【正文】 f t dt a? ??，（常數(shù) 0a? ）證明：()fx為周期函數(shù)。 證 ( ( ) ) ( ) ( ) 0xax f t d t f x a f x? ? ? ? ? ?? ? ( ) ( )f x a f x?? ? Ta? （ 2）設(shè) ()fx在 (0, )?? 連續(xù)，且對(duì)任意正數(shù) ,a b 積分 ()aba f x dx?與 a 無關(guān)，求證： ()cfxx? ， c 為常數(shù)。 證 因?yàn)?()aba f x dx?與 a 無關(guān)，所以 ( ( ) ) 0abad f x dxda ?? ? ( ) ( ) 0bf ab f a?? 取 1a? ， bx? ? (1)() fcfx xx?? （ 3） 設(shè) 01 ( ) 0()00x t f t dt xFx xx? ??? ????? ，其中 ()fx在 ? ?0,?? 上連續(xù)，單調(diào)遞增，且(0) 0f ? ，證明： ()Fx在 ? ?0,?? 上連續(xù)且單調(diào)遞增。 證 當(dāng) 0x? 時(shí)，顯然 ()Fx連續(xù)，又 00 0 01l im ( ) l im ( ) l im ( ) 0 ( 0 )xx x xF x t f t d t x f x Fx? ? ?? ? ?? ? ? ?? 故 ()Fx在 0x? 處連續(xù)，從而 ()Fx在 ? ?0,?? 上連續(xù) 2022( ) ( ) ( ) ( )() xx f x x t f t dt x f x f xFxxx ???? ??? ???( ) ( )xf x fx???? ， ? ?0,x?? 由于 ()fx單調(diào)遞增， ( ) ( ) ( 0) 0f x f f?? ? ?，則 ( ) 0Fx? ，故 ()Fx單調(diào)遞增 12． 應(yīng)用 介質(zhì)定理、 微分和積分中值定理 的命題 解題思路 第 6 章 定 積 分 230 （ 1）若結(jié)論不含 ? ，則將結(jié)論改寫為 ( ) 0Fx? 的形式，左邊設(shè)為輔助函數(shù)，用 介質(zhì)定理、 微分 和 積分中值定理 求解； （ 2）若結(jié)論含 ? ，將結(jié)論左邊改寫為某 微分中值定理 的標(biāo)準(zhǔn)形式（右邊含 ? ），再由此作輔助函數(shù)（有時(shí)需將所含定積分 化為積分上限的函數(shù)），用 微分 和 積分中值定理 求解； （ 3）若結(jié)論為含 ? 的微分方程，可由觀察法或解方程求出輔助函數(shù)，用 微分 和 積分中值定理 求解。 例 27 設(shè) ()fx在 ? ?ba, 上連續(xù)，且 ( ) 0fx? ，證明方程 1( ) 0()xxabf t d t d tft????，在 ? ?,ab內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。 證 存在性：設(shè) 1( ) ( )()xxabF x f t d t d tft????，由題設(shè)知 ()Fx在 ? ?ba, 上連續(xù)，且 1( ) 0()abF a dtft???； ( ) ( ) 0baF b f t dt??? 由零點(diǎn)定理必有 ( ) 0F? ? ， ? ?,ab?? 唯一性： 1( ) ( ) 2()F x f t ft? ? ? ?，故 ()Fx在 ? ?,ab內(nèi)單調(diào)增加，零點(diǎn) ? 唯一 例 28 設(shè) ()fx， ()gx 在 ? ?ba, 上連續(xù)，證明至少 ? ?ba,?? ，使得 （ 1） ( ) ( ) ( ) ( )baf g x d x g f x d x???????；（ 2） () ()()()babaf x dx fgg x dx?????， ( ) 0gx? （ 1） 證 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b x ba a x xf g x d x g f x d x f t d t g t d t?? ??? ?????? ????? ? ? ? 設(shè) ( ) ( ) ( )xbaxF x f t d t g t d t? ??，顯然 ()Fx 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)，且( ) ( ) 0F a F b??，由羅爾定理至少 ? ?ba,?? ，使得 ( ) 0F ?? ? ，即 ( ) ( ) ( ) ( )b af g x d x g f x d x??????? （ 2） 證法 1 設(shè) ( ) ( )xaF x f t dt??， ( ) ( )xaG x G t dt??