【正文】 M、 P 為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長(zhǎng)度分別是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù) 6成立， 即 P（ 6， 4）． 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 1分 把點(diǎn) A（ 0， 4）代入上式得： 54?a ， ∴ ?y 516)3(54452454)5)(1(54 22 ???????? xxxxx ，178。178。178。 8分 （ 2022年廣東茂名市） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ａ (0， 4)， B(1，0)， C（ 5， 0），拋 物線對(duì)稱軸 l 與 x 軸相交于點(diǎn) M． （ 1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸； （ 3分） （ 2）設(shè)點(diǎn) P為拋物線（ 5?x ）上的一點(diǎn)，若以 A、 O、 M、 P為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，請(qǐng)你 直接寫(xiě)出 ． ． ． ． 點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 2分） （ 3） 連接 AC．探索：在直線 AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn) N，使△ NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn) N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由． （ 3分） 解： 2 解：（ 1）根據(jù)已知條件可設(shè) 拋物線的解析式為)5)(1( ??? xxay ， 178。178。178。178。 6分 由上可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn) O、 P、 C、 D的圓心 1O 是 DP的中點(diǎn)，圓心 )2,2(1 ODOPO， 由（ 1）知： Rt△ AOC∽ Rt△ ABO，∴ ABOAOAAC? ，求得： AB=a25 ，在 Rt△ ABO中， a aOAABOB222 255 ???? ， OD=a aOB 225212?? ，252 ?? OAOP ∴ )4255,45( 21 a aO ?，點(diǎn) 1O 在函數(shù) xky? 的圖象上， ∴ 544255 2 ka a ?? ， ∴ a ak 162525 2?? ． 178。178。178。178。178。178。178。 2分 ∴516)512(4 2222 ????? CEOCOE ∴ )512,516(C ， 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。設(shè) ( , )Mab ∴ ()BM a m m a? ? ? 又 2( 4 8 )BAA B y y b m m? ? ? ? ? ? 222 4 8 ( 4 8 )a m a m m m? ? ? ? ? ? ? 2222()a ma mam? ? ??? ∴ 2( ) 3 ( )a m a m? ? ? ∴ 3am?? ∴ 3BM? ， 3AB? ∴ 112 3 2 3 3 322A M NS A B B M? ? ? ? ? ?定值 178。178。178。178。178。 （ 3分） （黃石市 2022年） 25.（本小題滿分 10分）已知二次函數(shù) 2 2 4 8y x mx m? ? ? ? （ 1）當(dāng) 2x? 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小，求 m 的取值范圍。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。易證 Rt△ M1FF1∽ Rt△ N1FF1，得∠ M1FF1=∠ FN1F1，故∠ M1FN1=∠ M1FF1＋∠ F1FN1=∠ FN1F1＋∠ F1FN1=90176。所以△ M1FN1是直角三角形． ⑷存在，該直線為 y=－ 1．理由如 下： 直線 y=－ 1即為直線 M1N1． 如圖，設(shè) N點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m，則 （黃石市 2022 年） 24.（本小題滿分 9 分）已知⊙ 1O 與⊙ 2O 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) 1O 在⊙ 2O 上， C 為⊙ 2O 上一點(diǎn)（不與 A ， B ， 1O 重合），直線 CB 與⊙ 1O 交于另一點(diǎn) D 。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 （ 3分） （ 3）如圖（三），連接 1AO ，并延長(zhǎng) 1AO 交⊙ 1O 與點(diǎn) E ，連 ED ∵ 1B EOC? ?? 又 EB? ?? ∴ 1EOC E? ?? ∴ 1 //CO ED 又 ED AD? ∴ 1CO AD? 178。178。178。178。178。 （ 2）以拋物線 2 2 4 8y x mx m? ? ? ?