安徽省“江淮十?！备呖紨?shù)學(xué)理科模擬試卷(月)含解析-資料下載頁(yè)
2025-01-08 21:26本頁(yè)面
【正文】 ， ∴ x 軸是 ∠ PBQ 的解平分線． k 不存在時(shí)，結(jié)論同樣成立． 21．已知函數(shù) f（ x） =x|x+a|﹣ lnx． （ 1）當(dāng) a=0 時(shí)，討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）若 a＜ 0，討論函數(shù) f（ x）的極值點(diǎn)． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ 1）當(dāng) a=0 時(shí)， f（ x） =x2﹣ lnx，函數(shù)的定義域?yàn)椋?0， +∞），求導(dǎo)數(shù)，斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷 f（ x）的單調(diào)性； （ 2）分類討論，利用極值的定義，即可討論函數(shù) f（ x）的極值點(diǎn)． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a=0 時(shí)， f（ x） =x2﹣ lnx，函數(shù)的定義域?yàn)椋?0， +∞）． 第 17 頁(yè)（共 20 頁(yè)） f′（ x） = ， 令 f′（ x） ＞ 0，可得 x＞ ， f′（ x） ＞ 0，可得 0＜ x＜ ， ∴ 函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間是（ ， +∞），單調(diào)減區(qū)間是（ 0， ）； （ 2）當(dāng) a＜ 0 時(shí)， f（ x） = ． ①x＞ ﹣ a 時(shí)， f′（ x） = =0，可得 x1= ， x2= ＜ ﹣ a（舍去）． 若 ≤ ﹣ a，即 a≤ ﹣ ， f′（ x） ≥ 0， ∴ 函數(shù) f（ x）在（﹣ a， +∞）上單調(diào)遞增； 若 ＞ ﹣ a，即﹣ ＜ a＜ 0，則當(dāng) x∈ （﹣ a， x1）時(shí)， f′（ x） ＜ 0， x∈ （ x1， +∞），f′（ x） ＞ 0， ∴ f（ x）在 ∈ （﹣ a， x1）上單調(diào)遞減，在（ x1， +∞）上單調(diào)遞增． ②當(dāng) 0＜ x＜ ﹣ a 時(shí)， f′（ x） = =0，得﹣ 4x2﹣ 2ax﹣ 1=0． 記 △ =4a2﹣ 16． △≤ 0，即﹣ 2≤ a＜ 0， f′（ x） ≤ 0， ∴ f（ x）在（ 0，﹣ a）上單調(diào)遞減； △＞ 0，即 a＜ ﹣ 2， f′（ x） =0 可得 x3= ， x4= 且 0＜ x3＜ x4＜﹣ a． x∈ （ 0， x3）時(shí)， f′（ x） ＜ 0， x∈ （ x3， x4）時(shí)， f′（ x） ＞ 0， x∈ （ x4，﹣ a）， f′（ x） ＜ 0， ∴ f（ x）在（ 0， x3）上單調(diào)遞減，在（ x3， x4）上單調(diào)遞增，在（ x4，﹣ a）上單調(diào)遞減， 綜上所述， a＜ ﹣ 2 時(shí)， f（ x）的極小值點(diǎn)為 ，極大值點(diǎn)為 ；﹣ 2≤ a≤ ﹣ 時(shí)， f（ x）無(wú)極值點(diǎn)； ﹣ ＜ a＜ 0 時(shí)， f（ x）的極小值點(diǎn)為 ． 第 18 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 請(qǐng)考生在第 2 2 24 三題中任選一題作答，如果多選，則按所做的第一題記分 .[選修 41:幾何證明選講 ] 22．如圖，圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， BD 是圓的直徑， AB=AC，延長(zhǎng) AD 與 BC 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E，作 EF⊥ BD 于 F． （ 1）證明： EC=EF； （ 2）如果 DC= BD=3，試求 DE 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】 （ 1）通過(guò)證明 △ DEF≌△ DEC，即可證明： EC=EF； （ 2）如果 DC= BD=3，證明 ∠ BDC=∠ EDC，利用等腰三角形的性質(zhì)求 DE 的長(zhǎng)． 【解答】 （ 1）證明：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得 ∠ ABC=∠ CDE； ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ ACB， ∵∠ ACB=∠ ADB=∠ EDF， ∴∠ CDE=∠ EDF， ∵ BD 是圓的直徑， ∴ BC⊥ DC， ∵ EF⊥ BD， DE=DE， ∴△ DEF≌△ DEC， ∴ EC=EF； （ 2）解： ∵ DC= BD=3， BC⊥ DC， ∴∠ BDC=60176。