【正文】 AC ? 弧 AD 中任意 2個條件推出其他 3個結(jié)論。 推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴ 弧 AC ? 弧 BD 圓心角定理 頂點到圓心的角，叫圓心角。 圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱 1推 3定理，即上述四個結(jié)論中， 只要知道其中的 1個相等，則可以推出其它的 3個結(jié)論， 即：① AOB DO E? ? ? ； ② AB DE? ； ③ OC OF? ； ④ 弧 BA ? 弧 BD 圓周角定理 頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。 圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。 即：∵ AOB? 和 ACB? 是 弧 AB 所對的圓心角和圓周角 ∴ 2AOB AC B? ? ? 圓周角定理的推論： 推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧； 即：在⊙ O 中，∵ C? 、 D? 都是所對的圓周角 ∴ CD? ?? 推論 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。 OEDCBAOC DA BFEDCBAOCBAOD CBAOCB AO 26 即：在⊙ O 中，∵ AB 是直徑 或∵ 90C? ? ? ∴ 90C? ? ? ∴ AB 是直徑 推論 3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB?? ∴△ ABC 是直角三角形或 90C? ? ? 注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。 圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在 ⊙ O 中， ∵四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形 ∴ 180C BA D? ? ? ? ? 180BD? ?? ? ? DAE C? ?? 切線的性質(zhì)與判定定理 （ 1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：∵ MN OA? 且 MN 過半徑 OA 外端 ∴ MN 是 ⊙ O 的切線 （ 2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論 2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個定理及推論也稱二推一定理： 即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。 切線長定理 切線長定理 ： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即：∵ PA 、 PB 是的兩條切線 ∴ PA PB? CB AOEDCBANM AOPBAO 27 PO 平分 BPA? 圓冪定理 （ 1） 相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。 即：在 ⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于點 P ， ∴ PA PB PC PD? ? ? （ 2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項。 即：在⊙ O 中，∵直徑 AB CD? ， ∴ 2CE AE BE?? （ 3） 切割線定理 ：從圓外一點引圓的切線和割線，切 線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 即：在⊙ O 中，∵ PA 是切線， PB 是割線 ∴ 2PA PC PB?? （ 4） 割線定理 ：從圓外一點引圓的兩條割線 ，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。 即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割線 ∴ PC PB PD PE? ? ? 兩圓公共弦定理 圓公共弦定理： 兩圓圓 心 的連 線垂直 并且平分這兩個圓 的的 公共弦 。 如圖： 12OO 垂直平分 AB 。 即：∵⊙ 1O 、⊙ 2O 相交于 A 、 B 兩點 ∴ 12OO 垂直平分 AB 圓的公切線 兩圓公切線長的計算公式： （ 1）公切線長： 12Rt OOC? 中， 2 2 2 21 1 2 2A B CO O O CO? ? ?； （ 2）外公切線長： 2CO 是半徑之差； 內(nèi)公切線長： 2CO 是半徑之 和 。 圓內(nèi)正多邊形的計算 PODCBAO EDCB AD EC BPAOBAO 1 O 2CO 2O 1BADCB AO 28 （ 1）正三角形 在 ⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有關(guān)計算在 Rt BOD? 中進行 ： : : 1 : 3 : 2O D B D O B ?； （ 2）正四邊形 同理，四邊形的有關(guān)計算在 Rt OAE? 中進行， : : 1 :1 : 2O E A E O A ?： （ 3）正六邊形 同理，六邊形的有關(guān)計算在 Rt OAB? 中進行， : : 1 : 3 : 2A B O B O A ?. 扇形 、 圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式 扇形： （ 1）弧長公式： 180nRl ?? ； （ 2）扇形面積公式： 2 1360 2nRS lR??? n ： 圓心角 R ：扇形多對應的圓的半徑 l ：扇形弧長 S ：扇形面積 圓柱 ： （ 1） A圓柱側(cè)面展開圖 2S S S??