【正文】 a xb x ybx x y x y b x y a bbx x y ?? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ??。 六、設(shè)數(shù)列 {}na 為單調(diào)遞減數(shù)列且極限為零，且對(duì)任意正整數(shù) n 均有1nknk a na? ??是有界的。證明級(jí)數(shù)1 nn a???收斂。 證明：由題設(shè)知 0na? ，若記1nnkksa???，那么只要證明數(shù)列 {}ns 有界即可。 因?yàn)?nknk a na? ??有界，因而 0M??，對(duì) 1,2,n?? 均有1nknk a na M? ???， 又因?yàn)?lim 0nn a?? ?那么對(duì)于任意取定的正整數(shù) m ， n? 使得 2mn aa?。由此可得 1 1 1 1() 22n m n m mmk n k n k n kk k k m k m a m aM a n a a m a a a a? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 所以1mkkM a M????，即1 2mkk aM? ??，由 m 的任意性，可得數(shù)列 {}ns 有界，因而級(jí)數(shù) 1 nn a???收斂。 七、設(shè) ( ) 0, ( ) 0f x f x????，對(duì)任意的 [ , ]x ab? 成立，證明： 2( ) ( ) dbaf x f x xba? ? ?。 證明： 設(shè)函數(shù)在 0xx? 處取最大值，并考察在 x 處的 Taylor 展開(kāi)，有： 20 0 0 01( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2f x f x f x x x f x x f x f x x x?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 兩邊積分，得：00( ) d [ ( ) ( ) ( ) ] dbbaaf x x f x f x x x x?? ? ??? 即： ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaab a f x f x x f x x x x?? ? ? ??? 0( ) d ( ) d ( )f x x x f x? ? ??? 19 002 ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) dbbaaf x x f b x b f a x a f x x? ? ? ? ? ??? 由于 0()fx 取最大值，故結(jié)論成立。 合肥工業(yè)大學(xué) 2022 年大學(xué)生（非數(shù)學(xué)）高數(shù)競(jìng)賽模擬題答案（ 五 ） 一、簡(jiǎn)答題 1．設(shè) ? ?1sin 0lim 0nnxxxfx nxxnx????? ???? ????? ????? ????，試討論 ??fx在 0x? 處的連續(xù)性。 解答： 2lim( ) xn nx enx?? ? ?? ， 20l im ( ) 1 ( 0 ) 1xx ef? ? ???? ? ? ? ? ? ? 左連續(xù) 0001lim s in 0xn x x??????? ? ??不 存 在 ?當(dāng) 0?? 且 1??? 時(shí)， ??fx在 0x? 處連續(xù) 2．對(duì)于連續(xù)函數(shù) ()fx，證明： 2 2220 2( c o s s in ) 2 ( s in )f a x b x d x f a b x d x????? ? ???。 解答： 22222 2 2 2002220322 2 2 22232 2 2 22222222( c os si n ) [ ( si n c os ) ][ si n( ) ] a r c t a n( si n ) ( si n )( si n ) ( si n )2 ( si n )abf a x b x dx f a b x x dxa b a baf a b x dxbf a b u du f a b u duf a b u du f a b u duf a b x dx????????????????????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????， 其 中 ：2? 3．設(shè) 2222 ta n( ) , ( , ) ( 0 , 0)( , )0 , ( , ) ( 0 , 0)xy x y x yxyf x yxy?? ????? ????，證明： ( , )f xy 在（ 0,0）處可微， 20 并求(0,0)( , )df x y。 解答： 2300( , 0 ) ( 0 , 0 ) ta n( 0 , 0 ) l im l im 1 ,x xxf x f x xf xx???? ? ? ? 2300( 0 , ) ( 0 , 0 ) ta n( 0 , 0 ) l im l im 1 ,y yyf y f y yf yy????? ? ? ? ? 故， ( , ) ( 0 , 0) ( 0 , 0) ( 0 , 0)xyw f x y f f x f y??? ? ? ? = 2222 ta n ( )xy x y x yxy? ? ? ?? 22222200 0ta n( )l im l imxyxy x y x yw xyxy? ??? ?? ? ? ????22222200ta n ( )l im ( 1 ) 0xyx y x yxyxy????? ? ??? （2 2 2 2 2 2 2xyxyx y x y x y? ???? ? ? ，222200ta n ( )lim( 1) 0xyxyxy??? ??? ） 所以， ( , )f xy 在（ 0， 0）處可微，且：( 0 ,0 )( , )df x y dx dy??。 . 4．設(shè) Ω 是由錐面 22z x y??與半球面 2 2 2z R x y? ? ?圍成的空間區(qū)域， ? 是 ? 的整個(gè)邊界的外側(cè) ， 試求： d d d d d dx y z y z x z x y? ???? 解答： 2 2 2 2220 2d d d d d d 3 3 [ ( ) ]RR Rx y z y z x z x y d v r d r R r d r????? ? ? ? ? ??? ??? ? ? = 2(2 2) R?? 5． 