， ∴∠ BAC=60176。， ∴∠ ABC=60176。， ∴∠ EDC=60176。， ∴∠ BDC=∠ EDC， ∵ DC⊥ BC， ∴ DE=BD=6． [選 修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 23．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線 C 的參數(shù)方程為：（ φ 為參數(shù)），直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρ（ cosθ+sinθ） =4． （ 1）求曲線 C 的普通方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若點(diǎn) P 在曲線 C 上，點(diǎn) Q 在直線 l 上，求線段 PQ 的最小值． 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 第 19 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 【分析】 （ 1）曲線 C 的參數(shù)方程為： （ φ 為參數(shù)），利用 cos2φ+sin2φ=1 可得普通方程．把 x=ρcosθ， y=ρsinθ 代入直線 l 的極坐標(biāo)方程 ρ（ cosθ+sinθ） =4，可得直角坐標(biāo)方程． （ 2）令 P ，（ α∈ [0， 2π））．則點(diǎn) P 到直線 l 的距離d= = ，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出． 【解答】 解：（ 1）曲線 C 的參數(shù)方程為： （ φ 為參數(shù)），可得普通方程： +y2=1． 直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρ（ cosθ+sinθ） =4，可得直角坐標(biāo)方程： x+y﹣ 4=0． （ 2）令 P ，（ α∈ [0， 2π））．則點(diǎn) P 到直線 l 的距離d= = ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) =1 時(shí)取等號(hào)． ∴ 線段 PQ 的最小值為 ． [選修 45：不等式選講 ] 24．已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ a|﹣ |x+3|， a∈ R． （ Ⅰ ）當(dāng) a=﹣ 1 時(shí)，解不等式 f（ x） ≤ 1； （ Ⅱ ）若當(dāng) x∈ [0， 3]時(shí)， f（ x） ≤ 4，求 a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 絕對(duì)值不等式的解法． 【分析】 （ Ⅰ ）當(dāng) a=﹣ 1 時(shí)，不等式為 |x+1|﹣ |x+3|≤ 1，對(duì) x 的取值范圍分類討論，去掉上式中的絕對(duì)值符號(hào)，解相應(yīng)的不等式，最后取其并集即可； （ Ⅱ ）依題意知， |x﹣ a|≤ x+7，由此得 a≥ ﹣ 7 且 a≤ 2x+7，當(dāng) x∈ [0， 3]時(shí)，易求 2x+7 的最小值，從而可得 a 的取值范圍． 【解答】 解： （ Ⅰ ）當(dāng) a=﹣ 1 時(shí)，不等式為 |x+1|﹣ |x+3|≤ 1． 當(dāng) x≤ ﹣ 3 時(shí)，不 等式化為﹣（ x+1） +（ x+3） ≤ 1，不等式不成立； 當(dāng)﹣ 3＜ x＜ ﹣ 1 時(shí)，不等式化為﹣（ x+1）﹣（ x+3） ≤ 1，解得﹣ ≤ x＜ ﹣ 1； 當(dāng) x≥ ﹣ 1 時(shí)，不等式化為（ x+1）﹣（ x+3） ≤ 1，不等式必成立． 綜上，不等式的解集為 [﹣ ， +∞）． … （ Ⅱ ）當(dāng) x∈ [0， 3]時(shí)， f（ x） ≤ 4 即 |x﹣ a|≤ x+7， 由此得 a≥ ﹣ 7 且 a≤ 2x+7． 當(dāng) x∈ [0， 3]時(shí)， 2x+7 的最小值為 7， 所以 a 的取值范圍是 [﹣ 7， 7]． … 第 20 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 2022 年 8 月 27 日
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