的頂點(diǎn) A 為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMN （ M ， N 兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問(wèn)：△ AMN 的面積是與 m 無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。178。178。178。178。178。178。 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 3分 設(shè)經(jīng)過(guò) A、 C兩點(diǎn)的直線解析式為： bkxy ?? ． 把點(diǎn) A（ 5， 0）、 )512,516(C 代入上式得： ?????????51251605bkbk ， 解得：??????????32034bk， ∴ 32034 ??? xy ， ∴點(diǎn) )320,(OB ．178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 3分 （ 2）由已知，可求得 P（ 6， 4）． 178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。７分 ∴ 225)25(21025)52054(2121 222 ?????????????? tttttOCNGS A C N ∴當(dāng) 25?t 時(shí)，△ CAN面積的最大值為 225 ， 由 25?t ，得： 3452454 2 ????? tty ，∴ N（ 25 ， 3）． 178。178。 8分 法二：提示：過(guò)點(diǎn) N 作 x 軸的平行線交 y 軸于點(diǎn) E，作 CF⊥ EN 于點(diǎn) F，則N F CA E NA E F CA N C SSSS ??? ??? 梯形 （再設(shè)出點(diǎn) N的坐標(biāo)，同樣可求 ,余下過(guò)程略） （重慶市潼南縣 2022 年） 26.（ 12 分）如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中，△ ABC 是直角三角形 ,∠ ACB=90,AC=BC,OA=1， OC=4，拋物線 2y x bx c? ? ? 經(jīng)過(guò) A， B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為 D． （ 1）求 b,c的值； （ 2）點(diǎn) E是直角三角形 ABC斜邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) A、 B除外 )，過(guò)點(diǎn) E作 x軸的垂線 交拋物線于點(diǎn) F，當(dāng)線段 EF 的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下：①求 以點(diǎn) Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ 為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上 是否存在一點(diǎn) P，使△ EFP是以 EF 為直角邊的直角三角形 ? 若存在，求出所有點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由 . 26. 解：（ 1）由已知得： A（ 1， 0） B（ 4， 5） 1分 ∵二次函數(shù) 2y x bx c? ? ? 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0） B(4,5) ∴ 1016 4 5bcbc? ? ??? ? ? ?? 2分 解得： b=2 c=3 3分 （ 2如２６ 題圖：∵直線 AB 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0） B(4,5) ∴直線 AB的解析式為： y=x+1 ∵二次函數(shù) 2 23y x x? ? ? ∴設(shè)點(diǎn) E(t， t+1),則 F（ t， 2 23tt??） 4分 ∴ EF= 2( 1) ( 2 3)t t t? ? ? ? 5分 = 23 25()24t? ? ? ∴當(dāng) 32t? 時(shí)， EF 的最大值 =254 ∴點(diǎn) E的坐標(biāo)為（ 32 ， 52 ） 6分 A O CBDxy26題 備 用 圖A O CBDxy26題 圖 （ 3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn) E、 B、 F、 D得四邊形ＥＢＦＤ． 可求出點(diǎn) F的坐標(biāo)（ 32 ， 154? ） ,點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ 1， 4） S EBFD四 邊 行 = S BEF + S DEF = 1 2 5 3 1 2 5 3( 4 ) ( 1 )2 4 2 2 4 2? ? ? ? ? =758 9分 ②如２６題備用圖：ⅰ )過(guò)點(diǎn) E作 a⊥ EF交拋物線于點(diǎn) P,設(shè)點(diǎn) P(m, 2 23mm??) 則有： 2 5232mm? ? ? 