn b b ba b ???? ? ?? 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 30 當 2b? 時 , 11212nn nba??? ? ?. 綜上所述 , 11 12nn nba????. 證法 2: 當 2b? 時 , 欲證 11 2 2 3 2 1 1 12 2 2 2 2nnn n n n n n nn b ba b b b b?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?, 只需證 ? ?1 1 2 2 11 1 2 2 22 nn n n n nnbn b b b b? ? ? ? ????? ? ? ? ? ????? . 事實上， ? ?1 1 2 2 11 1 2 2 22n n n n nnb b b b? ? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ?1 1 2 2 11 2 2 22n n n n nnb b b b? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?1 2 2 12 2 2n n n nb b b? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 1 1122 2 2n n nnnb b b?????? ? ? ?????? ?1 2 2 12 2 2n n n nb b b? ? ? ?? ? ? ? 2 2 1 11 2 1222 2 2n n nn n nnnb b bbb??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 2 1 11 2 1122 2 2 2 22 2 2n n nn n nnnb b bbb??? ? ??? ? ? ? nnb? 當 2b? 時 , 11212nn nba??? ? ?. 綜上所述 , 11 12nn nba????. 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 31 分析： 對于一切正整數(shù) n, 11 12nn nba????。當 0b? 且 2b? 時，下證 ? ? 12 122 1nn nnb bab?? ??? ? ????????????1 21122nnbb nb?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 1*2 122( ) , ( )2nnbbbf n n n Nb?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 證法 3：對于一切正整數(shù) n, 11 12nn nba????。 當 2b? 時，左邊 2na? ，右邊 11 122nnb??? ? ?，不等式顯然成立，且取等號。 當 2b? 時，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 *( ) , ( )f n n n N?? ① 當 1n? 時， 221 4 1 12 2 2( 1 ) 2 12 4 4 4nb b bb b bfb b b b? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??結(jié)論成立 ② 假設(shè)當 n=k時， ()f k k? 成立， 1 2 12222( 1 ) ( )2k k k kbbbbf k f kb? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? 122 11222kkbbbbb?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 11 2 122kkbbb?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 111222kkbb????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? 112 12kkbb??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 32 因此， ( 1) ( ) 1f k f k? ? ? 即 ( 1 ) ( ) 1 1f k f k k? ? ? ? ? 成立。由 ①② 知，對一切 *nN? 都有 ()f n n? ，所以對于一切正整數(shù) n, 11 12nn nba???? 證法 4:當 2?b 時，要證 122 )2(11 ??? ???nnnnn bb bnb 1222 11121 ?????? ????? nnnnn n bbb nb ? 1 2 1 1 2 122 22nnn n n n n n n nn b n ba bb n b b? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2 ) 1 1 2 ( 1 )2nn n n nbb? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 122222121