【正文】 M，簡(jiǎn)述理由，并寫出點(diǎn) M的坐標(biāo)。 2 (1)解法 1：由題意易知：△ BOC∽△ COA ∴ COAOBOCO? ，即 CO13CO? ∴ 3CO? ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 (0， 3 ) 由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 3bxaxy 2 ??? 把 A(1， 0)， B( 3? ， 0)的坐標(biāo)分別代入 3bxaxy 2 ??? ，得 ?????? ??? 03b3a9 03ba 解這個(gè)方程組，得???????????332b33a ∴拋物線的函數(shù)解析式為 3x3 32x33y 2 ???? 解法 2：由勾股定理，得 2222222 ABACBC)OAOC()OBOC( ?????? 又∵ OB=3， OA=1， AB=4 ∴ 3OC? ∴點(diǎn) C的坐標(biāo)是 (0， 3 ) 由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 )3x)(1x(ay ??? ，把 C(0， 3 )代入 函數(shù)解析式得 33a ?? (第 24 題 ) 所以，拋物線的函數(shù)解析式為 )3x)(1x(33y ???? (2)解法 1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 KD=DE=EF 理由如下： 可求得直線 1l 的解析式為 3x3y ??? ，直線 2l 的解析式為 3x33y ?? 拋物線的對(duì)稱軸為直線 1x? 由此可求得點(diǎn) K的坐標(biāo)為 ( 1? ， 32 )，點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ( 1? ， 334 )，點(diǎn) E的坐標(biāo)為 ( 1? ， 332 )，點(diǎn) F的坐標(biāo)為 ( 1? ， 0) ∴ KD= 332 ， DE= 332 ， EF= 332 ∴ KD=DE=EF 解法 2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 KD=DE=EF 理由如下： 由題意可知 Rt△ ABC中，∠ ABC=30176。，∠ CAB=60176。，則可得 3 3230tanBFEF ???? ， 3260tanAFKF ???? ， 由頂點(diǎn) D坐標(biāo) ( 1? ， 334 )得 334DF? ∴ KD=DE=EF= 332 (3)解法 1： (i)以點(diǎn) K 為圓心，線段 KC 長(zhǎng)為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn) 1M ，由拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn) 1M 為點(diǎn) C關(guān)于直線 1x ?? 的對(duì)稱點(diǎn) ∴點(diǎn) 1M 的坐標(biāo)為 ( 2? ， 3 )，此時(shí)△ CKM1 為 等腰三角形 (ii)當(dāng)以點(diǎn) C為圓心，線段 CK 長(zhǎng)為半徑畫圓弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn) 1M 和點(diǎn) A，而三點(diǎn) A、 C、 K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 (iii)作線段 KC 的中垂線 l，由點(diǎn) D是 KE 的中點(diǎn)，且 21 ll ? ，可知 l經(jīng)過點(diǎn) D， ∴ KD=DC 此時(shí)，有點(diǎn) 2M 即點(diǎn) D坐標(biāo)為 ( 1? ， 334 )，使△ CKM2 為等腰三角形； 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)分別為 ( 2? ， 3 )， ( 1? ， 334 )時(shí)，△ MCK 為等腰三角形。 解法 2：當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為 ( 2? ， 3 )， ( 1? ， 334 )時(shí)， △ MCK為等腰三角形。 理由如下： (i)連接 BK，交拋物線于點(diǎn) G，易知點(diǎn) G的坐標(biāo)為 ( 2? ， 3 ) 又∵點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (0， 3 )，則 GC∥ AB ∵可求得 AB=BK=4，且∠ ABK=60176。，即△ ABK 為正三角形 ∴△ CGK為正三角形 ∴當(dāng) 2l 與拋物線交于點(diǎn) G，即 2l ∥ AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn) 1M 的坐標(biāo)為 ( 2? ， 3 ) (ii)連接 CD，由 KD= 332 ， CK=CG=2，∠ CKD=30176。，易知△ KDC為等腰三角形 ∴當(dāng) 2l 過 拋物線頂點(diǎn) D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn) 2M 坐標(biāo)為 ( 1? ， 334 ) (iii)當(dāng)點(diǎn) M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn) M與點(diǎn) A重合時(shí)，滿足 CM=CK，但點(diǎn) A、 C、 K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為 ( 2? ， 3 )， ( 1? ， 334 )時(shí)，△ MCK為等腰三 角形。 （ 2022年涼山州 ） 如圖，拋物線與 x 軸交于 A （ 1x ， 0）、 B （ 2x ， 0）兩點(diǎn)，且 12xx? ，與 y 軸交于點(diǎn) ? ?0, 4C ? ，其中 12xx， 是方程 2 4 12 0xx? ? ? 的兩個(gè)根。 （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）點(diǎn) M 是線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于點(diǎn) N ，連接 CM ，當(dāng) CMN△ 的面積最 大時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 3）點(diǎn) ? ?4,Dk在（ 1）中拋物線上，點(diǎn) E 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在 x 軸上是否存在點(diǎn) F ，使以 A D E F、 、 、 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn) F 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。 28. （ 1）∵ 2 4 12 0xx? ? ? ，∴ 1 2x?? ， 2 6x? 。 ∴ ( 2,0)A? ， (6,0)B 。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 1分 又∵拋物線過點(diǎn) A 、 B 、 C ，故設(shè)拋物線的解析式為 ( 2) ( 6)y a x x? ? ?，將點(diǎn) C的坐標(biāo)代入，求得 13a? 。 ∴拋物線的解析式為 214 433y x x? ? ?。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 3分 （ 2）設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ m ， 0），過點(diǎn) N 作 NH x? 軸于點(diǎn) H （如圖 （ 1））。 ∵點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 2? ， 0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 6， 0）， ∴ 8AB? ， 2AM m??。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 4分 ∵ MN BC ，∴ MN ABC△ ∥ △ 。 ∴ NH AMCO AB? ，∴ 248NH m?? ，∴ 22mNH ?? 。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 5分 ∴ 1122C M N A C M A M NS S S A M C O A M N H? ? ? ?△ △ △ 21 2 1( 2 ) ( 4 ) 32 2 4mm m m?? ? ? ? ? ? ? 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 6分 21 ( 2) 44 m? ? ? ?。 ∴當(dāng) 2m? 時(shí)， CMNS△ 有最大值 4。 此時(shí)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 2， 0）。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 7分 y x O B M N C A 28 題 圖 （ 3）∵點(diǎn) D （ 4， k ）在拋物線 214 433y x x? ? ?上， ∴當(dāng) 4x? 時(shí)， 4k?? ， ∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)是（ 4， 4? ）。 ② 如圖（ 2）， 當(dāng) AF 為平行四邊形的邊時(shí)， AF DE ， ∵ D （ 4， 4? ），∴ 錯(cuò)誤！鏈接無(wú)效。 4DE? 。 ∴ 1( 6,0)F ? ， 2(2,0)F 。 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 9分 ③ 如圖（ 3），當(dāng) AF 為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè) ( ,0)Fn ， 則平行四邊形的對(duì)稱中心為（ 22n? ， 0）。 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 10分 ∴ E? 的坐標(biāo)為（ 6n? ， 4）。 把 E? （ 6n? ， 4）代入 214 433y x x? ? ?，得 2 16 36 0nn? ? ?。 解得 8 2 7n?? 。 3(8 2 7,0)F ? ， 4 (8 2 7,0)F ? 。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 12分 y x O B M N C A 圖（ 1） H y x O B 2F E A 圖（ 2） 1F D y x O B 3F E A 圖（ 3） E? D 4F E? （蕪湖 2022） 本小題滿分 14分 ) 平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形 ABOC如圖放置，點(diǎn) A、 C的坐標(biāo)分別為 (0， 3)、 ( 1? ，0)，將此平行四邊形繞點(diǎn) 0順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到平行四邊形 39。 39。 39。ABOC 。 (1)若拋物線過點(diǎn) C， A， A39。，求此拋物線的解析式； (2)求平行四邊形 ABOC和平行四邊形 39。 39。 39。ABOC 重疊部分△ 39。OCD 的周長(zhǎng)； (3)點(diǎn) M 是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，間：點(diǎn) M 在何處時(shí)△ AMA39。 的面積最大 ?最大面積是多少 ?并求出此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)。 24． (本小題滿分 l4分 ) 解： (1)∵ A39。B39。OC39。 由 ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (0， 3)， 點(diǎn) A39。的坐標(biāo)為 (3， 0)。 所以拋物線過點(diǎn) C(1， 0)， A(0， 3)， A39。 (3， 0)設(shè)拋物線的解析式為 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ?，可得 039 3 0a b cca b c? ? ??????? ? ??解得 123abc????????? ∴過點(diǎn) C， A， A39。的拋物線的解析式為 2 23y x x? ? ? ?。 (2)因?yàn)?AB∥ CO，所以∠ OAB=∠ AOC=90176。 ∴ 22 10O B O A A B? ? ?,又 39。OC D OC A B? ? ? ? ?. 39。C OD BOA? ? ? ,∴ 39。C OD BOA?? 又 39。1OC OC??, ∴ 39。 39。 1=B O A 10C O D O COB? ?? 的 周 長(zhǎng)的 周 長(zhǎng),又△ ABO的周長(zhǎng)為 4 10? 。 ∴ 39。COD? 的周長(zhǎng)為 4 10 2 10=1510? ?。 （ 3）連接 OM，設(shè) M點(diǎn)的坐標(biāo)為 ()mn， ， ∵點(diǎn) M在拋物線上，∴ 2 23n m m? ? ? ?。 ∴ 39。 39。 39。A M A A M O O M A A O AS S S S? ? ? ?? ? ? = 1 1 1 3 9 339。 39。 ( ) ( 3 )2 2 2 2 2 2O A m O A n O A O A m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 223 3 3 2 7( 3 ) ( )2 2 2 8m m m? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?03m??，所以當(dāng) 32m? 時(shí)， 154n? ?！?AMA’ 的面積有最大值 所以當(dāng)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (31524， )時(shí)，△ AMA’ 的面積有最大值，且最大值為 278 。 （ 2022 年廣東省 ） 22．如圖（ 1），（ 2）所示，矩形 ABCD 的邊長(zhǎng) AB=6， BC=4，點(diǎn) F 在 DC上， DF=2。動(dòng)點(diǎn) M、 N分別從點(diǎn) D、 B同時(shí)出發(fā)，沿射線 DA、線段 BA 向點(diǎn) A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到 DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn) N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A時(shí)， M、 N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。連接 FM、FN，當(dāng) F、 N、 M 不在同一直線時(shí) ， 可得 △FMN ，過 △FMN 三邊的中點(diǎn)作 △PQW 。設(shè)動(dòng)點(diǎn) M、 N的速度都是 1個(gè)單位 /秒， M、 N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x秒。試解答下列問題： （ 1）說明 △FMN∽△QWP ； （ 2）設(shè) 0≤x≤4 （即 M 從 D到 A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）。試問 x為何值時(shí) ， △PQW 為直角三角形？ 當(dāng) x在何范圍時(shí)， △PQW 不為直角三角形？ （ 3）問當(dāng) x為何值時(shí)，線段