【正文】 0 0 1 1 1 J? 0 1 4 0 ? ? ? ???? ?1144m i n1950 1180k k k k kf S V f SfS??? ???????? ? ?3,0,0, 2X?? 2 3 0 1 6Z ? ? ? ? ? ? （ 4） ? ?1*33 1 12 01 1 7 12B b b????????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ????? 331 2 01 1 72???????????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ????? 97 130122 1437 41022?? ?????? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??? （ 5） 121, 2XX?? ? ? 111231 ,11B X X ?? ?????????? ? ?12111 ,132B X X???????? 1223M ax X X?? 121, 21 1 32 2 21 3 7.2 2 20XXs t X XXX? ????? ???????? 第一種資源剩余為 0 第二種資源剩余為 0 影子價(jià)格分別為 3， 1 解： 解： 解： 解： （五）證明題 三（ 15 分）、考慮下面兩個(gè)線性規(guī)劃： ? ? ? ?0039。39。)()(??????XXbAXbAXXCzM i nIICXzM i nI約束條件約束條件 ? ?? ? 039。39。)(39。)( **** ??? XXCCIIXIX 的最優(yōu)解，試證：是的最優(yōu)解，是已知 （ 2022） 解：三、 **********39。( 39。 ) 0 (1 )39。 39。 39。39。( 39。 ) 0 ( 2)( 2) (1 ) ( 39。 ) ( 39。 ) 0C X C XC X XC X C XC X XC C X X??????? ? ? ?因 為所 以又 因 為所 以得 三（ 11%）、考慮線性規(guī)劃問題（ P） max0z CXAx bX?????? 1．若 X1,X2 均為（ P）的可行解， ? ?1,0?? ，證明 21 )1( XX ?? ?? 也是（ P）的可行解； 2．寫出（ P）的對(duì)偶模型（仍用矩陣式表示）。（ 2022） 三、 1 證明：令 321 )1( XXX ??? ?? ，若 3X 是（ P）的可行解，則應(yīng)滿足 ??? ?? )2(0 )1(33 ??? ??X bAX 1212123 1 2 1 23,00[ ( 1 ) ] ( 1 )( 1 )X X PAX b AX bXXAX A X X AX AXb b bX? ? ? ?????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ?因 為 均 為 () 的 可 行 解 ，即 ； ，所 以即 滿 足 (1). 12123 1 233 1 2[ 0 , 1 ] , 0 , 0 ,0 , ( 1 ) 0 ,( 1 ) 0 ,( 2 ) .( 1 ) ( ) .XXXXX X XXX X X P???????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?又 因 為故 有所 以即 滿 足所 以 也 是 的 可 行 解 2．對(duì)偶模型 min TTTw b YA Y CY?? ??? 無 限 制 三（ 10% ）、 證 明 線 性 規(guī) 劃 中 的 互 補(bǔ) 松 弛 定 理 ： 設(shè) （ P ）[max]z=CX,X?{X|AX? b,X? 0},(D)[min]u=Yb,Y?{YA? b,Y? 0},若 ,X Y 分別是（ P）（ D）的可行解， ,ssXY分別是其相應(yīng)的松弛變量，則 ,X Y 是（ P），（ D）的最優(yōu)解的充 要條件是： 0ssYX Y X??； 并解釋互補(bǔ)松弛定理的經(jīng)濟(jì)意義。（ 2022） 解： 三、 互補(bǔ)松弛定理的經(jīng)濟(jì)意義是：資源有剩余，則其影子價(jià)格為 0，反之，影子價(jià)格為 0 說明資源恰好用完。 四、 (21%)試證明線性規(guī)劃原問題中第 J 個(gè)約束擴(kuò)大 K 倍 ,其對(duì)偶規(guī)劃最優(yōu)解中第 J 個(gè)變量將縮小 K 倍（ 2022） 解：四、設(shè)原問題為 maxZ=CX AX=b 對(duì)偶 11 11mn mnaaaa??????1myy??????????≥ 1NCC???????? J 11 11mn mnaaaa??????1nxx??????????= 1nbb?????????? (kaj1,kaj2,? kajn) 1jnxxx????????????????=1jnbkbb???????????????? 從而得出結(jié)論 二、（ 12%）有三個(gè)線性規(guī)劃： ? ?0X bAX)(???＝約束條件CXzM in ? ?0X bAX)(??????＝約束條件XCzM in ? ?() 0M in z C XAX bX??? ??約 束 條 件 ＝ 已知： ）的最優(yōu)解（是 ??X ， ）的最優(yōu)解（是 ????X ， ）是（ ??Y 的對(duì)偶問題的最優(yōu)解 ， 試證：（ 1） 0))(( ??????? XXCC ；（ 2） ( ) ( )C X X Y b b??? ? ?。（ 2022） 解： (1) 39。 39。39。( 39。 39。39。) 0 (1 )39。 39。39。 39。 39。39。( 39。39。 39。) 0 ( 2 )( 2 ) (1 ) ( 39。39。 39。) ( 39。39。 39。) 