，顯然 ()Fx， ()Gx在 ? ?ba, 上滿足柯西條件，且 ( ) 0Fa? ， ( ) 0Ga? ，所以 第 6 章 定 積 分 231 () ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()babaf x dx F b F a F fG b G a G gg x dx??????? ? ?????， ? ?ba,?? 證法 2 令 ( ) ( )xaF x f t dt??， ( ) ( )xaG x g t dt?? 設(shè) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxaaW x F b g t d x G b f t d x????，顯然 ()Wx在 ? ?ba, 上連續(xù)，又 ( ) 0Wa? ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0W b F b G b G b F b??? 由羅爾定理，在 ? ?ba, 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使 ( ) 0W ?? ? ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0F b g G b f???? ? ()( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()babaf x dxF b F b F a fG b G b G a gg x dx???? ? ???? 例 29 設(shè) ()fx 在 ? ?0,1 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，且滿足 1 10(1) ( )k xf k xe f x dx?? ?，（ 1k? ），證明：至少存在一點(diǎn) (0,1)?? ，使得 1( ) (1 ) ( )ff? ? ??? ?? 證 由于結(jié)論為微分方程型，而端點(diǎn)函數(shù)值 1 10(1) ( )k xf k xe f x dx?? ?的被積函數(shù)即為方程的解，故設(shè) 1( ) ( )xF x xe f x?? ， 由積分中值定理至少存在一點(diǎn) (0,1/ )k?? ，使得 1 110(1 ) ( ) ( )k xf k x e f x d x e f???????? ? ( ) (1) (1)F f F? ?? 又 ()Fx在 ? ?,1? 上連續(xù)，在 (,1)? 內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理 有 ( , 1) (0, 1)????，使得 ? ?1( ) ( ) ( ) ( ) 0F e f f f?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? 1( ) (1 ) ( )ff? ? ??? ?? 例 30 設(shè) ()fx在 ? ?,ab 上連續(xù)， ( ) 0ba f x dx??， ( ) 0ba xf x dx ??，求證：在 (, )ab 內(nèi)至少存在兩點(diǎn) 12??? ，使得 12( ) ( ) 0ff???? 證法 1 令 ( ) ( )xaF x f t dt??，則 ( ) ( )F x f x? ? ，且 ( ) ( ) 0F a F b??，又 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0bb b b ba a a aax f x d x x d F x x F x F x d x F x d x? ? ? ? ? ?? ? ? ? 由積分中值定理有 ( ) ( ) ( ) 0ba F x d x F b a?? ? ?? ? ( ) 0F? ? ， ( , )ab?? 第 6 章 定 積 分 232 于是 ( ) ( ) ( ) 0F a F F b?? ? ?， 對(duì) ()Fx在 ? ?,a? ， ? ?,b? 上分別應(yīng)用羅爾定理得 11( ) ( ) 0Ff??? ??， 1 ( , )a??? ； 22( ) ( ) 0Ff??? ??， 2 ( , )a??? 證法 2 令 ( ) ( )xaF x f t dt??，則 ( ) ( )F x f x? ? ，且 ( ) ( ) 0F a F b?? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0bb b b ba a a aax f x d x x d F x x F x F x d x F x d x? ? ? ? ? ?? ? ? ? 若 ()Fx在 (, )ab 內(nèi)無零點(diǎn)，則 ()Fx在 (, )ab 內(nèi)不變號(hào) ( ) 0ba F x dx??，矛盾，故必有( ) 0Fc? ， ( , )c ab? ，由羅爾定理有 12a c b??? ? ? ?