【文章內容簡介】 M _ N _ C _ D _ A_ B_ E_ M _ E_ C _ B_ D _ A _ F_ F_ G _ E _ D _ A _ B _ C _ C 14 4若以三角形 ABC的邊 AB、 BC為邊向 三角形外作正方形 ABDE、 BCFG， N為 AC 中點，求證： DG=2BN， BM DG。 4從正方形 ABCD 的一個頂點 C作 CE 平行 于 BD，使 BE=BD，若 BE、 CD的交點為 F， 求證： DE=DF。 4平行四邊形 ABCD中，直線 FH與 AB、 CD 相交，過 A、 D、 C、 B，向 FH 作垂線， 垂足為 G、 F、 E、 H， 求證： AGDF=CEBH。 4四邊形 ABCD中，若 ∠ A=∠ C， 求證各角平分線圍成的四邊形等腰梯形。 4正方形 ABCD中， ∠ EAF=45 求證： BE+DF=EF。 4正方形 ABCD中，點 P與 B、 C的 連線和 BC的夾角為 15 求證： PA=PD=AD。 4四邊形 ABCD中， AD=BC， EF 為 AB、 DC 的中點的連線，并分別與 AD、 BC延長線交于 M、 N，求證： ∠ AME=∠ BNE。 _ F_ G _ D _ E _ B_ A _ C _ N _ M _ F_ C _ D _ A_ B_ E_ D _ A _ B_ C _ E_ G _ F_ H _ C _ D _ A_ B _ E_ F_ B_ C _ D _ A_ P_ F_ A _ B_ N _ E_ M _ D _ C 15 4正方形 ABCD中， MN GH， 求證： MN=HG。 4正方形 ABCD中， E是邊 CD 的中點， F是線段 CE 的中點 求證： ∠ DAE=21 ∠ BAF。 50、等腰梯形 ABCD 中， DC∥ AB， ABCD， AD=BC， AC和 BD交于 O， 且所夾的銳角為 60 ， E、 F、 M分別 為 OD、 OA、 BC的中點。 求證：三角形 EFM為等邊三角形。 _ D _ C _ B_ A_ M _ N _ G _ H _ C _ D _ A_ B_ E_ F_ o_ A _ B_ D _ C _ E_ m _ F 16 第三 章 一元二次方程 【主要知識點回顧】 ※只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為 02 ??? cbxax （ a、 b、 c 為 常數(shù)， a≠ 0）的形式，這樣的方程叫 一元二次方程 ． ． ． ． ． ． 。 ※把 02 ??? cbxax （ a、 b、 c 為常數(shù) ， a≠ 0）稱為一元二次方程的一般形式， a 為二次項系數(shù)； b 為一次項系數(shù)； c 為常數(shù)項。 ※解一元二次方程的方法： ①配方法 即將其變?yōu)?0)( 2 ??mx 的形式 ②公式法 a acbbx 2 42 ???? （注意在找 abc時須先把方程化為一般形式） ③分解因式法 把方程的一邊變成 0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） ※根與系數(shù)的關系：當 b24ac0時，方程有兩個不等的實數(shù)根； 當 b24ac=0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當 b24ac0 時，方程無實數(shù)根。 ※如果一元二次方程 02 ??? cbxax 的兩根分別為 x x2，則有： acxxabxx ?????2121。 ※一元二次方程的根與系數(shù)的關系的作用： （ 1）已知方程的一根，求另一根； （ 2）不解方程，求二次方程的根 x x2 的對 稱式的值，特別注意以下公式： ① 212212221 2)( xxxxxx ???? ②21212111 xx xxxx ??? ③21221221 4)()( xxxxxx ???? ④ 2122121 4)(|| xxxxxx ???? ⑤ ||22)(|)||(| 2121221221 xxxxxxxx ????? ⑥ )(3)( 21213213231 xxxxxxxx ????? ⑦其他能用 21 xx? 或 1xx 表達的代數(shù)式。 （ 3）已知方程的兩根 x x2，可以構造一元二次方程： 0)( 21221 ???? xxxxxx （ 4）已知兩數(shù) x x2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉化為求一元二次方程 0)( 21221 ???? xxxxxx 的根 ※在利用方程來解 應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數(shù)（在設未知數(shù)時，大多數(shù)情況只要設問題為 x；但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關系等諸多方面考慮）；②尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。 ※處理問題的過程可以進一步概括為： 解答檢驗求解方程抽象分析問題 ?? 17 【 典例訓練 】 第一部分：填空題 一元二次方程 12)3)(31( 2 ???? xxx 化為一般形式為： ，二次項系數(shù)為： ，一次項系數(shù)為： ， 常數(shù)項為： 。 有一個一元二次方程，未知數(shù)為 y，二次項的系數(shù)為－ 1，一次項的系數(shù)為 3，常數(shù)項為－ 6，請你寫出它的一般形式 ______________。 在關于 x 的方程 (m5)xm7+(m+3)x3=0 中 :當 m=_____時，它是一元二次方程；當 m=_____時，它是一元一次方程。 已知 關于 x的 一元 二次方程 x2+kx+k=0的一個根是 – 2，那么 k=_ __。 若 2是關于 x的一元二次方程（ k21） x2+2kx+4=0的一個根，則 k=________． 