解得 :1 2 262m ? －,2 2 262m ?? ∴1 2 26 5( , )22p －, 2 2 26 5( , )22p ? ⅱ）過(guò)點(diǎn) F作 b⊥ EF交拋物線于 3P ，設(shè) 3P （ n， 2 23nn??） 則有： 2 15423nn? ? ? ? 解得：1 12n? ，2 32n?（與點(diǎn) F 重合，舍去） ∴3P 1 1524（ ， － ） 綜上所述：所有點(diǎn) P 的坐標(biāo)：1 2 26 5( , )22p －，2 2 26 5( , )22p ? 3P（ 1 1524（ ， － ） . 能使△ EFP 組成 以 EF 為直角邊的直角三角形． 12 分 （江蘇省宿遷市 2022 年） 26．（本題滿分 10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P是反比例函數(shù) y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上的任意一點(diǎn)，以 P為圓心， PO為半徑的圓與 x、y軸分別交于點(diǎn) A、 B． （ 1）判斷 P是否在線段 AB 上，并說(shuō)明理由； （ 2）求△ AOB的面積； （ 3） Q是反比例函數(shù) y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上異于點(diǎn) P的另一點(diǎn)，請(qǐng)以 Q為圓心， QO 半徑畫(huà)圓與 x、 y軸分別交于點(diǎn) M、 N，連接 AN、 MB．求證： AN∥ MB． 解：（ 1）點(diǎn) P在線段 AB上，理由如下： ∵點(diǎn) O在⊙ P 上，且∠ AOB＝ 90176。 PP2 ∵ P是反比例函數(shù) y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上的任意一點(diǎn) ∴ S△ AOB＝ 21 OA179。 PP2＝ 12． （ 3）如圖，連接 MN，則 MN 過(guò)點(diǎn) Q，且 S△ MON＝ S△ AOB＝ 12． ∴ OA178。 ∴四邊形 ABFM、 AEQD都是矩形 ∴ MF＝ AB， QE＝ AD， MF⊥ QE 又∵ PQ⊥ MN ∴∠ EQP＝∠ FMN 又∵∠ QEP＝∠ MFN＝ 90176?！?AEF＝ 72176。 ① 當(dāng) ∠ GAH= 45176。 28．（ 1）∵ 2 4 12 0xx? ? ? ，∴ 1 2x?? ， 2 6x? 。178。178。178。178。178。178。178。 3分 （ 2）設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ m ， 0），過(guò)點(diǎn) N 作 NH x? 軸于點(diǎn) H （如圖（ 1））。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。178。 5分 ∴ 1122C M N A C M A M NS S S A M C O A M N H? ? ? ?△ △ △ 21 2 1( 2 ) ( 4 ) 32 2 4mm m m?? ? ? ? ? ? ? 178。178。 此時(shí)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 2， 0）。178。178。178。 如圖（ 2），當(dāng) AF 為平行四邊形的邊時(shí)， AF DE ， ∵ D （ 4， 4? ），∴ E （ 0， 4? ）， 4DE? 。178。178。 9分 ① 如圖（ 3），當(dāng) AF 為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)， 設(shè) ( ,0)Fn ，則平行四邊形的對(duì)稱中心為 （ 22n? ， 0）。178。178。178。178。 解得 8 2 7n?? 。178。A 39。 . ∴∠ BAG+∠ EAP=90176。 ∴∠ BAG+∠ EAP=90176。 412179。 (7t) 179。 53(t4)= 35179。 (2)設(shè)⊙ C與 PA交于點(diǎn) M，與 AB交于點(diǎn) N，則不論動(dòng)點(diǎn) P處于直線 l上（除點(diǎn) B以外）的什么位置時(shí)，都有△ AMN∽△ ABP。 ∵ ∠ AND=90176。 DN=21 AD178。 AD=21 [(4k+3)]179?！?ACB＞∠ A， CD是 AB上的中線，過(guò)點(diǎn) B作 BE⊥ CD，垂足為 E，試說(shuō)明 E是△ ABC的自相 似點(diǎn)． ⑵在△ ABC中，∠ A＜∠ B＜∠ C． ①如圖③，利用尺規(guī)作出△ ABC的自相似點(diǎn) P（寫(xiě)出作法并保留作圖痕跡）； ②若△ ABC的內(nèi)心 P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)． 28． （ 11分） 問(wèn)題情境 已知矩形的面積為 a（ a 為常數(shù)， a＞ 0），當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最?。孔钚≈凳嵌嗌?？ 數(shù)學(xué)模型 設(shè)該矩形的長(zhǎng)為 x，周長(zhǎng)為 y，則 y與 x的函數(shù)關(guān)系式為 2( )( 0)ay x xx?? 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