【正文】 3）利用二次函數增減性直接求出最值即可． 【解答】 解：（ 1）由題意得，銷售量 =150﹣ 10（ x﹣ 25） =﹣ 10x+400， 則 w=（ x﹣ 20）（﹣ 10x+400） =﹣ 10x2+600x﹣ 8000； （ 2） w=﹣ 10x2+600x﹣ 8000=﹣ 10（ x﹣ 30） 2+1000． ∵ ﹣ 10＜ 0， ∴ 函數圖象開口向下， w 有最大值， 當 x=30 時， wmax=1000， 故當單價為 30 元時，該文具每天的利潤最大； （ 3） 400﹣ 10x≥ 120， 第 23 頁（共 28 頁） 解得 x≤ 28， 對稱軸：直線 x=30， 開口向下， 當 x≤ 30 時， y 隨 x 的增大而增大， ∴ 當 x=28 時， w 最大 =960 元． 24．在正方形 ABCD 中，點 E， F 分別在邊 BC， CD 上，且 ∠ EAF=∠ CEF=45176。． （ 1）將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG（如圖 ① ），求證： △ AEG≌△ AEF； （ 2）若直線 EF 與 AB， AD 的延長線分別交于點 M， N（如圖 ② ），求證： EF2=ME2+NF2； （ 3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖 ③ ），請你直接寫出線段 EF， BE， DF 之間的數量關系． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據旋轉的性質可知 AF=AG， ∠ EAF=∠ GAE=45176。，故可證 △ AEG≌△ AEF； （ 2）將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG，連結 GM．由（ 1）知 △AEG≌△ AEF，則 EG=EF．再由 △ BME、 △ DNF、 △ CEF 均為等腰直角三角形，得出 CE=CF， BE=BM， NF= DF，然后證明 ∠ GME=90176。， MG=NF，利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明 EF2=ME2+NF2； （ 3）延長 EF 交 AB 延長線于 M 點，交 AD 延長線于 N 點，將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ AGH，連結 HM， HE．由（ 1）知 △ AEH≌△ AEF，結合勾股定理以及相等線段可得（ GH+BE） 2+（ BE﹣ GH） 2=EF2，所以 2（ DF2+BE2） =EF2． 【解答】 （ 1）證明： ∵△ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG， ∴ AF=AG， ∠ FAG=90176。， ∵∠ EAF=45176。， 第 24 頁（共 28 頁） ∴∠ GAE=45176。， 在 △ AGE 與 △ AFE 中， ， ∴△ AGE≌△ AFE（ SAS）； （ 2）證明：設正方形 ABCD 的邊長為 a． 將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得到 △ ABG，連結 GM． 則 △ ADF≌△ ABG， DF=BG． 由（ 1）知 △ AEG≌ △ AEF， ∴ EG=EF． ∵∠ CEF=45176。， ∴△ BME、 △ DNF、 △ CEF 均為等腰直角三角形， ∴ CE=CF， BE=BM， NF= DF， ∴ a﹣ BE=a﹣ DF， ∴ BE=DF， ∴ BE=BM=DF=BG， ∴∠ BMG=45176。， ∴∠ GME=45176。+45176。=90176。， ∴ EG2=ME2+MG2， ∵ EG=EF， MG= BM= DF=NF， ∴ EF2=ME2+NF2； （ 3）解： EF2=2BE2+2DF2． 如圖所示，延長 EF 交 AB 延長線于 M 點，交 AD 延長線于 N 點， 將 △ ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90176。，得 到 △ AGH，連結 HM， HE． 由（ 1）知 △ AEH≌△ AEF， 則由勾股定理有（ GH+BE） 2+BG2=EH2， 即（ GH+BE） 2+（ BM﹣ GM） 2=EH2 第 25 頁（共 28 頁） 又 ∴ EF=HE， DF=GH=GM， BE=BM，所以有（ GH+BE） 2+（ BE﹣ GH） 2=EF2， 即 2（ DF2+BE2） =EF2 25．如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的對稱軸為直線 x=﹣ 1，求拋物線經過 A（ 1， 0）， C（ 0， 3）兩點，與 x 軸交于 A、 B 兩點． （ 1）若直線 y=mx+n 經過 B、 C 兩點，求直線 BC 和拋物線的解析 式； （ 2）在該拋物線的對稱軸 x=﹣ 1 上找一點 M，使點 M 到點 A 的距離與到點 C的距離之和最小，求出點 M 的坐標； （ 3）設點 P 為該拋物線的對稱軸 x=﹣ 1 上的一個動點，求使 △ BPC 為直角三角形的點 P 的坐標．（提示：若平面直角坐標系內兩點 P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），則線段 PQ 的長度 PQ= ）． 第 26 頁（共 28 頁） 【考點】 二次函數綜合題． 【分析】 （ 1）根據 A 和 B 關于 x=﹣ 1 對稱即可求得 B 的坐標，然后利用待定系數法即可求得拋物線的解析式； （ 2）求得 BC 與對稱軸的交點就是 M； （ 3）設 P 的坐標是（﹣ 1， p），利用兩點之間的 距離公式表示出 BC、 BP 和 PC的長，然后分成 △ BPC 的三邊分別是斜邊三種情況討論，利用勾股定理列方程求得 p 的值，得到 P 的坐標． 【解答】 解：（ 1） A（ 1， 0）關于 x=﹣ 1 的對稱點是（﹣ 3， 0），則 B 的坐標是（﹣3， 0）． 根據題意得： ， 解得： ， 則拋物線的解析式是 y=x+3； 根據題意得： ， 解得： ． 則拋物線的解析式是 y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2）在 y=x+3 中令 x=﹣ 1，則 y=﹣ 1+3=2， 則 M 的坐標是（﹣ 1， 2）； （ 3）設 P 的坐標是（﹣ 1， p）． 則 BP2=（﹣ 1+3） 2+p2=4+p2． PC=（ 0+1） 2+（ 3﹣ p） 2=p2﹣ 6p+10． 第 27 頁（共 28 頁） BC=32+32=18． 當 BC 時斜邊時， BP2+PC2=BC2，則（ 4+p2） +（ p2﹣ 6p+10） =18， 解得： p=﹣ 1 或 2， 則 P 的坐標是（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1， 2）； 當 BP 是斜邊時， BP2=PC2+BC2，則 4+p2=（ p2﹣ 6p+10） +18， 解得： p=4， 則 P 的坐標是（﹣ 1， 4）； 當 PC 是斜邊時， PC2=BP2+BC2，則 p2﹣ 6p+10=4+p2+18， 解得： p=﹣ 2， 則 P 的坐標是（﹣ 1，﹣ 2）． 總之， P 的坐標是（﹣ 1， ﹣ 1）或（﹣ 1， 2）或（﹣ 1， 4）或（﹣ 1，﹣ 2）． 第 28 頁（共 28 頁） 2022 年 2 月 21 日