【正文】 的大小關(guān)系，并給予證明． 48 （ 3）當(dāng)正方形 ABCD繞點(diǎn) A逆時針旋轉(zhuǎn) 0176。 ＜ ∠BAE ＜ 180176。 時 ,S1和 S2總保持相等。 證明如下： 由于 0176。 ＜ ∠BAE ＜ 180176。 ，因此分三種情況： ① 當(dāng) 0176。 ＜ ∠BAE ＜ 90176。 時， 如圖，過點(diǎn) B 作 BM⊥ 直線 AE 于點(diǎn) M ，過點(diǎn) D 作 DN⊥ 直線 AG于點(diǎn) N。 ∵∠MAN=∠BAD=90176。 ， ∴∠MAB=∠NAD 。 49 又 ∵∠AMB=∠AND=90176。 ， AB=AD， ∴△AMB≌△AND （ AAS）。 ∴BM=DN 又 ∵AE=AG ， ∴ 11A E B M A G D N22? ? ?。 ∴ 12SS? 。 ② 當(dāng) ∠BAE=90176。 時，如圖。 ∵AE=AG ， ∠BAE =∠DAG =90176。 ， AB=AD， ∴△ABE≌△ADG 。 ∴ 12SS? 。 ③ 當(dāng) 90176。 ＜ ∠BAE ＜ 180176。 時，如圖。 與 ① 一樣；同理可證 12SS? 。 綜上所述，將圖中正方形 ABCD繞點(diǎn) A逆時針旋轉(zhuǎn)（ 0176。 ＜ ? BAE ＜ 180176。 ），總有 12SS? 。 50 24. （ 2022年海南省 13分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y x 3?? ? 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) B、 C ； 拋物線 2y x bx c? ? ? ?經(jīng)過 B、 C兩點(diǎn)，并與 x 軸交于另一點(diǎn) A． （ 1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）設(shè) P(x y)， 是（ 1）所得拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作直線 lx? 軸于點(diǎn) M，交直線 BC于點(diǎn) N ． ① 若點(diǎn) P 在第一象限內(nèi)．試問：線段 PN 的長度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此 時 x的值；若不存在，請說明理由； ② 求以 BC為底邊的 等腰 △BPC 的面積． 51 （ 2） ① 存在。 ∵ 點(diǎn) P（ x， y）在拋物線 2y x 2x 3?? ? ? 上，且 PN⊥ x 軸，點(diǎn) N 在直線y x 3?? ? 上， ∴ 設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ x, 2x 2x 3? ? ? ），點(diǎn) N的坐標(biāo)為（ x， x3??）。 又 ∵ 點(diǎn) P在第一象限， ∴ ? ? ? ? 222 39P N P M N M = x 2 x 3 x 3 = x 3 x = x24??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 ∵ a= 1 0? ， ∴ 當(dāng) 3x 2? 時，線段 PN 的長度的最大值為 94 。 ② 由題意知，點(diǎn) P在線段 BC的垂直平分線上， 又由 ① 知， OB=OC， ∴BC 的中垂線同時也是 ∠BOC 的平分線。 ∴ 設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (p, p) 。 又 ∵ 點(diǎn) P在 拋物線 2y x 2x 3?? ? ? 上 ， ∴ 2p p 2p 3?? ? ? ，即 2p p 3 0? ? ? 。 52 解得121 13 1 13p , p22????。 ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為： 1 13 1 13,22???????? 或 1 13 1 13,22???????? 。 若點(diǎn) P的坐標(biāo)為 1 13 1 13,22???????? ，此時點(diǎn) P在第一象限。 在 Rt△OMP 和 Rt△BOC 中， MP=OM 1 1 3M P O M 2??? ， OB=OC=3， ∴B P C B O C B O P B O CB O C P 11S S S = 2 S S = 2 B O PM B O C O22? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?四 形邊 1 1 1 3 9 3 1 3 6= 2 3 =2 2 2 2??? ? ? ?。 若點(diǎn) P的坐標(biāo)為 1 13 1 13,22????????，此時點(diǎn) P在第三象限。 ∴B P C B O P C O P B O C 1 1 1 3 1S S S S 3 2 3 32 2 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 3 1 9 3 1 3 3 9 3 1 3 6322 2 2 2 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?。 （ 2） ① 用點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)表示出線段 PN的長度，應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理求出所求。 ② 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知 BC的中垂線同時也是 ∠BOC 的平分線，從而點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (p, p) ，代入拋物線 2y x 2x 3?? ? ? 求出 點(diǎn) P的坐標(biāo)。按所求的兩解分別求出以 BC為底邊的等腰 △BPC 的面積。 25. （ 2022 年海南省 10 分） 如圖，在菱形 ABCD 中， ∠A=60176。 ，點(diǎn) P、 Q 分別在邊 AB、 BC上，且 AP=BQ． （ 1）求證： △BDQ≌△ADP ； （ 2）已知 AD=3， AP=2，求 cos∠BPQ 的值（結(jié)果保留根號）． 53 【考點(diǎn)】 菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)。 【分析】 （ 1）由四邊形 ABCD是菱形，可證得 AD=AB， ∠ABD=∠CBD= 12∠ABC ， AD∥BC ，又由∠A=60176。 ，易得 △ABD 是等邊三角形，然后由 SAS即可證得 △BDQ≌△ADP 。 （ 2）首先構(gòu)造直角三角形，過點(diǎn) Q作 QE⊥AB ，交 AB的延長線于 E，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得 PE 與 QE 的長，又由勾股定理，即可求得 PQ 的長，則可求得 cos∠BPQ的值。 26. （ 2022年海南省 14分） 如圖，已知拋物線 y =﹣ x 2+b x +9﹣ b 2（ b 為常數(shù)）經(jīng) 過坐標(biāo)原點(diǎn) O，且與 x 軸交于另一點(diǎn) E．其頂點(diǎn) M在第一象限． （ 1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）設(shè)點(diǎn) A是該拋物線上位于 x 軸上方，且在其對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn)；過點(diǎn) A作 x軸的平行線交該拋物線于另一點(diǎn) D，再作 AB⊥ x 軸于點(diǎn) B． DE⊥ x 軸于點(diǎn) C． ① 當(dāng)線段 AB、 BC 的長都是整數(shù)個單位長度時，求矩形 ABCD的周長； 54 ② 求矩形 ABCD的周長的最大值，并寫出此時點(diǎn) A 的坐標(biāo)； ③ 當(dāng)矩形 ABCD的周長取得最大值時，它的面積是否也同時取得最大值？請判斷井說明理由． ① 當(dāng)線段 AB、 BC 的長都是整數(shù)個單位長度時， 則 =3m－ m2＞ 0 且為整數(shù)， 3－ 2m＞ 0 且為整數(shù)， ∴m=1 。 ∴ 矩形 ABCD的周長 =－ 2m2＋ 2m＋ 6=6。 ②∵ 矩形 ABCD的周長 =－ 2m2＋ 2m＋ 6=— 2（ m－ 12） 2＋ 132， ∴ 當(dāng) m=12 時，矩形 ABCD的周長有最大值 =132 ，此時點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 12 ， 132 ）。 ③ 當(dāng)矩形 ABCD的周長取得最大值時， m=12 ， 此時，矩形 ABCD的面積 =（ 3m－ m2）（ 3－ 2m） = [3179。 12 －（ 12 ） 2]（ 3－ 2179。 12 ）=52 。 ∵ 當(dāng) m=34 時，矩形 ABCD的面積 = [3179。 34 －（ 34 ） 2]（ 3－ 2179。 34 ） =8132 ＞ 52 ， 55 ∴ 當(dāng)矩形 ABCD的周長取得最大值時，它的面積不能同時取得最大值。 27. （ 2022年海南省 11分） 如圖（ 1），在矩形 ABCD中，把 ∠B 、 ∠D 分別翻折，使點(diǎn) B、D分別落在對 角線 BC 上的點(diǎn) E、 F處，折痕分別為 CM、 AN. （ 1）求證： △AND≌△CBM. （ 2）請連接 MF、 NE，證明四邊形 MFNE是平行四邊形，四邊形 MFNE是菱形嗎？請說明理由？ （ 3） P、 Q是矩形的邊 CD、 AB上的兩點(diǎn)，連結(jié) PQ、 CQ、 MN，如圖（ 2）所示，若 PQ=CQ， PQ∥MN 。且 AB=4， BC=3，求 PC 的長度 . 【答案】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴∠D=∠B ， AD=BC， AD∥BC 。 ∴∠DAC=∠BCA 。 又由翻折的性質(zhì)，得 ∠DAN=∠NAF ， ∠ECM=∠BCM ， ∴∠DAN=∠BCM 。 ∴△AND≌△CBM （ ASA）。 56 （ 2）證明： ∵△AND≌△CBM ， ∴DN=BM 。 又由翻折的性質(zhì)，得 DN=FN， BM=EM， ∴FN=EM 。 