0CX CXC X XC X C XC X XC C X X??????? ? ? ?因 為所 以又 因 為所 以得 (2) ( Ι Ι Ι )( ) 39。 ( )YC X X C X C X Y b Y b Y b Y b Y b b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?設(shè) 是 的 對(duì) 偶 問 題 的 最 優(yōu) 解 形法求解線性規(guī)劃問題 ?????????0..maxXbAXtsCXZ 時(shí)，設(shè)當(dāng)前基 ? ?.,1 mPPB ?? 證明：若 kx 為某非基變量，檢驗(yàn)數(shù)1 0Bk k kc C B P? ?? ? ?， 由此確定 kP 為進(jìn)基變量，則能保證新的基本可行解的目標(biāo)值得以改善。 (1998) 2. ? ?1111139。 1 11 ( , )( , )( , ) ( 0 , 0 0) 0() 000BNBBNNBNB TNB B N N B N B NBkkB N BBA B NC C CXB N b BX N X bXX B b B N XXXXC X C X C B b C C B N XC B bxxC B b C C B NCB?????????????????? ? ? ?????? ? ?????????? ? ? ? ?????????????? ? ??????????證 明 ：令有令 當(dāng) 前 即帶 入 目 標(biāo) 函 數(shù)入 基 后 即? ? ? ?? ?11100m k n B m k nB k B kkb c c c C B P P PC B b c C B P??? ? ? ??????????????????????????? ? ?? ? ? 一（ 14％） 12 M a xZ C X 0, ( , , , )BnAX bXB C A P P P???? ???對(duì) 某 線 性 規(guī) 劃 問 題已 確 定 一 可 行 基 本 為 基 變 量 價(jià) 格 系 數(shù) 向 量 ， （ 1）請(qǐng) 用數(shù)學(xué)方法證明，當(dāng)所有非基變量檢驗(yàn)數(shù) 1 0j j B jc C B P? ?? ? ?時(shí)，當(dāng)前基本可行解為最優(yōu)。 （ 2）請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)含義的角度出發(fā)，說明上述判斷的正確性。 (1997) 解： 一． （一）確定換出基的變量 因?yàn)榭偞嬖?0 的 ib ，令 rb =mini ??ib,其對(duì)應(yīng)變量 rx 為換出基的變量 （二）確定換入基變量 （ 1）為了使下一個(gè)表中第 r 行基變量為正值，因而只有對(duì)應(yīng) rja 0 的非基變量才可以考慮作為換入基的變量 （ 2）為了使下一個(gè)表中對(duì)偶問題的解仍為可行解，令 m i n 0jj ssrjj rj rscz czaaa???? ???? ? ?????稱 rsa 為主元素， sx 為換入基的變量 設(shè)下一表中的檢驗(yàn)數(shù)為 ? ?39。jjcz? ? ? ? ? ? ?39。 r j j j ssj j j j s s r jr s r j r sa c z czc z c z c z aa a a??? ?? ? ? ? ? ? ????? （ a）對(duì) 0rja? 時(shí)，因 0jjcz?? 故 0jjrjcza? ? 有因?yàn)橹髟?0rsa? 所以 0ssrscza? ? 所以 ? ?39。 0jjcz?? （ b）對(duì) 0rja? 因 0jj ssrj rscz czaa? ??? 故 ? ?39。 0jjcz?? BC 基 b 1x rx mx 1mx? nx 1C 1x 1b 1 0 0 1. 1ma? rC rx rb 0 1 0 .1rma? .rna mC mx mb 0 0 1 .1mma ? .mna j? 0 0 11mmCz??? ssCz? nnCz? 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 二、運(yùn)輸問題 ２．將非平衡運(yùn)輸問題化為平衡運(yùn)輸問題，在表上相當(dāng)于增加一個(gè)虛設(shè)的 ，在模型中相當(dāng)于增加若干個(gè) 變量。（ 2022）（ 2022） 解： 2．產(chǎn)地或銷地；松弛。 9．運(yùn)用表上作業(yè)法求解運(yùn)輸問題時(shí)，計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)可以用 b ，確定初始方案可以用 a 。 （ a）最小元素法 （ b）比回路法 4. 用表上作業(yè)法求解 m 個(gè)發(fā)點(diǎn)和 n 個(gè)收點(diǎn)的平衡運(yùn)輸問題，其方案表上有數(shù)格的個(gè)數(shù)為 ，空格的個(gè)數(shù)為 ；若從檢驗(yàn)數(shù)為 2 的某空格調(diào)整，調(diào)量為 2，則調(diào)后可使總運(yùn)費(fèi)下降 。 (2022) 解： m+n1, (m1)(n1), 4. 3． 用表上作業(yè)法求解某運(yùn)輸問題，若已計(jì)算出某空格的檢驗(yàn)數(shù)為 2，則其經(jīng)濟(jì)意義是 ，若從該空格出發(fā)進(jìn)行調(diào)整，該調(diào)整量為 2，則調(diào)后可使總運(yùn)費(fèi)下降 。 （ 1999） 解： 該處每增運(yùn)一個(gè)單位，將使總成本降低 2 二、（ 13%）用表上作業(yè)法求解下面的平衡運(yùn)輸問題 11m