高考數(shù)學(xué)失分點一函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式-資料下載頁
2025-01-08 13:59本頁面
【正文】 ??? f ( － 1 ) ＝ a － b ，f ( 1 ) ＝ a ＋ b ， ∴????? a ＝12[ f ( 1 ) ＋ f ( － 1 ) ] ，b ＝12[ f ( 1 ) － f ( － 1 ) ]. ∴ f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b ＝ 2 [ f ( 1 ) ＋ f ( － 1 ) ] － [ f ( 1 ) － f ( － 1 ) ] ＝3 f ( － 1) ＋ f ( 1 ) ． ∵ 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2 , 2 ≤ f ( 1 ) ≤ 4 ， ∴ 5 ≤ f ( － 2) ≤ 1 0 . 方法二 由題意可知????? 1 ≤ a － b ≤ 2 ，2 ≤ a ＋ b ≤ 4.( * ) 令 z = f( 2 ) = 4 a 2 b , 在平面直角坐標系中作出 ( * ) 表示的平面區(qū)域如圖，由 z ＝ 4 a － 2 b 得 b ＝ 2 a －z2. z ＝ 4 a － 2 b 表示與直線 b ＝ 2 a 平行的直線 束，截距越大， z 越?。揭浦本€，當(dāng)直 線 b ＝ 2 a －z2過點 A (32，12) 時， z 取最小值 5 ；過點 C ( 3 , 1 )時， z 取最大值 1 0 . ∴ f ( － 2) ∈ [ 5 , 1 0 ] ． 變式訓(xùn)練 9 已知－ 1 ≤ a ＋ b ≤ 1 , 1 ≤ a － 2 b ≤ 3 ，則 a ＋ 3 b 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 設(shè) a ＋ 3 b ＝ m ( a ＋ b ) ＋ n ( a － 2 b ) ＝ ( m ＋ n ) a ＋ ( m － 2 n ) b ， ∴????? m ＋ n ＝ 1m － 2 n ＝ 3，即????? m ＝53n ＝－23， ∴ a ＋ 3 b ＝53( a ＋ b ) －23( a － 2 b ) ． 又－ 1 ≤ a ＋ b ≤ 1 , 1 ≤ a － 2 b ≤ 3 ， ∴ －53≤53( a ＋ b ) ≤53， － 2 ≤ －23( a － 2 b ) ≤ －23， ∴ －113≤ a ＋ 3 b ≤ 1. [－ 113 ， 1] 失分點 10 忽視基本不等式的應(yīng)用條件致誤 例 10 函數(shù) y ＝ x ＋2x － 1的值域是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 錯解 [ 2 2 ＋ 1 ，＋ ∞ ) 找準失分點 沒有考慮到 x － 1 為負的情況，直接認為x － 1 0 . 失分原因與防范措施 利用基本不等式求最值時，無論怎樣變形，均需滿足“一正，二定，三相等”的條件 .本例在于忽視了 x 1 的正、負問題，導(dǎo)致結(jié)果錯誤 . 在應(yīng)用基本不等式 時，首先應(yīng)考慮 a , b 是否為正值 . abba ??2正解 當(dāng) x 1 時， y ＝ x ＋2x － 1＝ x － 1 ＋2x － 1＋1 ≥ 2 ( x － 1 ) 2x － 1＋ 1 ＝ 2 2 ＋ 1 ，當(dāng)且僅當(dāng) x － 1 ＝1x － 1，即 x ＝ 2 時等號成立； 當(dāng) x 1 時，－ y ＝－ x ＋21 － x＝ 1 － x ＋21 － x－ 1 ≥ 2 ( 1 － x ) 21 － x－ 1 ＝ 2 2 － 1 ， ∴ y ≤ 1 － 2 2 ； 當(dāng)且僅當(dāng) 1 － x ＝11 － x，即 x ＝ 0 時等號成立． ∴ 原函數(shù)的值域為 ( － ∞ ， 1 － 2 2 ] ∪ [1 ＋ 2 2 ，＋ ∞ ) ． 例 11 已知 x 、 y ∈ (0 ，＋ ∞ ) 且9x ＋1y ＝ 1 ，求 x ＋ y 的最 小值． 錯解 ∵9x＋1y≥ 29xy＝6xy， ∴ xy ≥ 6. 又 x ＋ y ≥ 2 xy ≥ 12 ， ∴ x ＋ y 的最小值為 12. 找準失分點 在兩次應(yīng)用基本不等式時，等號不能同時成立． 失分原因與防范措施 如多次應(yīng)用基本不等式必須保證等號同時成立 . 上述解法錯誤的根本原因就是沒有驗證等號能否同時成立 . 若某一條件不滿足時，可以通過拆項、添項、配湊因式、調(diào)整系數(shù)等方法使之滿足條件 . 正解 x ＋ y ＝ ( x ＋ y )(9x＋1y) ＝9 yx＋xy＋ 10 ≥ 2 9 ＋ 10 ＝ 16 ， 當(dāng)且僅當(dāng)9 yx＝xy，即 x ＝ 3 y ， 又9x＋1y＝ 1 ， ∴ x ＝ 12 ， y ＝ 4 時，等號成立． ∴ x ＋ y 的最小值為 16. 變式訓(xùn)練 10 已知 x 、 y ∈ (0 ，＋ ∞ ) 且1x＋4y＝ 1 ，求 u ＝x2＋yx的最小值． 解 方法一 ∵ 1 ＝1x＋4y≥4xy， ∴ xy ≥ 4. 又 u ＝ x2＋yx≥ 2 xy ≥ 8 ， 檢驗，當(dāng) x ＝ 2 、 y ＝ 8 時， xy ＝ 4 成立， 同時 x2＋yx＝ 2 xy 成立． ∴ u 的最小值為 8. 方法二 u ＝ x2＋yx ＝ ( x2＋yx)(1x＋4y) ＝ x ＋4x＋yx2 ＋4 x2y≥ 2 x 4x＋ 2yx2 4 x2y ＝ 4 ＋ 4 ＝ 8 ， 檢驗，當(dāng) x ＝ 2 、 y ＝ 8 時， x ＋4x＝ 4 成立． 同時，yx2 ＋4 x2y＝ 4 成立， ∴ u 的最小值為 8 . 返回
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