又 ∠NFA=∠ACD ＋ ∠CNF=∠BAC ＋ ∠EMA=∠MEC ， ∴FN∥EM 。 ∴ 四邊形 MFNE是平行四邊形。 ∵PQ∥MN ， DC∥AB ， ∴ 四邊形 NMQP是平行四邊形。 ∴NP=MQ ， PQ= NM= 10 。 又 ∵PQ=CQ ， ∴CQ= 10 。 在 △CBQ 中， CQ= 10 ， CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。 ∴NP=MQ= 12 。 ∴PC=4 － 32 － 12 =2。 57 28. （ 2022年海南省 13 分） 如圖，頂點(diǎn)為 P（ 4，－ 4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（ 0， 0），點(diǎn) A在該圖象上， OA交其對稱軸 l 于點(diǎn) M，點(diǎn) M、 N關(guān)于點(diǎn) P對稱，連接 AN、 ON （ 1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式 . （ 2）若點(diǎn) A的坐標(biāo)是（ 6，－ 3），求 △AN O的面積 . （ 3）當(dāng)點(diǎn) A在對稱軸 l 右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動，請解答下列問題： ① 證明： ∠ANM=∠ONM ②△ANO 能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點(diǎn) A的坐標(biāo)，如果不能，請說明理由 . 【答案】 解：（ 1） ∵ 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 P（ 4，－ 4）， ∴ 設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為? ?2y=a x 4 4??。 又 ∵ 二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（ 0， 0）， ∴ ? ?20=a 0 4 4??，解得 1a=4 。 ∴ 二次函數(shù)的關(guān)系式為 ? ?21y= x 4 44 ??，即 21y= x 2x4 ? 。 58 ∴ ? ? ? ?? ?000 220 0 0 00000 4 x 4 4 x 4x4OD 4 HA 4t a n ONM= t a n A NM= = =1ND x NH x x 4 xx 4x +64xx4 ???? ? ? ? ???? 。 ∴ tan ONM=? tan ANM? 。 ∴∠ANM=∠ONM 。 ② 能。理由如下：分三種情況討論： 情況 1，若 ∠ONA 是直角，由 ① ，得 ∠ANM=∠ONM=45 0， ∴△AHN 是等腰直角三角形。 ∴HA=NH ，即 20 0 01x 4= x x4??。 整理，得 200x 8x +16=0? ，解得 0 x=4 。 ∴ 此時，點(diǎn) A與點(diǎn) P重合。故此時不存在點(diǎn) A，使 ∠ONA 是直角。 情況 2，若 ∠AON 是直角，則 2 2 2 OA +O N =AN。 ∵? ?22 22 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 011 O A = x + x 2 x O N = 4 + x A N = x 4 + x 2 x + x44? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， 59 ∴ ? ?2222 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 011 x + x 2 x + 4 + x = x 4 + x 2 x + x44? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。 整理，得 320 0 0x 8x 16x =0?? ，解得 0x=0 ， 0 x =4 4 2? 。 舍去 0x=0 ， 0 x =4 4 2? （在 l 左側(cè)）。 當(dāng) 0 x =4+4 2 時， 0 y=4 。 ∴ 此時存在 點(diǎn) A（ 4+4 2 4 ， ），使 ∠AON 是直角。 情況 3，若 ∠NAO 是直角，則 △AMN∽△DMO∽△DON ， ∴ MD ODOD ND?。 ∵OD=4 ， MD= 08x? ， ND= 0x ， ∴ 008x 44x? ? 。 整理，得 200x 8x +16=0? ，解得 0 x=4 。 ∴ 此時，點(diǎn) A與點(diǎn) P重合。故此時不存在點(diǎn) A，使 ∠ONA 是直角。 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) A 在對稱軸 l 右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動時，存在點(diǎn) A（ 4+4 2 4 ， ），使 ∠AON 是直角，即 △ANO 為直角三角形。 （ 3） ① 根據(jù)正切函數(shù)定義，分別求出 ∠ANM 和 ∠ONM 即可證明。 ② 分 ∠ONA 是直角， ∠AON 是直角， ∠NAO 是直角三種情況討論即可得出結(jié)論。