已知方程 3ax2bx1=0和 ax2+2bx5=0,有共同的根 1, 則 a= , b= . 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)有一個根為 1,則 a+b+c= 。若有一個根為 1,則 b 與 a、 c之間的關系為 。若有一個根為零 ,則 c= . 方程 xx ?23 的解是 。 方程 x22x3=0的根是 ________. 已知 y=x22x3，當 x= 時， y的值是 3。 已知 x2+3x+5的值為 11，則代數(shù)式 3x2+9x+12的值為 1已知一元二次方程有一個根是 2，那么這個方程可以是 （填上你認為正確的一個方程即可） 1若方程 032 ??? mxx 有兩個相等的實數(shù)根，則 m = ，兩個根分別為 。 1已知關于 x 的方程 x2－（ a＋ 2） x＋ a－ 2b＝ 0 的判別式等于 0，且 x＝ 12 是方程 的根，則 a＋ b 的值為 ______________。 1已知關于 x的一元二次方程 01)12()2( 22 ????? xmxm 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m的取值范圍是 1如果關于 x的一元二次方程 2x(ax－ 4)－ x2+6=0沒有實數(shù)根，那么 a的最小整數(shù)值是 。 1已知二次三項式 x2+2mx+4－ m2是一個完全平方式，則 m= 。 1代數(shù)式 22 4 18xx? ? ? 有最 ________值為 ________。 1若方程 0892 ??? xkx 的一個根為 1，則 k = ，另一個根為 。 1已知 3 2 是方程 x2+mx+7=0 的一個根 ,則 m= ,另一根為 . 已知關于 x的方程 x23x+m=0 的一個根是另一個根的 2倍 ,則 m 的值為 _______. 2已知 x x2 是方程 2x2+3x－ 4=0 的兩個根，那么： x1+x2= ； x1178。 x2= ；11x +21x = ； x21+x22= ；｜ x1－ x2｜ = 。 2 已知 x x2是關于 x的方程 (a1)x2+x+a21=0的兩個實數(shù)根 ,且 x1+x2=13 ,則 x1178。x 2=__ __. 2已知α，β是方程 0522 ??? xx 的兩個實數(shù)根，則α 2+β 2+2α +2β的值 為 _________。 18 2已知一元二次方程兩根之和為 4，兩根之積為 3，則此方程為 ____ ______。 2 以 2+ 3 和 2 3 為根的一元二次方程是 ____ _____. 2長方形鐵片四角各截去一個邊長為 5cm 的正方形 , 而后折起來做一個沒蓋的盒子 ,鐵片的長是寬的 2 倍 ,作成的盒子容積為 1. 5 立方分米 , 則鐵片的長等于 _____,寬等于 ______. 2已知三角形的兩邊分別是 1和 2，第三邊的數(shù)值是方程 2x25x+3=0的根，則這個三角形的周長為 _______． 2兩數(shù)和為 7，積為 12，則這兩個數(shù)是 。 2等腰三角形的底和腰是方程 x26x+8=0的兩根，則這個三角形的周長是 某廠 2022 年的鋼產(chǎn)量是 a 噸 ,計劃以后每一年比上一年的增長率為 x,那么 2022 年的鋼產(chǎn)量是_________________噸 . 3市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調藥品的價格。某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒 200元下調至 128元，求這種藥品平均每次降 價的百分率是 。 3一種藥品經(jīng)過兩次降價后 ,每盒的價格由原來的 60 元降至 元 ,那么平均每次降價的百分率是 。 第二部分：選擇題 方程 ? ?? ? 1231 ??? xx 化為 02 ??? cbxax 形式后， a、 b、 c的值為（ ） （ A） 1， – 2， – 15 （ B） 1， – 2， – 15（ C） 1， 2， – 15 （ D） – 1， 2， – 15 已知 x＝ 2是方程 32x2－ 2a＝ 0的一個解，則 2a－ 1的值是 ( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 一元二次方程 2x(x－ 3)＝ 5(x－ 3)的根為 ( ) A． x＝ 52 B． x＝ 3 C． x1＝ 3， x2＝ 52 D． x＝－ 52 使分式 2 561xxx??? 的值等于零的 x是 ( ) 6 方程 x24│ x│ +3=0的 解是 ( ) =177。 1或 x=177。 3 =1 和 x=3 =1 或 x=3 當代數(shù)式 x2+3x+5的值為 7 時，代數(shù)式 3x2+9x2的值是（ ）． （ A） 4 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 4 用配方法解關于 x的方程 x2 + px + q = 0時，此方程可變形為 ( ) （ A） 22()24ppx?? （ B） 22 4()24p p qx ??? （ C） 22 4()24p p qx ??? （ D） 22 4()24p q px ??? 將方程 2x24x3=0配方后所得的方程正確的是（ ） A、 (2x1)2=0 B、 (2x1)24=0 C、 2(x1)21=0 D、 2(x1)25=0 下列一元二次方程中 ,有實數(shù)根是 ( ). +1=0 +3=0； +x1=0 +4=0 19 方程 ? ?? ? 1132 ??? xx 的解的情況是（ ） （ A） 有兩個不相等的實數(shù)根 （ B）沒有實數(shù)根 （ C）有兩個相等的實數(shù)根 （ D）有一個實數(shù)根 1關于 x的一元二次方程 x2＋ kx－ 1=0的根的情況是 （ ） A、有兩個不相等的同號實數(shù)根 B、有兩個不相等的異號實數(shù) C