側(cè)表 底 = 222rh r??? B圓柱的體積： 2V r h?? （ 2） A圓錐側(cè)面展開圖 S S S??側(cè)表 底 = 2Rr r??? B圓錐的體積： 213V r h?? ECBA DOBAOS lBAO母線長底面圓周長C 1D 1DCBAB 1RrCBAO 29 【 典例訓練 】 一、選擇題 1．如圖， BC 是⊙ O 的直徑， P 是 CB 延長線上一點， PA 切⊙ O 于點 A，如果 PA＝ 3 ， PB＝ 1，那么∠ APC等于 （ ） （ A） ?15 （ B） ?30 （ C） ?45 （ D） ?60 2．“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學菱《九章算術(shù)》中的一個問題，“今在圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言表述是：“如圖，CD 為⊙ O的直徑，弦 AB⊥ CD，垂足為 E， CE＝ 1寸， AB＝寸，求直徑 CD 的長”．依題意， CD長為 （ ） （ A） 225 寸 （ B） 13 寸 （ C） 25寸 （ D） 26寸 3．已知：如圖，⊙ O半徑為 5， PC切⊙ O 于點 C， PO交⊙ O于點 A， PA＝ 4，那么 PC 的長等于 （ ） （ A） 6 （ B） 2 5 （ C） 2 10 （ D） 2 14 4．相交兩圓的公共弦長為 16 厘米，若兩圓的半徑長分別為 10厘米和 17厘米，則這兩圓的圓心距為 （ ） （ A） 7厘米 （ B） 16 厘米 （ C） 21厘米 （ D） 27 厘米 5．如圖，⊙ O為△ ABC的內(nèi)切圓，∠ C＝ ?90 ， AO的延長線交 BC于點 D， AC＝ 4，DC＝ 1，則⊙ O的半徑等于 （ ） （ A） 54 （ B） 45 （ C） 43 （ D） 65 6．一居民小區(qū)有一正多邊形的活動場． 為迎接“ AAPP”的召開，小區(qū)管委會決定在這個多邊形的每個頂點處修建一個半徑為 2 米的扇形花臺，花臺都以多邊形的頂點為圓心，比多邊形的內(nèi)角為圓心角，花臺占地面積共為 12π平方米．若每個花臺的造價為 400元，則建造這些花臺共需資金 （ ） （ A） 2400元 （ B） 2800元 （ C） 3200元 （ D） 3600元 7．如圖， AB是⊙ O直徑， CD 是弦．若 AB＝ 10 厘米， CD＝ 8厘米，那 么 A、 B兩點到直線 CD的距離之和為 （ ） （ A） 12 厘米 （ B） 10厘米 （ C） 8厘米 （ D） 6厘米 30 8．某工件形狀如圖所示，圓弧 BC 的度數(shù)為 ?60 ， AB＝ 6 厘米，點 B 到點 C 的距離等于 AB，∠ BAC＝ ?30 ，則工件的面積等于 （ ） （ A） 4π （ B） 6π （ C） 8π （ D） 10π 9．如圖， PA 切⊙ O于點 A， PBC是⊙ O的割線且過圓心， PA＝ 4， PB＝ 2，則⊙ O的半徑等于 （ ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 10．已知⊙ O 的半徑為 3 5 厘米，⊙ O? 的半徑為 5 厘米．⊙ O 與⊙ O? 相交于點 D、 E．若兩圓的公共弦 DE 的長是 6 厘米（圓心 O、 O? 在公共弦 DE 的兩側(cè)），則兩圓的圓心距 OO? 的長為 （ ） （ A） 2厘米 （ B） 10厘米 （ C） 2 厘米或 10 厘米 （ D） 4厘米 11．如圖，兩個等圓⊙ O 和⊙ O? 的兩條 切線 OA、 OB， A、 B是切點，則∠ AOB等于 （ ） （ A） ?30 （ B） ?45 （ C） ?60 （ D） ?90 12． 如圖， AB是⊙ O的直徑，∠ C＝ ?30 ，則∠ ABD＝ （ ） （ A） ?30 （ B） ?40 （ C） ?50 （ D） ?60 13． 弧長為 6π的弧所對的圓心角為 ?60 ，則弧所在的圓的半徑為 （ ） （ A） 6 （ B） 6 2 （ C） 12 （ D） 18 14． 如圖，在△ ABC中，∠ BAC＝ ?90 ， AB＝ AC＝ 2，以 AB為直徑的圓交 BC于 D，則圖中陰影部分的面積為 （ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 1+4? （ D） 2－ 4? 15． 已知圓的內(nèi)接正六邊形的周長為 18，那么圓的面積為 （ ） （ A） 18π （ B） 9π （ C） 6π （ D） 3π 16． 如圖，點 P是半徑為 5的⊙ O內(nèi)一點，且 OP＝ 3，在過點 P的所有弦中， 長度為整數(shù)的弦一共有 （ ）（ A） 2條 （ B） 3條 （ C） 4條 （ D） 5條 31 17． 如圖，正六邊形 ABCDEF的邊長的 上 a，分別以 C、 F為圓心， a為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是 （ ） （ A） 261a? （ B） 231a? （ C） 232a? （ D） 234a? 18． 過⊙ O內(nèi)一點 M的最長的弦長為 6厘米，最短的弦長為 4厘米，則 OM的長為 （ ） （ A） 3 厘米 （ B） 5 厘米 （ C） 2厘米 （ D） 5厘米 19． 已知⊙ O的直徑 AB 與弦 AC 的夾角為 ?30 ，過 C點的切線 PC與 AB延長線交 P． PC＝ 5，則⊙ O的半徑為 （ ） （ A） 335 （ B） 635 （ C） 10 （ D） 5 20． 如圖： PA切⊙ O于點 A， PBC是⊙ O的一條割線，有 PA＝ 3 2 ， PB＝ BC，那么 BC的長是 （ ） （ A） 3 （ B） 3 2 （ C） 3 （ D） 32 21． 如圖，⊙ A、⊙ B、⊙ C、⊙ D、⊙ E相互外離，它們的半徑都是 1，順次連結(jié)五個圓心得到五邊形 ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是 （ ）