，使得 12( ) ( ) 0FF?????? ? 12( ) ( ) 0ff???? 證法 3 1( ) ( ) ( ) 0ba f x d x f b a?? ? ??， 1 ( , )ab?? ? 1( ) 0f ? ? 22( ) ( ) ( ) 0ba x f x d x f b a??? ? ??， 2 ( , )ab? ? ? 2( ) 0f ? ? 若 ()fx只有一個(gè)零點(diǎn) 12??? ，則 ()fx在 1( , )a? 及 1( , )b? 內(nèi)定號(hào)。 ○ 1 ()fx在 1( , )a? 及 1( , )b? 內(nèi)同號(hào)，不妨設(shè) ( ) 0fx? ，則 ( ) 0ba f x dx?? ， 矛盾 ○ 2 ()fx在 1( , )a? 及 1( , )b? 內(nèi)異號(hào)，不妨設(shè) ( ) 0fx? ， 1( , )xa?? ； ( ) 0fx? ， 1( , )xb?? ，則 110 ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ax f x d x f x d x x f x d x??? ? ? ?? ? ? 1111( ) ( ) ( ) ( ) 0ba x f x d x x f x d x? ???? ? ? ? ???， 矛盾 故 ()fx在 (, )ab 內(nèi)至少存在兩點(diǎn) 12??? ，使得 12( ) ( ) 0ff???? 13． 定積分 不 等式的證明 解題思路 常用定理：定積分的比較定理，估值定理，函數(shù)單調(diào)性判別法，微分與積分中值定理，泰勒公式； 常用不等式： 222a b ab?? ， 1 2a a?? ( 0)a? ，柯西不等式 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ?????? ? ? 常用等式： bab a dx???， 1ln bab dxax??， ( ) 0( ) ( ) ( ) ( )xfaaf x f x f a f t d t? ??? ?時(shí) 第 6 章 定 積 分 233 （ 1）利用換元法、分部法或周期函數(shù)的定積分性質(zhì)直接求證； （ 2）若僅知被積函數(shù)連續(xù) ：作輔助函數(shù) ， 將結(jié)論所含定積分化為 變限積分 ，移項(xiàng)使右邊為零，左邊即為輔助函數(shù)，再用函數(shù)單調(diào)性或求證。 （ 3）若已知被積函數(shù)可導(dǎo)，且至少有一端點(diǎn) ( ) 0fa? ：將函數(shù)化為變限積分，即( ) ( )xaf x f t dt??? ，或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f a f x a??? ? ? ?求證； （ 4） 若已知被積函數(shù)二階可導(dǎo)：將被積函數(shù)按 泰勒 公 式 展開并 縮放，利用定積分比較定理求證 。 例 32 設(shè)0( ) cosxS x t dt??，（ 1）當(dāng) n 為正整數(shù)，且 ( 1)n x n??? ? ? 時(shí)，證明：2 ( ) 2( 1)n S x n? ? ?；（ 2）求 ()limx Sxx?? 證 （ 1） ( 1 )00c o s ( ) c o snnx d x S x x d x?? ?????， T ?? 00c o s c o s 2n x d x n x d x n??????； ( 1 )00c o s ( 1 ) c o s 2 ( 1 )n x d x n x d x n??? ? ? ? ??? ? 2 ( ) 2( 1)n S x n? ? ?， ( 1)n x n??? ? ? （ 2） 2 ( ) 2 ( 1 )( 1 )n S x nn x n??????，由夾逼準(zhǔn)則 ? ( ) 2limxSxx ??? ? 例 33 設(shè) ()fx在 ? ?0,1 上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明：當(dāng) 01???時(shí)， 100( ) ( )f x dx f x dx? ???? 證法 1 由定積分對(duì)區(qū)域的可加性和中值定理有 110 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 12(1 ) ( ) (1 ) ( )ff? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12(1 ) ( ) ( ) 0ff? ? ? ?? ? ? ? 12(0 1)? ? ?? ? ? ? 證法 2 令 xt?? ，則 01???， ()fx? ? tt?? ， ( ) ( )f