設(shè)函數(shù)2 1, 0 ,2()11 , 12xxfxxx? ????? ?? ? ? ???的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1 sinnn b n x????，其中系數(shù) 102 ( ) s in d ( 1 , 2 , )nb f x n x x n???? ，若記 ()sx 為級(jí)數(shù)1 sinnn b n x????的和函數(shù)，求 5()2s?與 13()4s 的值。 解答： 21 11( ( ) ) ( ( ) )5 1 1 322( ) ( ) ( )2 2 2 2 4ffs s s???? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 3 3 3 1( ) ( ) ( )4 4 4 4s s f? ? ? ? ? ?。 二、設(shè)函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且存在 ? ?,c ab? ，使得 ( ) 0fc? ? ，證明：存在( , )ab?? ，使得 ( ) ( )() f f af ba?? ?? ? ? 分析：將結(jié)論中的 ? 改為 x 得 ( ) ( )() f x f afxba?? ? ? ? ? ? ?1( ) ( ) ( ) ( )f x f a f x f aba?? ? ? ?? 上式兩邊乘以 xbae? 得 ? ? ? ?1( ) ( ) ( ) ( ) 0xxb a b ae f x f a e f x f aba?? ?? ? ? ?? ? ?( ) ( ) 0xbae f x f a? ???? ? ????? 解答： 令 ? ?( ) ( ) ( )xbaF x e f x f a???，則： ( ) 0Fa? 1）若 ( ) 0Fc? 即 ( ) ( )f a f c? 時(shí)，由羅爾定理，存在 ( , )ac?? 使 ( ) 0F?? ? ，即 ( ) ( )() f f aFba?? ?? ? ? 2）若 ( ) 0Fc? ，不妨設(shè) ( ) 0Fc? ，則 ? ?? ?1( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )1 ( ) 0cbacbaF c e f c f c f abae f c f abaFcba????? ? ? ????????? ? ??????? ? ?? 而 ()Fx在 ? ?,ac 上利用 Lagrange 公式得， 1 ( , )ac??? 使1 ( ) ( ) ( )( ) 0F c F a F cF c a c a? ?? ? ? ??? 所以由 ()Fx? 在 ? ? ? ?1,c a b? ? 上連續(xù)及連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理得，存在 ? ? ? ?1,c a b????， 使 ( ) 0F?? ? 即 ( ) ( )() f f afba?? ?? ? ? 三、 設(shè) 320sinsinn nta t dtt?? ? ，證明：11n na???發(fā)散。 22 解答： 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)11n na???，有： 3 222 2 2330 0 02 2 23 3 32 2 22 2 20 0 023320si n si n si nsi nsi n si n si nsi n si n si n()si nsi n2nnnt nt nta t dt t nt dt t dtt t tt nt nt sdt M dt n M dst t t stnM dt nMt? ? ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? 故，結(jié)論成立。 四 、設(shè)在上半空間 0?z 上函數(shù)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)， 且 2 ( ) , ( ) , ( ) ,x y zu x y z x r u x y r u x z z r? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中 2 2 2r x y z? ? ? ， 0lim ( )r r???存在，( , , ) ( 0 ,0 ,0 )lim ( , , ) 0x y z u x y z? ?， [ ( , , )] 0div gra du x y z ?，求 ( , , )u x y z 的表達(dá)式。 解答： 由 0)],([ ?zyxgradudiv 得 0?? ???? ???? ?? zuyuxu zyx， 即 0])()(1[])()([])()(2[ ?????????????? rzrzrryryrrxrxr ?????? 化簡(jiǎn)得： 03)(3)( ???? rrr ?? ，即 rrrr 3)(3)( ???? ?? ， 通解為 1]3[)(333 ??????? ??rCCdrerer drrdrr? 由 )(lim0 rr ???存在 1)(0 ????? rC ?， 從而 ,y2 xuyxuzxxzyxu zyx ????????????? 由此可得： dzudyudxudu zyx ?????? xdzdyyxdxzyx ?????? )()( )22())(()( 22 xzxyyxdxdzz dxxdyy dxy dyxdx ????????? 所以 122 )()(21 Czyxyxu ?????，又由 00),(lim1)0,0,0(),( ???? Czyxuzyx 23 故： )()(21 22 zyxyxu ???? 。 五、設(shè)函數(shù) ()fx連續(xù)且恒大于零， 2 2 2()22()()()()tDtf x y z dvFtf x y d ?? ????????? ， 22()2()()()Dtttf x y dGtf x dx???? ??? 其中 ? ?2 2 2 2( ) ( , , )t x y z x y z t? ? ? ? ?， ? ?2 2 2( ) ( , )D t x y x y t? ? ?。 1．討論 ()Ft 在區(qū)間 (0, )?? 內(nèi)的單調(diào)性； 2．證明：當(dāng) 0t? 時(shí)， 2( ) ( )F t G t?? 。 解答： 1． 因?yàn)椋?2 2 2 2 20 0 0 02 220 0 0( ) si n 2 ( )()( ) ( )